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吉林省长春外国语学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题理(新)


长春外国语学校 2015-2016 学年度高二下学期期中考试 数学 (理科) 学科试卷

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷,共 2 页。满分 150 分,考试 110 分钟。考试结束后,请将 答题卡卷交回,试题卷自己保存。 2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答 题卡上。 3

.作答非选择题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效。 4.保持答题卷清洁、完整,严禁使用涂改液和修正带。 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题: (四个选项中只有一个正确答案,每小题 5 分,共计 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3,4} ,B={x|x=2n-1,n∈A},则 A∩B= ( ) A{1,3} B{2,4} C{1,4} D{2,3} )

2.在极坐标系下,极坐标方程(ρ -3)(θ - A 两个圆 B 一个圆和一条射线

? )=0(ρ ≥0)表示的图形是 ( 2
(

C 两条直线

D 一条直线和一条射线 )

3.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 3t ? y ? 3 ? 3t

(t 为参数),则直线的倾斜角为

A 30° B 150° C 60° D 120° 4.联欢会有歌曲节目 4 个,舞蹈节目 2 个,小品节目 2 个,其中小品节目不能连着演出,舞 蹈必须在开头和结尾,有多少种不同的出场顺序 ( ) A 480 B 960 C 720 D 180 5. 已知 a ? 5
0.2

, b ? ? ? , c ? log 3

A a?b?c 6. 函数 f ( x) ?

?1? ?6? B a?c?b

3

1 ,试比较的大小 2 C b?a?c

( D c?a?b (



lg( x ? 1) 4 ? 3x ? x 2

的定义域

)

A

?? 4,1?

B ?? 1,1?
2

C ?? ?,?4? ? ?1,??? C ?? 11,?6?

D ?? 4,?1? ? ?? 1,1? D ?? 11 ,?1? ( )

7.求函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 6 , x ? ?0,5?的值域 A ?? 6,?2? B ?? 11,?2?

? ?x ? f ( x ) ? 8.已知函数 1 ? (x ? )4 ? 2 ?
A

( x ? 0) ( x ? 0)
,则 f(f(-1))= ( )

1 4

B

1 8

C

1 16

D 4 ( )
1

2 9.已知 f (3x ? 2) ? 9 x ? 3x ? 1 ,求 f ( x)

A f ( x) ? 3x 2 ? x ? 1 C f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 10.下列哪个函数是奇函数 A f ( x) ? 3x 3 ? 2 x 2 ? 1

B f ( x) ? 81x 2 ? 127x ? 53 D f ( x) ? 6 x 2 ? 2 x ? 1 ( B f ( x) ? x ? 2
1



C

f ( x) ? 3

x

4 ? x2 D f ( x) ? x?3 ?3
x 2 ? 4 ax ? 8

1? 11. 已知函数 f ( x ) ? ? ? ? ?2?
A

在 ?2,6? 上单调,则 a 的取值范围为





?? ?,1? ? ?3,???

B ?? ?,1?

C ?3,???

D ? , ? ?2 6 ?

? 3 11?

12. 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 且 f (? x) ? f ( x) , 当 1 ? x ? 2 时 ,

f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 f (2017)
B 0 C 1 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分) A -1 D 2





? ? x ? 2y ? 0 ? 13.已知 x , y 满足约束条件 ?2 x ? 2 y ? 3 ? 0 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? 1 y? ? 4 ? 1 5 2 14. (1 ? x)(1 ? 2 x ) 展开式中 x 的系数 为 2
15.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 1, (n ? 2) 由此归纳 an ?

? 2x ? 16.已知函数 f ( x) ? ?log x 1 ? ? 2
三、解答题:

?x ? 2? ?x ? 2? 则函数 y ?

f (1 ? x) 的最大值为

17. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? a (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ?

