当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学(文)一轮总复习直线、平面垂直关系的判定与性质






直线、平面垂直关系的判定 与性质
基础自主梳理
考向互动探究

最新考纲 1.以立体几何的相关定义、 公理和定理为 出发点,认识和理解空间中线面垂直的有 关性质与判定定理. 2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明 一些空间图形的垂直关系的简单命题.

1.在空间,

下列命题正确的是( D (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行

)

解析:A 选项中平行直线的平行投影也可能是平 行的;B 选项中的两个平面也可以相交;C 选项中 的两个平面也可以相交.故选 D.

2.已知直线 a⊥平面α ,b∥α ,则 a 与 b 的 位置关系是( B ) (A)平行 (B)垂直 (C)异面 (D)以上都有可能 解析:因为 b∥α,则 b 一定平行于平面α 内的某一条直线 c,又 a⊥α,所以 a⊥c, 又 b∥c,所以 a⊥b, 故选 B.

3.(2012 安庆市高三一模)设 m,n 是两条不同的直线, α ,β ,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若α ∥β ,m ? α ,n ? β ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,m∥β ,则α ⊥β ; ③若 n⊥α ,n⊥β ,m⊥α ,则 m⊥β ; ④若α ⊥γ ,β ⊥γ ,m⊥α ,则 m⊥β . 其中错误命题的序号是( A (A)①④ (B)①③ (C)②③④ (D)②③ )

解析:①中 m,n 可能平行、也可能异面; ②③正确;④中 m 也可能与β相交、 平行. 故选 A.

4.m、n 是空间中两条不同直线,α 、β 是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α ,n∥β ,α ∥β ? m⊥n; ②m⊥n,α ∥β ,m⊥α ? n∥β ; ③m⊥n,α ∥β ,m∥α ? n⊥β ; ④m⊥α ,m∥n,α ∥β ? n⊥β . 其中,所有真命题的编号是 .

解析:①中,由 n∥β,α∥β得 n∥α或 n ? α,又 m⊥α,∴m⊥n,故①正确; ②中,也可能 n ? β,故②错误; ③中,直线 n 也可能与平面β斜交或平行, 也可能在平面β内,故③错; ④中,由 m∥n,m⊥α,可得 n⊥α, 又α∥β可得 n⊥β,故④正确. 答案:①④

1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理

文字语言 一条直线与 一个平面内 的两条相交 直线都垂直, 则该直线与 此平面垂直

图形语言

符号语言
? ? b ?? ? a ? b ? O? ? ?? l?a ? ? l ?b ? ? ? a ??

判 定 定 理

l ⊥α

( 直线与平面垂直的性质定理 3) 文字语言 图形语言 性质 定理 垂直于同一个 平面的两条直 线平行

符号语言
a ??? ?? b ???

a∥b

2.二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义.从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角.这条直 线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面 角的面. 如图,记作:二面角α l β 或二面角α AB β 或二 面角 P AB Q.

②二面角的平面角.在二面角α l β 的 棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平 面α 和β 内分别作垂直于 棱 l 的射线 OA 和 OB,则射 线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫 做二面角的平面角.

(2)平面与平面垂直 ①定义.一般地,两个平面相交,如果它 们所成的二面角是直二面角,就说这两 个平面互相垂直. ②平面与平面垂直的判定定理与性质 定理.

文字语言 判 定 定 理 性 质 定 理 一个平面过另一个 平面的垂线,则这两 个平面垂直

图形语言

符号语言

l ? ?? ? ?α ⊥β l ?? ?

两个平面垂直,则一 个平面内垂直于交 线的直线与另一个 平面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? a? ? ?l⊥α l?? ?
l?a ? ?

③平面与平面垂直的性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面垂 ? ?? ? ? 性 直,则一个 ? ? ? ? a? ? l?? 质 平面内垂直 ? ? l?a 定 于交线的直 ? 理 线与另一个 ? l⊥α 平面垂直

直线与平面垂直的判定与性质 【例 1】 (2012 年高考福建卷) 如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB=AD=1, AA1=2,M 为棱 DD1 上 的一点.

(1)求三棱锥 A MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时, 求证:B1M⊥平面 MAC.

