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正弦、余弦定理习题精选精讲


正、余弦定理的五大命题热点
知识点: 1 、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C
2、正弦定理的变形公式:

a b c , sin ? ? , sin

C ? ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 5、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
6、 设 a 、b 、c 是 ??? C 的角 ? 、? 、C 的对边, 则: ①若 a ? b ? c , 则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c , 则 C ? 90 ;
2 2 2 ? 2 2 2 ?

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ?

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的 边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点:
一、求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中 线)及周长等基本问题. 1、 ?ABC 中, A ?

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为( )

A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

?? ? ? ? 3 B. 4 3 sin ? B ? ? ? 3 3? 6? ?

C. 6 sin? B ?

? ?

??

?? ? ? ? 3 D. 6 sin? B ? ? ? 3 3? 6? ?

2、 在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. , cos B ? 3 6

3、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2 a,则 A.a>b B.a<b C. a=b
2

D.a 与 b 的大小关系不能确定
2

4、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A= (A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

5、在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 3

C -

6 3

D

6 3
-1-

6、在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3



7、 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,

AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

8、在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范围为

.

9、△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ? (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

二、判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 1、在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 2、18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

三、 解决与面积有关问题:主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.
? 1、在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_________
王新敞
奎屯 新疆

四、求值问题 1、在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c ,

c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2 b a tan C tan C ? 2、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ? ? 6 cos C ,则 =_________。 a b tan A tan B
设 a、b、c 满足条件 b ? c ? bc ? a 和
2 2 2

3、 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的 知识,例析如下: (一.)测量问题 C 1、如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸 标记物 C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。

(二.)遇险问题 2、某舰艇测得灯塔在它的东 15°北的方向,此舰艇以 30 海里/小时 的速度向正东前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30°北。若此灯塔周 围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?

A 图1 北 西 15° B

D

B

A 南

30° 图2

东 C
-2-

北 (三.)追击问题 3、如图 3, 甲船在 A 处, 乙船在 A 处的南偏东 45°方向, 距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用 多少 h 能尽快追上乙船? A 45° B 15° 五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇,如与不等式、数列、立体几何(特别是求角 与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇. 1、 △ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a, b, c 成等比数列,cos B ? (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC ?

C 图3

??? ? ??? ?

3 . 4

3 ,求 a+c 的值. 2

易错题解析 例题 1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a ? b ? c ,求 A 的取值范围。
2 2 2

错解:∵ a ? b ? c ,∴b ? c ? a ? 0 。则
2 2 2 2 2 2

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数且 cos90° ? 0,∴A ? 90° 2bc

又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边,造成解 题错误。 正解:由上面的解法,可得 A<90°。 又∵a 为最大边,∴A>60°。因此得 A 的取值范围是(60°,90°) 。 例题 2 在△ABC 中,若

a 2 tan A ,试判断△ABC 的形状。 ? b 2 tan B


错解:由正弦定理,得

sin 2 A tan A ? sin 2 B tan B

sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。
∴2A=2B,即 A=B。故△ABC 是等腰三角形。 辨析:由 sin 2 A ? sin 2 B ,得 2A=2B。这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。 正解:同上得 sin 2 A ? sin 2 B ,∴2A= 2 k? ? 2 B 或 2 A ? 2 k? ? ? ? 2 B ( k ? Z ) 。 ∵ 0 ? A ? ?, 0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ? 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 3 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ?

?
2

?B。

3 ,求

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C

3 ,又 S △ABC ?

1 bc sin A , 2
-3-

∴ 3?

1 c sin 60° ,解得 c=4。 2

由余弦定理,得 a ?

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13
a ?b?c 6 3 。 ∴ ? , sin B ? sin A ? sin B ? sin C 39 2 39 13 ? 1 ? 4 。 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

又由正弦定理,得 sin C ?

辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c ? 4 ,a ?

13 。由正弦定理,得

2R ?

a ?b?c 2 39 a 13 2 39 。∴ 。 ? 2R ? ? ? sin A ? sin B ? sin C 3 sin A sin 60° 3

例题 4 在△ABC 中, c ?

6 ? 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值。

错解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? ∴a ? 2( 6 ? 2 ) sin A , sin A sin(150° ? A) sin 30°

b ? 2( 6 ? 2 ) sin(150° ? A)
又∵ sin A ? 1, sin(150° ? A) ? 1 ∴ a ? b ? 2( 6 ? 故 a ? b 的最大值为 4( 6 ?

2 ) ? 2( 6 ? 2 ) ? 4( 6 ? 2 ) 。

2) 。

辨析:错因是未弄清 A 与 150°-A 之间的关系。这里 A 与 150°-A 是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA 与 sin(150°-A)不能同时取最大值 1,因此所得的结果也是错误的。 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°
2 )[sin A ? sin(150° ? A)]

因此 a ? b ? 2( 6 ?