1 ; 2

(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 解集为 R ,求 a 的取值范围. 18. (本题 12 分) 为了解心肺疾病是否与年龄相关,现随机抽取 80 名市民,得到数据如下表: 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计
2

大于 40 岁 小于或等于 40 岁 合计

16 12 80

已知在全部的 80 人中随机抽取 1 人,抽到不患心肺疾病的概率为

2 5

(1) 请将 2 ? 2 列联表补充完整; (2) 能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为患心肺疾病与年龄有关?

下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0 .005

0.001

2.072
2

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2 , 3

19. (本题 12 分)某次考试,依次进行 A 科、B 科考试,当 A 科合格时,才可考 B 科,且两科 均有一次补考机会,两科都合格方通过.甲参加考试,已知他每次考 A 科合格的概率均为 每次考 B 科合格的概率均 为

1 .假设他不放弃每次考试机会,且每次考试互不影响. 2

(1)求甲恰好 3 次考试通过的概率; (2)记甲参加考试的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列和期望. 20.(本题 10 分)已知: a, b, c ? ?? ?,0? 求证: a ?

1 1 1 , b ? , c ? 中至少有一个不大于 ? 2 . b c a

21. ( 本 题 12 分 ) 定 义 在 R 上 函 数 f ( x) , 且 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

1 1 f ( x) ? ( ) x ? 8 ? ( ) x ? 1 4 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? ?1,3? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值. 22. (本题 12 分) 定义在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的函数 f ( x) ,总有 f (m n) ? f (m) f (n) ,且

f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 1
(1)求 f (1), f (?1) 的值; (2)判断函数的奇偶性,并证明; (3)判断函数在 ?0,??? 上的单调性,并证明.
3

长春外国语学校 2015-2016 学年度高二下学期期中考试 数学 理科答案 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1 A 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 C

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)

13.

9 ; 4

14. 60;

15. 2

n ?1

? 1;

16. 4

三、解答题: 17.(本题 12 分) 解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 2 ? x ? 3 ,

f ( x) ?

1 2

x?2 ? x?3 ?

1 2

x ? ?3 ? ? ?? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? 1 ? 2 ? 3 ? ?x ? ? ?1? 1 ? 2 或 ? 11 ? ? ? 或 4

? 3 ? x ? ?2 ? ? 1 或 ?? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? ? 2 ?

x ? ?2 ? ? ??x ? 2? ? ?x ? 3? ? 1 或 ? 2 (2 分) ?

?2 2 ? ? ?? 3 ? x ? ? x ? ?1 ? x ? ? 11 ?? 1 ? 或? ? 4 2 ? ?
x ? ?2


x ? ?2

(4 分)

? 11 xx?? ? 不等式的解集为: ? 4

?

(6 分) (8 分)

关 于 x 的不等式 f ( x) ? a 解集为 R ,就是求函数 f ( x) 的最大值 (2)

x ? 2 ? x ? a ? ( x ? 2) ? ( x ? a) ? 2 ? a ? a ? 2 (当且仅当 ?x ? 2??x ? a ? ? 0 取 " ?" )

a?2 ? a
? a?2 ? ?? (a ? 2) ? a ? a?2 或 ?a ? 2 ? a ?

( 10 分)

解得

?a a ? 1 ?

(12 分)

18.(本题 12 分) 患心肺疾病 大于 40 岁 小于或等于 40 岁 合计 16 32 48 不患心肺疾病 20 12 32 合计 36 44 80 (6 分)

4

80 ? (16 ? 12 ? 20 ? 32) 2 1960 K ? ? ? 6.599 ? 5.024 48 ? 32 ? 36 ? 44 297
2

(11 分)

能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 (12 分) 19.(本题 12 分) (1)P=

2 1 1 1 2 1 5 ? (1 ? ) ? ? ? ? ? 3 2 2 3 3 2 18

(2 分)

(2) ? ? 2,3,3

P(? ? 2) ?

2 1 1 1 4 ? ? ? ? 3 2 3 3 9 2 1 1 1 2 1 2 1 1 4 P(? ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 2 2 3 3 2 3 2 2 9 1 2 1 1 1 2 1 1 1 P(? ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 2 2 3 3 2 2 9

(4 分) (6 分) (8 分) 4

?
P

2

3

4 9

4 9

1 9
(10 分)

E (? ) ? 2 ?

