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2014年1月浙江省普通高中学业水平考试(数学)


2014 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试 数学试题
学生须知: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 100 分,考试时间 110 分钟. 2、考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3、选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如要改动,须将原填 涂处用橡皮擦净. 4、非选择题的答案须用

黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内,作图时可先 使用 2B 铅笔,确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试卷上无效. 5、参考公式 球的表面积公式:S=4?R2 球的体积公式:V= 4 ?R3(其中 R 表示球的半径)

3

选择题部分
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的 选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 1、设集合 M={0,1,2},则 ( ) A.1∈M B.2?M C.3∈M D.{0}∈M 2、函数 y ? x ? 1 的定义域是 ( )

A. [0,+∞) B.[1,+∞) C. (-∞,0] D.(-∞,1] 3、若关于 x 的不等式 mx-2>0 的解集是{x|x>2},则实数 m 等于 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 4、若对任意的实数 k,直线 y-2=k(x+1)恒经过定点 M,则 M 的坐标是 ( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2) 5、与角- ? 终边相同的角是

6

( C. 11? D. 2?



A. 5?

6

B. ?

3

6

3

6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示,则该几何体的正视图是(



A.

B.

C.

D.

7、以点(0,1)为圆心,2 为半径的圆的方程是 A.x2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+y2=2 C. x2+(y-1)2=4 8、在数列{ an }中,a1=1,an+1=3an(n∈N*),则 a4 等于

(第 6 题图) ( ) 2 2 D. (x-1) +y =4 ( )

A.9

B.10

C.27

D.81 ( )

9、函数 y ? x 的图象可能是
y
y O x
O

y

y

x

O

x
O

x

A. B. C. 10、设 a,b 是两个平面向量,则“a=b”是“|a|=|b|”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11、 设双曲线 C:x 2 ?
2

D. ( )

a

y2 (2, 0) , 则双曲线 C 的方程是 ( ? 1(a ? 0) 的一个顶点坐标为 3
2 y B. x ? ?1 2



2 y A. x ? ?1

2

16

3

12

3

2 y C. x ? ?1

2

8

3

2 y D. x ? ?1

2

4

3

12、设函数 f(x)=sinxcosx,x∈R,则函数 f(x)的最小值是 A. ? 1

( D.-1 (



4
x ?1

B. ? 1

2

C. ?

3 2

13、若函数 f(x)= x2? a (a∈R)是奇函数,则 a 的值为 A.1 B.0 C.-1 D.± 1 14、在空间中,设 α,?表示平面,m,n 表示直线.则下列命题正确的是 A.若 m∥n,n⊥α,则 m⊥α B. 若 α⊥?,m?α,则 m⊥? C.若 m 上有无数个点不在 α 内,则 m∥α D.若 m∥α,那么 m 与 α 内的任何直线平行 15、在△ ABC 中,若 AB=2,AC=3,∠A=60° ,则 BC 的长为 A. 19 B. 13 C.3 D. 7











16、下列不等式成立的是 - - A.1.22>1.23 B.1.2 3<1.2 2 C. log1.2 2>log1.2 3 x 17、设 x0 为方程 2 +x=8 的解.若 x0 ∈(n,n+1)(n∈N*),则 n 的值为 A.1 B.2 C.3 18、下列命题中,正确的是 A. ? x0∈Z,x02<0 B. ?x∈Z,x2≤0 C. ? x0∈Z,x02=1

( ) D.log0.2 2<log0.2 3 ( ) D.4 ( ) D.?x∈Z,x2≥1

19、 若实数 x,y 满足不等式组

y?0 ?xx ? ? y?2? 0

, 则 2y-x 的最大值是 (


A1

D1 E B1 D A B

C1

A.-2 B.-1 C.1 D.2 20、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段 A1C1 的中点, 则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为 ( ) A.15° B.30° C.45° D.60°

