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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮阶段检测(理)4 解析几何初步 圆锥曲线方程


阶段性综合检测(四) 解析几何初步
时间 120 分钟

圆锥曲线方程
满分 150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 1. (2014· 晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是2, 则此直线的斜率是( A.

3 3 C. 2 B.- 3 D.± 3 )

1 3 解析:设倾斜角为 α,则 cosα=2,sinα= 1-cos2α= 2 ,∴斜率 k=tanα sinα =cosα= 3. 答案:A 2.(2014· 于都一模)已知过 A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行,则 a 的值是( A.5 C.-10 解析:依题意得 kAB= 答案:B 3.(2014· 丰台一模)过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上 的圆的方程是( ) B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 ) B.2 D.17 8-a =2,解得 a=2. a+1

A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4

解析:方法一:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r. ∵圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a. ∵|CA|2=|CB|2,

∴(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2, ∴a=1,b=1,∴r=2, ∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二:∵kAB= 1+1 =-1 且 AB 的中点为(0,0), -1-1

∴AB 的垂直平分线方程为 y=x. ?y=x 由? 可得圆心坐标为(1,1), ?x+y-2=0 ∴半径 r= ?1-1?2+?1+1?2=2, 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 答案:C 4. (2014· 白山联考)当 a 为任意实数时, 直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过点 C, 则以 C 为圆心,半径为 5的圆的方程为( A.x2+y2-2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 )

B.x2+y2+2x+4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0

解析:把直线方程化为(-x-y+1)+a(x+1)=0, ?-x-y+1=0, ?x=-1, 令? 得? ?x+1=0, ?y=2, ∴直线过定点 C(-1,2), ∴圆 C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化为一般式为 x2+y2+2x-4y=0. 答案:C 5.(2014· 北京房山区一模)过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-2)2+y2=9 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为( A.x=1 C.x-2y+3=0 B.y=1 D.x-y+1=0 )

解析:若∠ACB 最小,则 CM⊥l,可知 C(2,0), 2-0 1 ∴kCM= =-2,∴直线 l 的斜率为 k=2, 1-2 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=2(x-1),即 x-2y+3=0 答案:C

x2 y2 x2 6.(2014· 诸城一中月考)已知 a>b>0,e1,e2 分别为圆锥曲线a2+b2=1 和a2 y2 -b2=1 的离心率,则 lge1+lge2 的值( A.大于 0 且小于 1 C.小于 0 解析:可知 e1= b 1-?a?2,e2= ) B.大于 1 D.等于 0 b 1+?a?2,

∴lge1+lge2=lg(e1e2)=lg
2 2

b2 b2 ?1-a2?· ?1+a2?,



b2 b2 ?1-a2?+?1+a2? b b ?1-a2??1+a2?<[ ]=1, 2

∴lge1+lge2<lg1=0. 答案:C x2 y2 7.(2014· 山东实验中学诊断)抛物线 y =8x 的焦点到双曲线12- 4 =1 的渐
2

近线的距离为( A.1 3 C. 3

) B. 3 3 D. 6

3 解析:抛物线的焦点为 F(2,0),渐近线方程为 y=± 3 x,即 3x± 3y=0, 故焦点 F 到双曲线渐近线的距离为 d= 答案:A x2 8.(2014· 许昌模拟)已知抛物线 x2=4 3y 的准线过双曲线m2-y2=-1 的焦 点,则双曲线的离心率为( 3 2 A. 4 C. 3 ) 3 10 B. 4 3 D. 3 2 3 =1. 3+9

x2 解析:易知抛物线的准线方程为 y=- 3,双曲线m2-y2=-1 的焦点坐标

3 为(0,± m2+1),∴m2+1=3=c2,∴c= 3,∴双曲线的离心率为 e= 1 = 3. 答案:C 5 9.(2014· 贺兰一中期末)设椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y2 A.42-32=1 x2 y2 C.32-42=1 ) x2 y2 B.132-52=1 x2 y2 D.132-122=1

解析:对于椭圆 C1,a=13,c=5,曲线 C2 为双曲线,c=5,a=4,b=3, x2 y2 故其标准方程为42-32=1. 答案:A x2 y2 10.(2014· 兰州模拟)已知双曲线 C: 9 -16=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, P 为 C 右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 的面积等于( A.24 C.48 B.36 D.96 )

x2 y2 解析:∵双曲线 C: 9 -16=1 中,a=3,b=4,c=5, ∴F1(-5,0),F2(5,0). ∵|PF2|=|F1F2|, ∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16. 作 PF1 边上的高 AF2,则|AF1|=8,∴|AF2|=6,

答案:C 11.(2014· 孝感一中期末)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( 17 A. 2 B.3 )

C. 5

9 D.2

1 解析:利用抛物线的定义,连接点(0,2)和抛物线的焦点 F(2,0)交抛物线于 点 P,则点 P 使所求距离最小,其最小值为 答案:A 1 1 12.(2014· 莱芜期末)点 P 到点 A(2,0),B(a,2)及到直线 x=-2的距离都相 等,如果这样的点恰好只有一个,那么 a 的值是( 1 A.2 1 3 C.2或2 3 B.2 1 1 D.-2或2 ) 1 17 ?0-2?2+?2-0?2= 2 .

