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全国高中数学联赛预赛2016山东详解


2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题
2016 一、填空题(本题共 1.方程 x 10小题,每小题 8分,共 80分) 年 9月 4日

x

x

6 的解为 x

____________________________________________ . 6 ,则方程化为 x x



【解析】若 x 若3

6 ,解得 x

6 ;若 x

2x 6 ;
2;

x

6 ,解得 x

6 ,不合题意,舍去;若 x 2,6 .

3 ,解得 x

综上知,此方程有两解 2.方程

lg x

lg lg x

10000 的整数解为 x y ,则方程化为

____________________________________________ .
4

【解析】记 lg x 若

y

lg y

10 ,两边取对数解得:

lg y

2;

lg lg x lg lg x

2 ,则 lg x 100 ,故 x 10100 ; 2 ,则 lg x
1 100
,故



x

10 10
100

1 100

,不是整数,舍去;

综上知,此方程的整数解只有一个 3.若实数

x



x 满足 arcsin x

arccos x ,则 f

x

2x

2

x

3

2

x

2

x

的取值范围是

____________________________________________ .
【解析】依题意知 故0

x

1,1 ,若 1

x
,而

0 ,则 arcsin x

0

arccos x ,不合题意,
是边界,

x 1 ,此时 arcsin x 从 0 增到 2 2

2

arccos x从

2

减到 0 ,故相等时

4

即解 arcsin x

arccos x 得:
2

x 1,

考虑到定义域 因此

2x

x 3

0与

x

2

x

0 ,只有 x 3 .

1 满足,

f x x

3 ,从而 f x 的取值范围是
2n 1

4.在

x P

1 x x

n 1

N * 的展开式中, x 的整数次幂项的系数和为
2n 1 2n 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

【解析】记

,Q

x

x

1

n

N* ,

则 P和 Q中

x 的整数次幂项的 系数 和相等,非整数次幂项的系数和是相反数,
3
2n 1

令 x

1 得: P Q

1 ,因此 x 的整数次幂项的系数和为
2 3

3

2n 1

1



2
,则

5.已知点 P是△ ABC 的外心,且 PA
2

PB
2

PC
2

0, C

______________________________ .

解析:由已知得

2

PA PB
2

PA

PB

PA PB cosC
2

1 ,∴

1,

PC
依题意知, 6.已知

PC

1.
20

x1, x2 ,

, x20 是 1,2,

,20 的一个排列,且满足
i 1

xi

i

xi

i

620 ,

则这样的排列有

____________________________________________ 个.
20 20 20

【解析】依题意知:

620
i 1

xi

i

xi

i

2
i 1

max xi , i

4
i 11

i

620 ,



x1, x2 ,

, x10

11,12,
10!

,20 , x11 , x12 ,
2

, x20

1,2,

,10 ,

因此满足条件的排列数为


A

7.在四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 所成的二面角为 60°, 顶点 A在面 BCD 上的射影是△ BCD 上的垂心 H,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ △ ABC 的重心是 G ,若 AH = 4 , AB = AC ,则 GH =_ .
B

G D F H C

【解析】取 BC 中点 F,连结 AF ,依题意得: 重心 G 在 AF 上,∠ AFH = 60°, ∴ AF

AH sin 60
0

8 3

, FH

1 2 GH

AF 4 9

4 3

, FG

1 3

AF

8 3 3



在△ FGH 中运用余弦定理得:

21 . 1 50 1 65 ,arcsin 1 50
,且 sin

8. arcsin

1 10

arcsin 1 10

1 26

arcsin 1 26

arcsin

________________________________________ . 1 65 1 10 ,sin 1 26


【解析】记 arcsin

,arcsin

,arcsin





, , ,

0, 4

, 0

sin

1 50

,sin

1 65

,cos 4 65

3 10 ,cos

,cos

5 26 7 65

,cos

7 50

,cos 3 130


8 65




由和角公式得:

sin 11 130

,sin

cos

,cos

1 2

,故

4

9.已知

,

满足

3

3

2

5
3

4
2 1

0,
1

3

3

2

5
3

2 0 ,则
2 1 1 0,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

【解析】由已知得: ∴ 记

1
3

0, 1

1,1

是方程 x

2 x 1 0 的根,

f x
3

x

3

2 x 1 ,则 f ' x

3x

2

2

0 ,∴ f x 在 R上单调递增,
1 1
,∴

故方程 x

2x 1 b ,使

0 只有一个根,从而 ab
2

2.

10.已知 a

为素数的正整数对

a, b

____________________________________________ .

a b
【解析】令

d
p ,则

a, b , a d uv
2 2

du, b

dv, u, v

1, d , u, v

N* ,



ab a

2

b

p u v , u,v u p 1 ,故 uv p , 或 u 1 v p
b

2

由于

u v, u

u v, v u 1 v
2

又 p 是素数,故

1



v 1



u 1 v 1 u v

,则

d

2 p ,∴ p

2 ,∴ a

2 ,不合题意,舍去;



p 1

,则

d 1 d 1

1 p ,∴

d 1 1 d 1 p

,∴

d p

2 3

,∴

a b

6 2





u 1 v p

,则

d p

2

p 1 ,分 d

1和 d

2 ,易知此等式无正整数解;

综上,

a, b

6,2 .
4个小题,前两个小题每题满分 15分,后两个小题每题满分 20分,

二、解答题(本大题共

共 70 分,需写出详细的解答过程) 11.已知过椭圆

E:

x a

2 2

y b

2 2

1 的左焦点 F

c,0 的直线 l 与此椭圆交于 A、 B两点,线段

AB 的垂直平分线交此椭圆于

C、 D 两点,若 AC ⊥ AD ,试求直线 l 的方程.