C

(第 20 题图) 21、研究发现,某公司年初三个月的月产值 y(万元)与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c(如 n=1 表示 1 月份).已知 1 月份的产值为 4 万元,2 月份的产值为 11 万 元,3 月份的产值为 22 万元.由此可预测 4 月份的产值为 ( ) A.35 万元 B.37 万元 C.56 万元 D.79 万元 2 2 3 4 22、设数列{ an },{ an } (n∈N*)都是等差数列,若 a1=2,则 a2 + a3 + a4 + a55 等于( ) A.60 B.62 C.63 D.66
2 y 23、设椭圆?: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1,F2,若椭圆?上存在点 P,使△ P F1F2 2

a

b

是以 F1P 为底边的等腰三角形,则椭圆?的离心率的取值范围是 A. (0, 1 )

( D. ( 1 ,1)



2

B. (0, 1 )

3

C. ( 1 ,1)

2

3

24、设函数 f ( x) ?

x ,给出下列两个命题: x ?1

①存在 x0∈(1,+∞),使得 f(x0)<2; ②若 f(a)=f(b)(a≠b),则 a+b>4.其中判断正确的是 ( ) A.①真,②真 B. ①真,②假 C. ①假,②真 D. ①假,②假 25、如图,在 Rt△ ABC 中,AC=1,BC=x,D 是斜边 AB 的中点,将△ BCD 沿直线 CD 翻 折,若在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 ( ) A. (0, 3] B. (

2 , 2] 2

C. ( 3, 2 3]

D.(2,4]

B

B D C C A D

A

(第 25 题图)

非选择题部分
二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、设函数 f(x)= x , x ? 2
2

?

3x ? 2, x ? 2

,则 f(3)的值为

27、若球 O 的体积为 36?cm3,则它的半径等于 cm. 2 2 28、设圆 C:x +y =1,直线 l: x+y=2,则圆心 C 到直线 l 的距离等于

.

??? ? ??? ? 29、设 P 是半径为 1 的圆上一动点,若该圆的弦 AB= 3 ,则 AP ? AB 的取值范围是
30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数,max{a,b,c}表示实数 a,b,c 的最大值.设 A= ave{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },M= max{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },若 M=3|A-1|,则 x 的取值

2

2

2

2

范围是 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,对角线 P AC 与 BD 相交于点 E,平面 PAC 垂直于底面 ABCD,线段 PD 的中点为 F. F (1)求证:EF∥平面 PBC; D C (2)求证:BD⊥PC.
A E B

(第 32 题(A)图) (B) 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PB⊥AC, PC⊥平面 ABC, 点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点. (1)求证:AC⊥平面 PBC; ( 2 )设二面角 D - CE - B 的平面角为 θ ,若 PC=2 , BC=2AC=2 3 ,求 cosθ 的值.
P

D

C E A

B

(第 32 题(B)图)
y

33、 (本题 8 分)如图,设直线 l: y=kx+ 2 (k∈R)与抛物线 C: y=x2 相交于 P,Q 两点,其中 Q 点在第一象限. (1)若点 M 是线段 PQ 的中点,求点 M 到 x 轴距离的最小 值; (2)当 k>0 时,过点 Q 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 R,

R P O

Q x

??? ? ??? ? 若 PQ ? PR =0,求直线 l 的方程.

(第 33 题图) 34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=x2-ax+b,a,b∈R.. (1)已知 f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,求 a 的取值范围; (2)存在实数 a,使得当 x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值.

解答
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的 选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
题号 答案 题号 答案

1 A 16 B

2 B 17 B

3 C 18 C

4 C 19 C

5 C 20 B

6 A 21 B

7 C 22 A

8 C 23 D

9 A 24 C

10 A 25 A

11 D

12 B

13 B

14 A

15 D

25 题解答

x 2 ? 1 ,BC=x,取 BC 中点 E, 2 翻折前,在图 1 中,连接 DE,CD,则 DE= 1 AC= 1 , 2 2
(1)由题意得,AD=CD=BD= 翻折后,在图 2 中,此时 CB⊥AD。 ∵BC⊥DE,BC⊥AD,∴BC⊥平面 ADE,∴BC⊥AE,DE⊥BC, 又 BC⊥AE,E 为 BC 中点,∴AB=AC=1∴AE= 1 ? 1 x 2 ,AD=