1 1 解析:∵点 P 到点 A(2,0)与到定直线 x=-2的距离相等, 1 ∴点 P 在以 A 为焦点,以直线 x=-2为准线的抛物线上,同时在线段 AB 1 1 的垂直平分线上,结合图形可知适合条件的点 B 的坐标为(-2,2)和(2,2),

1 1 故 a=-2或2. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2014· 大庆 35 中模拟)直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得的线段中点的 坐标是________. 解析:设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点 P(x0,y0).

?y=x-1, 方法一:联立方程组? 2 ?y =4x, 得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0, ∴x0= x1+x2 2 =3,y0=x0-1=2,

∴中点坐标为 P(3,2).
2 2 2 方法二:∵y2 =4x2,y2 1=4x1,∴y2-y1=4x2-4x1,



?y2-y1??y2+y1? =4,∴y1+y2=4,即 y0=2, x2-x1

∴x0=y0+1=3,故所求中点为 P(3,2). 答案:(3,2) 14.(2014· 德州二模)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B →· → =________. 两点,且|AB|= 3,则OA OB 3 解析:如图,作 OC⊥AB 于点 C,|AB|= 3,在 Rt△OAC 中,AC= 2 ,OA 1 →· → =1×1×cos120° =1,所以∠AOC=60° ,则∠AOB=120° ,所以OA OB =-2.

1 答案:-2 15.(2014· 南阳一中模拟)过双曲线的一个焦点的直线垂直于渐近线,且与双 曲线的两支相交,则该双曲线的离心率的范围为________. x2 y2 b 解析:设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),渐近线 y= x,则 a b a a 过点 F 的直线方程为 y=-b(x-c), b2x2-a2y2-a2b2=0, ? ? 联立方程组? a y=-b?x-c?, ? ? 得(b4-a4)x2+2a4cx-a4c2-a2b4=0,

?Δ>0, 由题意知? 解得 b4>a4,所以 b>a,得 e> 2. ?x1x2<0, 答案:( 2,+∞) 16.(2014· 六安二模)若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦 的长为 2 3,则 a=________. 1 解析:x2+y2+2ay=6 与 x2+y2=4 两式相减得 y=a, 1 ? ?y= , 4a2-1 联立方程组? a 消去 y 得 x2= a2 (a>0), ? ?x2+y2=4, 所以 2× 答案:1 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或 演算步骤) 17.(2014· 十堰二模)(本小题满分 12 分) 已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4, 则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 3 解得 a=-4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质, CD= , ? a + 1 ? 得?CD +DA =AC =2 , 1 ? ?DA=2AB= 2, |4+2a|
2 2 2 2 2

4a2-1 =2 3,解得 a=1. a

|4+2a| =2, a2+1

解得 a=-7 或 a=-1,

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.

18.(2014· 湛江二模)(本小题满分 12 分) x2 y2 已知双曲线a2-b2=1(0<a<b)的实轴长为 4,截直线 y=x-2 所得弦长为 20 2. 求:(1)双曲线的方程; (2)渐近线方程. 解:(1)∵2a=4,∴a=2, x2 y2 ? ? - 2=1, 由? 4 b 得(b2-4)x2+16x-16-4b2=0, ? ?y=x-2, 4b2 ∴|x1-x2|= , |4-b2| 又弦长为 2|x1-x2|=20 2,∴|x1-x2|=20, ∴ 4b2 2 2 10 2 =20,解得 b =5 或 b = <4(舍去), 3 |4-b |

x2 y2 ∴双曲线的方程为 4 - 5 =1. x2 y2 (2)∵双曲线的方程为 - =1, 4 5 5 ∴渐近线方程为 y=± 2 x. 19.(2014· 黑龙江部分重点中学联考)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y=2x2 上有不同的两点 A、B 关于直线 y=x+m 对称,试求实数 m 的取值范围. 解:由已知,设直线 AB 的方程为 y=-x+b, 代入 y=2x2,消去 y 得 2x2+x-b=0, 1 故 Δ=1+4×2b>0,∴b>-8. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),线段 AB 的中点为(x0、y0), 1 ? ?x1+x2=-2, 则? 1 ? ?y1+y2=-?x1+x2?+2b=2+2b,

1 ? ?x0=-4, ∴? 1 y = 0 ? ? 4+b,

又(x0,y0)在直线 y=x+m 上,

1 1 ∴4+b=-4+m, 1 1 1 3 ∴m=b+2>-8+2=8, 3 ∴m 的取值范围为(8,+∞). 20.(2014· 东北四校一模)(本小题满分 12 分) x2 y2 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x2+y2=b2 的一条切线. π (1)若直线 l 的倾斜角为3且恰过椭圆的右顶点,求椭圆的离心率的大小; (2)在(1)的条件下,设椭圆的上顶点为 A,左焦点为 F,过点 A 与 AF 垂直的 直线交 x 轴的正半轴于点 B,过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 x+ 3y+3=0 相 切,求椭圆的方程. 解:(1)令直线 l 与圆 O 相切于点 P,椭圆的右顶点为 G,在△OPG 中,∠ GOP=30° ,∠OGP=60° , OP 3 b 3 b2 则OG= 2 ,即a= 2 ,又a2=1-e2, b2 1 1 则 e =1-a2=4,∴e=2.
2