4 4 1 8 ? 3? ? 4 ? ? 9 9 9 3

(12 分)

20.(本题 10 分)

1 1 1 a ? , b ? , c ? 中没有一个不大于 ? 2 证明:假设 b c a 1 1 1 即: a ? ? ?2 , b ? ? ?2 , c ? ? ?2 b c a 1 1 1 所以有 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?2 ? 2 ? 2 b c a 1 1 1 即 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6 a b c
又因为

(2 分) (4 分)

(6 分)

a ? 0, b ? 0, c ? 0

,则

? a ? 0,?b ? 0,?c ? 0

1 1 1 a ? ?1 ?a ? ? (?a) ? (? ) ? 2 (?a)(? ) ? 2 所以有 , (当且仅当 时取等号) a即 a a 1 1 1 b ? ?1 ?b ? ? (?b) ? (? ) ? 2 (?b)(? ) ? 2 , (当且仅当 时取等号) b即 b b 1 1 1 c ? ?1 ?c ? ? (?c) ? (? ) ? 2 (?c)(? ) ? 2 , (当且仅当 时取等号) c即 c c
5

1 1 1 ? ?2 b ? ? ? 2 c ? ? ? 2 , , a b c 1 1 1 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6 (当且仅当 2 所以 时取等号 a b c 1 1 1 与 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6 矛盾 a b c
所以

a?

(8 分 )

所以假设错误,原命题正确 所以 a ?

1 1 1 , b ? , c ? 中至少有一个不大于 ? 2 b c a

(10 分)

21.(本题 12 分) (1)解: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,则函数 f ( x) 是奇函数 则 f (0) ? 0
?x ?x 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ( ) ? 8 ? ( ) ? 1

(2 分 )

1 4

1 2

1 ? 1 ? f ( x) ? ? f (? x) ? ??( ) ? x ? 8 ? ( ) ? x ? 1? ? ?4 x ? 8 ? 2 x ? 1 2 ? 4 ?
1 x ? 1 x ?( 4 ) ? 8 ? ( 2 ) ? 1 ? f ( x) ? ? 0 所以 ? ? 4x ? 8? 2x ?1 ? ?
(1) 解:令

(5 分)

x?0 x?0 x?0
(6 分)

t ? 2x



t ? ?2,8?

y ? ?t 2 ? 8t ? 1

t ? ?2,8?

(10 分)

对称轴为 当

t ? 4 ? ?2,8?
x?2

t?4

,即

f ( x) max ? ?16 ? 32 ? 1 ? 17
f ( x) min ? ?64 ? 64 ? 1 ? 1

(11 分)



t ?8

,即

x?3

(12 分)

22.(本题 12 分) (1)令

m ? n ?1

,则有

f (1) ? f (1) f (1)

,又

f ( x) ? 0
(2 分)
6

则 f (1) ? 1



m ? n ? ?1

,则有

f (1) ? f (?1) f (?1)

f (1) ? 1 , f ( x) ? 0 , 又
(4 分)

则 f (?1) ? 1 定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? (2)证明: 令 所以

m ? x, n ? ?1
为偶函数

,则有

f (? x) ? f ( x) f (?1) ? f ( x)
(7 分) ,且

f ( x)

(3)证明:

?x1 , x2 ? ?0,???

x1 ? x 2

(8 分)



mn ? x1 , m ? x2

,则

n?

x1 x

所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (

x1 f ( x) ? 0 ) x2 ,又

f ( x1 ) x x1 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 x1 ? x2 ? 0 ? f( 1) ?1 ,则 x ,而 f ( x2 ) x2 ,由 2
1 1 所以 f ( x ) ? 1 ,即 f ( x ) ? 1 ,又 f ( x) ? 0 2 2

x

f (x )

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 函数 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数 (12 分)

7


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