4

x2 ? 1 , 2

在△ ADE 中:①

x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,② x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,③x>0; 2 2 4 2 2 4
2 2

由①②③可得 0<x< 3 . (2) 如图 3, 翻折后, 当△ B1CD 与△ ACD 在一个平面上, AD 与 B1C 交于 M, 且 AD⊥B1C, AD=B1D=CD=BD,∠CBD=∠BCD=∠B1CD,又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90° , ∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30° ,∴∠A=60° ,BC=ACtan60° ,此时 x=1× 3 ? 3 综上,x 的取值范围为(0, 3 ],选 A。
B B E D C C A E D A C M A B

D

B1

图1

图2

图3

▲对 25 题的本人想法
C F D E A B

(图 1)

(学业水平考试选择题的最后一题) 折纸时得到灵感! 这题应该是图 2 变化而来的吧。 (图 2)

【分析】 平面 AEF 是 BD 的垂面(如图 1) ,翻折时 AC 至少得达到 AF 位置, 此时必须∠CAD≥∠DAE, 【解答】 ∠CAD≥∠DAE,∠CAD=∠C=∠BAE≥∠DAE, ∠CAD+∠DAE+∠BAE =90°≤3∠C, 从而可得∠C≥30°,∠B≤60°,x=tanB≤ 3 ,故 x 的范围是(0,

3]

二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、7 29 题解答 27、3 28、 2 29、 [ 3 ? 3, 3 ? 3]

2

2

30、{x|x=-4 或 x≥2}

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? AB ? ( AO ? OP) ? AB ? AO ? AB ? OP ? AB ? 1? 3 ? 3 ? OP ? AB ? 3 ? OP ? AB 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OP 与 AB 共线时, OP ? AB 能取得最值。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ①若 OP 与 AB 同向,则 OP ? AB 取得最大值,∴ AP ? AB 取得最大值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ②若 OP 与 AB 反向,则 OP ? AB 取得最小值,∴ AP ? AB 取得最小值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3 2 2 ??? ? ??? ? ∴ AP ? AB 的取值范围是 [ 3 ? 3, 3 ? 3] 2 2
30 题解答

? ? 1 x ? 2, x ? 1 ? 2 ? ? x , x ? 0 1 由题意易得 A= x ? 1 ,故 3|A-1|=|x|= ,M= ? 1 x ? 1,1 ? x ? 2 x , x ? 0 2 3 ?x ,x ? 2 ? ?

?

∵M=3|A-1| ∴当 x<0 时,-x= ? 1 x ? 2 ,得 x=-4

2

当 0<x<1 时, x= ? 1 x ? 2 ,得 x= 4 ,舍去

2

3

当 1<x<2 时, x= 1 x ? 1 ,得 x=2,舍去

2

当 x≥2 时, x=x,恒成立 综上所述,x=-4 或 x≥2 注:此题数形结合更好得解。 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

解:∵ sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 4

5

2

5

5

2 ? 4? 2 ? 7 2 ∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 3 ? 4 4 4 5 2 5 2 10
32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,对角线 P AC 与 BD 相交于点 E,平面 PAC 垂直于底面 ABCD,线段 PD 的中点为 F. F (1)求证:EF∥平面 PBC; D C (2)求证:BD⊥PC.
A E B

(第 32 题(A)图) (1)证明:∵菱形对角线 AC 与 BD 相交于点 E∴AC 与 BD 互相平分,即 AE=CE,BE=DE 又∵线段 PD 的中点为 F∴EF 为△ PBD 的中位线∴EF∥PB 又 EF ? 平面 PBC,PB?平面 PBC∴EF∥平面 PBC (2)证明:∵平面 PAC⊥底面 ABCD,平面 PAC∩底面 ABCD=AC, 菱形 ABCD 中,AC⊥BD,BD?平面 ABCD∴BD⊥平面 PAC∴BD⊥PC

(B)如图,在三棱锥 P-ABC 中, ,PC⊥平面 ABC,. (1)求证:AC⊥平面 PBC; ( 2 ) 设 二 面 角 D - CE - B 的 平 面 角 为 θ , 若 PC=2 , BC=2AC=2 3 ,求 cosθ 的值.