(1)解:连接 AM、AC、AC1、C1M、CM, 由长方体 ABCD A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, ∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等 于 AD=1.
1 1 又 S ?MCC1 = CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 ∴ V A? MCC1 = · S ?MCC1 ·AD= . 3 3

(2)证明:将侧面 CDD1C1 绕 DD1 旋转 90°展开, 与侧面 ADD1A1 共面, 当 A1、M、C'共线时,A1M+MC 取得最小值. 此时由 AD=C'D=1,AA1=2,得 M 为 DD1 的中点. 连接 B1M,在△C1MC 中, MC1= 2 ,MC= 2 ,CC1=2, 2 2 2 所以 C C1 =M C1 +MC , 故 CM⊥MC1.

又由长方体 AB C D A 1B 1C 1D 1 知 B 1C 1⊥平面 C D D 1C 1, 所以 B 1C 1⊥C M . 又 B 1C 1 ? C 1M =C 1, 所以 C M ⊥平面 B 1C 1M , C M ⊥B 1M . 得 同理可证 B 1M ⊥AM , AM ? M C =M , 又 所以 B 1M ⊥平面 M AC .

证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂 直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两平行平面 中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质.

变式训练 1 1:如图所示, 已知 PA⊥矩形 ABCD 所 在平面,M、 分别是 AB、 N PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°, 求证:MN⊥平面 PCD.

证明:(1)连接 AC、AN、BN, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AC. 在 Rt△PAC 中, ∵N 为 PC 的中点, 1 ∴AN= PC.
2

∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC.

又 B C ⊥AB , A ? AB =A, P ∴B C ⊥平面 P AB , ∴B C ⊥P B . 从而在 R t B C 中, △P B N 为斜边 P C 上的中线,
1 ∴B N = P C , ∴AN =B N . 2

∴△AB N 为等腰三角形. 又 M 为底边 AB 的中点, ∴M N ⊥AB . 又∵AB ∥C D , ∴M N ⊥C D .

(2)连接 PM、CM, ∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD=BC,∴PA=BC. 又∵M 为 AB 的中点, ∴AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90°, ∴△PAM≌△CBM,∴PM=CM. 又∵N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC ? CD=C, ∴MN⊥平面 PCD.

平面与平面垂直的判定与性质 【例 2】 (2012 年高考新课标全国卷)如图, 在三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱垂直底面, 1 ∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是 2 棱 AA1 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部 分,求这两部分体积的比.

思维导引:(1)证两个平面垂直,可转化 为在其中一个平面内找到一条直线与 另一个平面垂直,要证平面 BDC1⊥平面 BDC,可证 DC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分棱柱下面部分 B DACC1 为四棱锥,可直接求体积,上面部分可 用间接法求得体积,从而确定两部分体 积之比.

(1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC, CC1 ? AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1, 又 DC1 ? 平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, 所以∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC. 又 DC ? BC=C, 所以 DC1⊥平面 BDC, 又 DC1 ? 平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC.

(2)解:设棱锥 B DACC1 的体积为 V1,AC=1,
1? 2 1 1 由题意得 V1= × ×1×1= . 3 2 2

又三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V=1, 所以(V-V1)∶V1=1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比 为 1∶1.

(1)三种垂直关系的转化

(2)面面垂直性质的应用 ①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直 的依据,运用时要注意“平面内的直线”. ②两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也 垂直于第三个平面.

变式训练 2 1:(2012 宁波模拟)在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,AC∩BD=O. (1)若 AC⊥PD,求证:AC⊥平面 PBD; (2)若平面 PAC⊥平面 ABCD,求证:PB=PD.

证明:(1)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 AC⊥PD,PD∩BD=D, 所以 AC⊥平面 PBD. (2)由(1)知 AC⊥BD. 因为平面 PAC⊥平面 ABCD,平面 PAC∩平 面 ABCD=AC,BD? 平面 ABCD,

所以 BD⊥平面 PAC. 因为 PO? 平面 PAC,所以 BD⊥PO. 因为底面 ABCD 是菱形, 所以 BO=DO,所以 PB=PD.

直线、平面垂直的综合应用 【例 3】 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 P, 使 BF⊥平面 AEP?若存在, 确定点 P 的位置,若不存 在,说明理由.

(1)证明:连接 A1B,则 AB1⊥A1B, 又 AB1⊥A1F,且 A1B ? A1F=A1, ∴AB1⊥平面 A1BF, 而 BF ? 平面 A1BF, ∴AB1⊥BF. (2)证明:取 AD 中点 G,连接 FG、BG,则 FG⊥AE, ∵易知△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE.