1 b2 3 (2)由(1)知 e=2,则a2=4, 令 a2=4m,b2=3m(m>0), x2 y2 则椭圆的方程为4m+3m=1, ∴A(0, 3m),F(- m,0),∴kAF= 3, ∴∠AFB=60° . 又|AF|=2 m,∴|FB|=4 m,B(3 m,0). 又∠FAB=90° ,∴过 A、B、F 三点的圆的圆心 Q 为 FB 的中点且其半径为 2 m,

∴Q( m,0),依题意知

| m+0+3| =2 m,∴m=1, 1+3

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. 21.(2014· 临沂期末)(本小题满分 12 分) 设 x,y∈R,i,j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 a =xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; → =OA → +OB → ,是否存在 (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点.设OP 这样的直线 l,使得四边形 OAPB 为菱形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 在,试说明理由. 解:(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8, ∴点 M(x,y)到两定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8, ∴点 M 的轨迹 C 为以 F1、F2 为焦点的椭圆,易知 a=4,c=2,∴b2=12, x2 y2 故轨迹 C 的方程为12+16=1. (2)∵直线 l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶 → =OA → +OB → =0, 点,这时OP ∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是菱形矛盾, 故直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+3 ? ? 由? x2 y2 + =1 ? ?12 16 消去 y,得(4+3k2)x2+18kx-21=0,

此时 Δ=(18k)2-4(4+3k2)(-21)>0 恒成立, 18k 且 x1+x2=- ,y +y =k(x1+x2)+6. 4+3k2 1 2 → =OA → +OB → ,∴四边形 OAPB 是平行四边形. ∵OP → |=|OB → |. 若四边形 OAPB 是菱形,则|OA → =(x ,y ),OB → =(x ,y ), ∵OA 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 ∴x1 +y2 1=x2+y2,∴x1-x2+y1-y2=0,

∴(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0, 又 y1-y2 =k,∴(k2+1)(x1+x2)+6k=0,解得 k=0, x1-x2

∴存在这样的直线 l,使四边形 OAPB 为菱形,且其方程为 y=3. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分。 22.(2014· 伽师二中二模)(本小题满分 10 分) 已知 i,j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a=(x- 3)i+yj,b=(x+ 3)i+ yj,且满足 b· i=|a|. (1)求点 P(x,y)的轨迹方程; (2)过点( 3,0)的直线 l 交上述轨迹于 A,B 两点,且|AB|=8 3,求直线 l 的方程. 解:(1)∵b· i=(x+ 3)i2+yi· j=x+ 3, ∴x+ 3= ?x- 3?2+y2,化简得 y2=4 3x. ?x=ty+ 3, (2)设 l:x=ty+ 3,联立? 2 得 y2-4 3ty-12=0,设 A(x1,y1)、 ?y =4 3x, B(x2, y2), 结合|AB|=8 3得 1+t2|y1-y2|=8 3, 得 t=± 1, 所以 l 为 x-y- 3= 0 或 x+y- 3=0. 23.(2014· 南昌一模)(本小题满分 10 分) 直线 l 经过点 P(5,5),且和圆 C:x2+y2=25 相交,截得的弦长为 4 5,求 l 的方程. 解: 可设出直线 l 的方程为 y-5=k(x-5), 联立圆的方程得出一个一元二次 方程,根据距离公式及根与系数的关系,由弦长为 4 5得 2k2-5k+2=0,得 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.也可画出图象,利用图象性质及勾股定理 解答. 24.(2014· 南阳一中模拟)(本小题满分 10 分) 已知动点 M 到定点 A(3,0)与定点 O(0,0)的距离之比为 k(k>0). (1)求动点 M 的轨迹方程,并讨论动点 M 的轨迹; (2)设动点 M 组成的集合为 A,集合 B={(x,y)|y≤x},若 A?B,求 k 的取

值范围. ?x-3?2+y2 解:(1)设 M(x,y),则 =k,化简得(k2-1)x2+(k2-1)y2+6x-9 x2+y2 =0, 当 k=1 时,为一条直线;当 k≠1 时,为以(- 为半径的圆. (2)当 k≠1 时,点 M 的轨迹是圆,由 A?B,则圆心到直线 y=x 的距离大于 2 或等于半径,且圆心在 y=x 的下方,列出不等式组得 0<k≤ 2 .当 k=1 时,A 2 ?B 不成立,可知 k 的取值范围为 0<k≤ 2 . 3 3k ,0)为圆心,以| 2 | k -1 k -1
2


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