P

D

C E A

B

(第 32 题(B)图) (1)证明:∵PC⊥平面 ABC∴PC⊥AC,又∵PB⊥AC,PC∩PB=P∴AC⊥平面 PBC (2)解:∵PC⊥平面 ABC∴PC⊥AC,PC⊥BC, P 又 AC⊥平面 PBC∴AC⊥PC,AC⊥BC 即 CA,AB,CP 互相垂直。 如图,取 BC 的中点为 F,连接 DF,EF D ∵点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点 ∴EF∥AC,DE∥PA,DF∥PC C F ∴EF⊥BC,DF⊥BC,DF⊥平面 ABC, M 且 EF= 1 AC= 3 ,DF= 1 PC=1,CF= 1 CB=1
E A

B

2

2

2

∴ CE ? CF ? EF ? 1 ? 3 ? 2 ,
2 2

(第 32 题(B)图)

∴BC=CE=BE=2∴△BCE 是等边三角形 过 F 用 FM⊥CE 交 CE 于 M,连接 DM,FM

3 3 , DM ? DF 2 ? FM 2 ? 1 ? ( 3 )2 ? 7 ∴ FM ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2
3 MF 2 ? ? 21 ∴ cos ? ? cos ?DMF ? DM 7 7 2
33、 (本题 8 分)如图,设直线 l: y=kx+ 2 (k∈R)与抛物线 C:y=x2 相交于 P,Q 两点,其中 Q 点在第一象限. (1) 若点 M 是线段 PQ 的中点, 求点 M 到 x 轴距离的最小值; (2)当 k>0 时,过点 Q 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 R, 若 PQ ? PR =0,求直线 l 的方程.
y

R P O

Q x

??? ? ??? ?

(第 33 题图) 解: (1)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) 由

?

y ? kx ? 2 消去 y,整理得 x2 ? kx ? 2 ? 0 y ? x2

∴ x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? 2

∴ x0 ?

2 x1 ? x2 k ? , y0 ? kx0 ? 2 ? k ? 2 ? 2 2 2 2

点 M 到 x 轴距离的最小值为 2 (2)由题意得 R (? x2 , y2 ) ∴ PQ ? PR ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? (? x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 )(? x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = x1 ? x2 ? ( y2 ? y1 ) ? y1 ? y2 ? ( y2 ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ? 1) ? 0
2 2 2 2

??? ? ??? ?

2

∴ y2 ? y1 ? 1 ,从而 k ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 k ( x2 ? x1 ) ? 1
2 2

∴ k [( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ] ? 1 , k (k ? 4 2) ? 1
2 2

2

2

解得 k ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) (负根舍去)∵ k>0
2 2

∴ k ? 2 ?1

所以,直线 l 的方程为 y ? ( 2 ? 1) x ? 2 34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=x2-ax+b,a,b∈R.. (1)已知 f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,求 a 的取值范围; (2)存在实数 a,使得当 x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值. 解: (1)由题意得 a ? 1 ∴a≥2

2

(2)∵当 x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立∴2≤f(0)≤6,即 2≤b≤6 ①当 a≤0 时,f(x)在区间[0,b]上单调递增,∴f(x)min=f(0),f(x)max=f(b) 故

? ?

? ?b ? 2 b?2 即? , 2 b ? ab ? b ? 6 ?a ? b ? 6 ? 1 b ?

而函数 g (b) ? b ? 6 ? 1 在[2,6]上是增函数,故 g(b)min=g(2)=0,所以 a≥0,

b

结合 a≤0 得 a=0 ②当 a≥b 时,f(x)在区间[0,b]上单调递减,∴f(x)min=f(b),f(x)max=f(0)

? ? 故 b ? ab ? b ? 2 即 ?
2

b?6

b?6 a ? b ? 2 ?1 , ? b ?

而函数 h(b) ? b ? 2 ? 1 在[2,6]上是增函数,故 h(b)min=h(2)=0,所以 a≥0,

b

结合 a≤0 得 a=0


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