? 2( 6 ? 2) · sin 75°cos( A ? 75°) 6? 2 · cos( A ? 75°) 4 ? (8 ? 4 3) cos( A ? 75°) ? 8 ? 4 3 ? 4( 6 ? 2)
∴a+b 的最大值为 8 ? 4 3 。 例题 5 在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。 错解:由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos15° ? 4 ? 8 ? 2× 2× 2 2×
2 2 2

6? 2 ? 8?4 3 4

∴c ?

6? 2。

-4-

又由正弦定理,得 sin A ?

辨析:由题意 b ? a ,∴ B ? A 。因此 A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时, 要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。 正解:同上 c ?

a sin C 1 ? c 2

=30 或A ? 150 。 而 0 ? A ? 180 ,∴A
0 0 0 0

6 ? 2 , sin A ?

1 ,∵b ? a , 2

∴B ? A,且00 ? A ? 1800,∴A ? 300 。

例题 6 在△ABC 中, ? cos A ? b cos ? ,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ∴ sin 2 A ? sin 2 B,∴ 2 A ? 2 B且 2 A ? 2 B ? 180° ∴A=B 且 A+B=90°

故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°, ∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 7 若 a,b,c 是三角形的三边长,证明长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三角形。 错解:不妨设 0 ? a ? b ? c ,只要考虑最大边的对角θ 为锐角即可。

( a )2 ? ( b)2 ? ( c)2 a ? b ? c 。 cos? ? ? 2 a b 2 ab
由于 a,b,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有 a ? b ? c ,即 cos? ? 0 。 ∴长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角。显 然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得 cos? ? 0 又∵ a ? b ?

c?

( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ( a ? b )2 ? c a?b?c 2 ab ? ? ? ?0 a? b? c a? b? c a? b? c a? b? c

即长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三角形。 典型题 1、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
C.

A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0, 又 (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ?
2

5 ,故选 A 3

2、如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形
-5-

解: ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A 1B 1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由

? ? ? ? ? A2 ? 2 ? A1 ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? ? ? ? ? ? ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 sin B ? cos B ? sin( ? B ) ? 2 1 1 ,得 ? B2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?C2 ? 2 ? C1 ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ? ?
D。 3、 ? ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大 小为 (A)

? ?

?

? ? ?

? 6
? ? ?

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

【 解 析 】 p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b2 ? a2 ? c2 ? ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得 2 cos C ? 1 , 即

c oC s ?

1 ? ? C ? ,故选择答案 B。 2 3

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力。 4、已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( ) A.

3 2

B. 3

C.

15 8

D.

15 7

15 A 2? A 15 15 ? 15 ,选 D 2 ? 解:依题意,结合图形可得 tan ? ,故 tan A ? A 7 2 15 15 2 1 ? tan 2 1? ( ) 2 15 2 tan
5、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解: ?ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 b= 2 a, cos B ? 选 B. 6、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A) 1 (B)2 (C) 3 —1

a 2 ? c2 ? b2 a2 ? 4a2 ? 2a2 3 = ? , 2ac 4a2 4

? ,a= 3 ,b=1,则 c= 3
(D) 3

解:由正弦定理得 sinB=

1 ,又 a?b,所以 A?B,故 B=30?,所以 C=90?,故 c=2,选 B 2

2 7、设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,则 a ? b ?b ? c ? 是 A ? 2 B 的

(A)充要条件 (C)必要而充分条件

(B)充分而不必要条件 (D)既不充分又不必要条件
2

解析:设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? b ?b ? c ? , 则 sin A ? sin B(sin B ? sin C) ,则
2

1 ? cos 2a 1 ? cos 2 B ? ? sin B sin C , 2 2
-6-



1 (cos 2 B ? cos 2 A) ? sin B sin C , sin( B ? A)sin( A ? B) ? sin B sin C , 2

又 sin( A ? B) ? sin C ,∴ sin( A ? B) ? sin B ,∴ A ? B ? B , A ? 2 B ,
2 若△ABC 中, A ? 2 B ,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到 a ? b ?b ? c ? ,

2 所以 a ? b ?b ? c ? 是 A ? 2 B 的充要条件,选 A.

8、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________. 解: sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ?a?b?c=5?7?8 设 a=5k,b=7k,c=8k, 由余弦定理可解得 ? B 的大小为 9、在 ? ABC 中,已知 a ?

? . 3

3 3 ,b=4,A=30°,则 sinB= 4 3 。 2

.

3 2

解:由正弦定理易得结论 sinB=

10、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得,

AC BC ? 解得 AC ? 4 6 ? sin 45 sin 60?


【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 11、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为 解析: 由 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= ? 可得 ?B ? AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD ? 3 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、在△ ABC 中,已知 BC ? 8, AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ? 解:由三角形面积公式,得 .

?
3

1 3 BC ? CA ? sin C ? 20sin C ? 12 ,即 sin C ? . 2 5 7 7 2 于是 cos 2C ? 1 ? 2sin C ? 从而应填 . 25 25

-7-


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