当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(45)


加试模拟训练题(45) (附详细答案) 1.在锐角三角形 ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H, 以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。 2. 证明:对所有满足条件 x1>0,x2>0, x1y1- 成立,并求出等号成立的充要条件.

3. 有 1987 片玻璃片,每片上涂有红、黄、蓝三色之一,进行下列操作:将不同颜色的两块 玻璃片擦净,然后涂上第三种颜色(例如将一块蓝玻璃片和一块红玻璃片上的红色与蓝色擦 掉,然后在两片上涂上黄色).证明:1.无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少片,总可 以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色;2.最后变成哪一种颜色,与操作顺 序无关. 4、求所有具有下面性质的正整数 n:若 a、b 为正整数,且 n a 2 b ? 1 ,则一定有 n a 2 ? b 。 加试模拟训练题(45) 1.在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆 分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。 2. 证明:对所有满足条件 x1>0,x2>0, x1y1- 成立,并求出等号成立的充要条件. 【题说】第十一届(1969 年)国际数学奥林匹克题 6.本题由原苏联提供. 所以 当且仅当 x1=x2,y1=y2,z1=z2 时,等号成立. 3. 有 1987 片玻璃片,每片上涂有红、黄、蓝三色之一,进行下列操作:将不同颜色的两块 玻璃片擦净,然后涂上第三种颜色(例如将一块蓝玻璃片和一块红玻璃片上的红色与蓝色擦 掉,然后在两片上涂上黄色).证明:1.无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少片,总可 以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色;2.最后变成哪一种颜色,与操作顺 序无关. 【题说】第二届(1987 年)东北三省数学邀请赛题 4. 【证】设红片、黄片和蓝片的数目分别为 x、y、z.x、y、z 被 3 除后的余数中必有两个是 相等的.否则 x+y+z≡0+1+2≡0(mod3) 与 x+y+z≡1987≡1(mod3) 矛盾. 不妨设 x=3a+m,y=3b+n,z=3c+n,其中 m、n∈{0,1,2),c≥b. 若 c=b,则可将黄片、蓝片一对一地全变成红片. 若 c>b.先将 3b+n 片黄片与 3b+n 片蓝片一对一对地换成红片,这时黄片数为 0,蓝片数 为 3(c-b). 接着,将 1 片红片,1 片蓝片变成 2 片黄片,再将 2 片黄片、2 片蓝片变成 2 片红片.经过 这一过程,黄片数仍为 0,蓝片数减为 3(c-b-1).如果 c-b-1=0,结论已经成立.否 则,类似地再操作若干次,直至蓝片数减少至 0. 最后所有玻璃片都涂上了红色. 由于经过一次操作,黄片、蓝片数均减少 1,或一种减少 1,另一种增加 2.所以两种片数 除以 3 所得余数仍然相同.如果最后只剩下一 3 的余数才能相等,即所有玻璃片均为红色. 4、求所有具有下面性质的正整数 n:若 a、b 为正整数,且 n a 2 b ? 1 ,则一定有 n a 2 ? b 。 解: 我们称题中给出的性质为 P,下面先证明性质 P 与性质 Q 等价。 性质 Q:若 a 为正整数,且 (a, n) ? 1 ,则 n a 4 ? 1 。 事实上, 若 n 具有

相关文章:
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(2) 1、 设 xi (i ? 1, 2,3, 4) 为正实数,满足 x1 ? 1,...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(50) (附详细答案) 1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(4)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(4)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(4)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(85)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(85)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(85)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(93)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(93)_学科竞赛_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014全国高考状元联手分享状元笔记 ...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(16)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(16)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(16) 1、已知圆心分别为 O1 , O2 的圆 ?1 , ?2 外切...
更多相关标签:
全国中学生物理竞赛 | 全国中学生英语竞赛 | 中学生英语能力竞赛 | 中学生安全知识竞赛 | 中学生物理竞赛 | 全国中学生生物学竞赛 | 2016中学生英语竞赛 | 中学生法律知识竞赛 |