∴AE⊥BG. 又∵BG ? FG=G,∴AE⊥平面 BFG. 而 BF ? 平面 BFG,∴AE⊥BF. (3)解:存在.取 CC1 中点 P,即为所求. 连接 EP、AP、C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由(1)知 AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知 AE⊥BF,且 AE ? EP=E, ∴BF⊥平面 AEP.

垂直关系综合题的解题思路 (1)对于三种垂直的综合问题,要注意通过作 辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行结合的问题,应注意平行、 垂直的性质及判定的综合应用. (3)对于垂直与体积结合的问题,在求棱锥的 体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段, 进而求得体积.

变式训练 3-1:如图所示,在 直三棱柱 ABC A1B1C1 中(侧棱 垂直于底面的三棱柱叫直三 棱柱),AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点.求证: (1)B1C∥平面 A1BD; (2)B1C1⊥平面 ABB1A1.

证明:(1)如图所示,连接 AB1,交 A1B 于 O, 则 O 为 AB1 的中点.连接 OD, ∵D 为 AC 的中点, ∴在△ACB1 中,有 OD∥B1C. 又∵OD ? 平面 A1BD, B1C ? 平面 A1BD. ∴B1C∥平面 A1BD.

(2)∵AB=B1B, 三棱柱 ABC A1B1C1 为直三棱柱, ∴四边形 ABB1A1 为正方形. ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1⊥平面 A1BD,A1B ? 平面 A1BD, ∴AC1⊥A1B. 又∵AC1 ? 平面 AB1C1,AB1 ? 平面 AB1C1, AC1 ? AB1=A, ∴A1B⊥平面 AB1C1.

又∵B1C1 ? 平面 AB1C1, ∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面 A1B1C1, B1C1 ? 平面 A1B1C1, ∴A1A⊥B1C1. 又∵A1A ? 平面 ABB1A1,A1B ? 平面 ABB1A1, A1A ? A1B=A1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1.

【例题】 如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,平 面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC, △PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,求证: 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P ABCD 的体积.

(1)证明:在△ABD 中, ∵AD=4,BD=8,AB=4 5 , 2 2 2 ∴AD +BD =AB . ∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, BD ? 平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD. 又 BD ? 平面 BDM, ∴平面 MBD⊥平面 PAD.

(2)解:过 P 作 PO⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边 三角形, ∴PO=2 3 .

在底面四边形 ABCD 中, ∵AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 在 Rt△ADB 中,
8 5 斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5
4?8

此即为梯形的高.
2 5?4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5

1 ∴ VP ? ABCD = ×24×2 3 =16 3 . 3

点击进入限时训练


相关文章:
2014届高考数学一轮复习学案直线、平面垂直的判定与性质
2014届高考数学一轮复习学案直线平面垂直的判定与性质_高考_高中教育_教育专区...(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 垂直关系的基本问题 典题...
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《直线、平面垂直的判定与性质》理 新人教B版
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习直线平面垂直的判定与性质》理 新人教B版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。[第 41 讲 直线平面垂直的判定与性质] (...
2015年高三第一轮复习直线、平面垂直的判定与性质
2015年高三一轮复习直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。第五...破解线面垂直关系的技巧 (1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定...
2015高三文数第一轮复习导学案:直线、平面垂直的判定和性质
2015高三文数第一轮复习导学案:直线平面垂直的判定和性质_数学_高中教育_教育专区。直线平面垂直的判定和性质导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发...
2014《步步高》高考数学第一轮复习08 直线、平面垂直的判定与性质
2014《步步高》高考数学一轮复习08 直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育...§ 8.5 2014 高考会这样考 直线平面垂直的判定与性质 1.考查垂直关系的命题...
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判定与性质
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线平面垂直的判定与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。直线平面垂直的判定与性质...
直线、平面垂直的判定与性质1
直线平面垂直的判定与性质1_数学_高中教育_教育专区。我参与、我快乐! 2015 1 月 17 日 高三一轮复习理科补习班专用 编写人:贾长江 课题:直线平面垂直...
【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第7篇 第5节 直线、平面垂直关系的判定与性质]
【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第7篇 第5节 直线平面垂直关系的判定与性质]_高中教育_教育专区。【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮...
2014届高考数学一轮 1.9.5直线、平面垂直的判定及性质 文
2014届高考数学一轮 1.9.4... 暂无评价 5页 2财富值 直线平面垂直的判定及其性... 7页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见...
更多相关标签: