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2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛)


2015 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) (5 月 17 日下午 14:30——16:30) 题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30

分) 一 二 三 13 14 15 16 总成绩 1、已知 n 为正整数,二项式 ( x2 ? 1 n ) 的展开式中含有 x 7 项,则 n 的最小值为 3 x 【 】 A、4 B、5 C、6 D、7 a b c ? ? ,则 ? A cos A 2 cos B 3 cos C 【 】 5? D、 12 2、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 的大小为 ? A、 6 B、 ? 4 C、 ? 3 3、 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 30 0 , 则由平面 ? 上的圆在平面 ? 上的正射影得到的椭圆的离 心率为 A、 1 3 【 B、 1 2 】 C、 3 3 D、 3 2 4、记函数 f ( x) ? 2 ? x ? 3x ? 12 的最大值为 M,最小值为 m,则 A、 6 2 M 的值为 m 【 】 B、 2 C、 3 D、2 5 、已知正三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是正三角形,该三棱锥的外接球的球心 O 满足 OA ? OB? OC?0 ,则二面角 A ? PB ? C 的余弦值为 A、 1 6 【 D、 3 3 】 B、 2 8 C、 1 5 6、设质数 p,满足存在正整数 x,y 使得 p ?1 ? 2x 2 , p 2 ?1 ? 2 y 2 ,则符合条件的质数 p 的个数 2015 年全国高中数学联赛(四川初赛)第 1 页 (共 8 页) 为 A、1 得 分 评卷人 【 B、2 C、 3 D、4 】 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 i 为虚数单位,复数 z ? 4 ? 2i ,则 z = 1? i . . . . 8、若 4a ? 6b ? 9c ,则 1 2 1 ? ? ? a b c 9、已知点 P ( x, y ) 满足 x ? y ? 2 ,则到 x 轴的距离 d ? 1 的点 P 的概率是 10、设 x ? sin x ? cos? 1 ? 0,2 cos y ? 2 y ? ? ? 4 ? 0 ,则 sin(2 x ? y) 的值是 11、在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 为矩形 ABCD 所在平面上一点,满足 PA=2,PC= 21 , 则 PB ? PD ? . 12 、 对 任 意 正 整 数 n , 定 义 函 数 ? (n) 如 下 : ? (1) ? 1 , 且 当 n ? p1?1 ? p2?2 ????? pk?k ? 2 时 , ? ( n) ? ? ?(?1)t , ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? t ? 1 ,其中 t ? 1, p1 ,? ? ?, pk 是不同的质数. 0,否则 ? k 若记 A ? {x1 , x2 ,? ? ?, xk } 为 12 的全部不同正因数的集合,则 ? ? ( xi ) ? i ?1 . 得 分 评卷人 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)

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