【解析】由 AC ⊥ AD得, BC ⊥ BD ,故 A、 B、 C、 D四点共圆, 当直线 l 的斜率为 0 或不存在时, A、 B、 C 、 D四点不可能共圆,不合题意, 于是设直线 l 的方程为

y

k x c ,则直线 CD 的方程可设为 x
x a
2 2 2

ky x ky

m, m 0,

故过 A、 B、 C、 D四点的曲线方程为
2

y b

2

2

1

kx

y kc
xy 项,

此方程是一个圆的方程,

x 与 y 项的系数相等,且没有

1 a
2

k k
2

1 b
2

k
,∴

1 2 2b k 1
cos 1 n n 3 n

1 2 2a ,因此直线 l 的方程为 y

x c .

1

0 1 n sin 2 n 1 n

12.求证: sin

3 n

N* . 1 n 1 n 1 n 3 n

【证明】由于不等式

sin

sin

2 n

cos

等价于 tan

2sin

0 n

N* ,

构造函数

f x
1

tan x

2sin x 3 x 0
3

x 1 ,
2

则 f ' x 构造函数 则 ∴ ∴

cos x

2

2cos x 3
3 2

2cos x 3cos x 1 cos x
2



g x

2cos x 3cos x 1 0
2

x

1 , 0,

g' x

6cos x sin x 6cos x sin x g 0 f 0
3 n 0, xn
1

6cos x sin x 1 cos x 0,

g x 是增函数,∴ g x f x 是增函数,∴
1 n
得: tan

0 ,∴ f ' x 0,
N* . 2 xn
2

f x
2sin 1 n

令 x

1 n

0 n

13.已知数列 证明:在

xn 满足 x1

5xn

1 n

N* ,

x1, x2 ,

, x2016 中,最少可以找到 672个无理数.
2

【证明】依题意知,数列 即

xn 是正项递增数列,由已知得, 4 ,以 n 1 代 n 得: xn
2 2 2

xn

1

5 xn
1

4 xn 4,

2

1 ,

xn

2 1

xn

2

2 5xn 1xn xn

xn

2 1

2 5 xn 2 xn

两式作差,整理得:

xn
1

xn

2 5 ,故 xn , xn 1, xn 2 三项中至少有一项是无理数,
672 项为无理数.

因此在

x1 , x2 ,

, x2016 中,至少含有 2016 3 a1 a2 1, a2n
1

另一方面,令

a2 n

1

10a2 n , a2 n

a2n

2

2a2 n

1

n

N* ,

则数列 再令 且在

an 是整数数列, 5a2n , x2n
1

x2 n x1 , x2 ,

a2n

1

n

N * ,则数列

xn 满足条件,

, x2016 中,含有 2016

2 1008 项为无理数,

因此在

x1 , x2 ,

, x2016 中,最少可以找到 672 个无理数. A 20, B 16 ,集合 A满足:
a ba A, b B ,

14.已知集合 A、 B都是由正整数组成的集合,且 若

a b

m

n a, b , m, n

A ,则 a , b

m, n ,定义 A B

试确定

A B 的最小值. A a1, a2 , , a20 , B
16

【解析】记

b1, b2 , Cj ,

, b16 , C j

ai

bj i

1,2,

, 20 ,

其中 j

1,2,

,16 ,则 A B
j 1

先用反证法证明 则存在 且 ∴ ∴ ∴

Cm

Cn

1m
1

n :假设存在 C m , Cn m
bm , al1
1 2

n , Cm
Cm

Cn

2,

k1 , k2 , l1 , l 2 ,使得: a k bm ak
2

bm , a k2

bn , al 2
1 2

bn

Cn ,

ak ak ak

1

ak

2

bn , al
2

1

bm
1

al al
bm

2

bn , ak al
1

ak , al
2

al ,
1

1

al
2

1

al ,∴ ak al ,∴ ak
2 1

2

ak ,∴ ak
bn

a l1

a k2 bn a l 2

al 2 , bm ,

1

al , ak
1

C n , al 2

C m ,∴ ak1

Cm

Cn 中最多只有一个元素,与假设矛盾,故
16 16

Cm
Cm

Cn
Cn

1 m

n 成立;
2

由容斥原理得:

A

B
j 1 2

Cj
k 1 20

Ck
1 m n 16 2

20 6 C16

200 ,

另一方面,令

A

2, 2 ,

,2 Cm

,B Cn 2

2, 2 ,
m

,2

16

,容易验证:

当 m, n , k 互不相等时有, 综上知,

2

n

, Cm

Cn

Ck

,这时

A B

200 ,

A B 的最小值是 200 .


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