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高考调研第五章 单元测试


第五章

单元测试

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题 中只有一项符合题目要求) 1.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满 → → → 足 2AC+CB=0,则OC等于( → → A.2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 答案 A → → → → → → →

→ → 解析 OC=OB+BC=OB+ 2AC=OB+ 2(OC-OA),∴OC= → → 2OA-OB.故选 A. 1 2.复数 z= 的共轭复数是( 1-i 1 1 A. + i 2 2 C.1-i 答案 B 1+i 1 1 1 1 1 解析 z= = = + i, z = - i,故选 B. 2 2 1-i ?1-i??1+i? 2 2 ?1+2i?2 1 3.已知复数 z= ,则 + z 等于( |z| 3-4i A.0 C.-1 答案 A B.1 D.2 ) ) 1 1 B. - i 2 2 D.1+i ) → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3

?1+2i?2 ?4i-3??3+4i? -16-9 1 解析 z= = = =-1,所以 + z 25 25 |z| 3-4i =1-1=0.故选 A. 4. 设向量 a, 均为单位向量, b 且|a+b|=1, a 与 b 夹角为( 则 π A. 3 2π C. 3 答案 C π B. 2 D. 3π 4 )

解析 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,△ABC 为边长为 1 → → 2π 的等边三角形,记AB=a,AD=b,则 a 与 b 的夹角为 ,故选 C. 3 5.已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c -a)∥b,则 c 等于( A.(2,1) 3 1 C.( , ) 2 2 答案 A 解析 设 c = (x , y) , 由 (c + b) ⊥ a , (c - a) ∥ b 可 得 ) B.(1,0) D.(0,-1)

?x+1-y-2=0, ?x=2, ? ? ? 解得? 因此 c=(2,1). ? ? ?y+1=2?x-1?, ?y=1,

→ → → 6.已知 A,B,C 是圆 O:x2+y2=1 上三点,OA+OB=OC, → → 则AB· =( OA A. 3 2 ) B.- 3 2

3 C. 2 答案 D

3 D.- 2

解析 由题意知,OACB 为菱形,且∠OAC=60° ,AB= 3,∴ → → 3 AB· = 3×1×cos150° OA =- . 2 7.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最小 值为( ) B.6 D.3 2

A.2 3 C.12 答案 B

解析 ∵a⊥b,∴a· b=4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2.∴9x+3y≥2 32x+ y =2 32=6. → → → → → 8. 如图, 在△ABC 中, AD⊥AB, = 3BD, |=1, BC |AD 则AC· AD =( )

A. 3 C. 3 2

B.2 3 D. 3 3

答案 A 解析 → → → → → → → → AC =AB +BC=AB + 3BD=AB + 3(AD -AB )= (1-

→ → → → → → → 3)AB+ 3AD,∴AC· =(1- 3)AB· + 3· 2= 3. AD AD AD 9.已知向量 a,b 满足|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=2x3+ 3|a|x2+6a· bx+5 在实数集 R 上单调递增,则向量 a,b 的夹角的取值 范围是( ) π B.[0, ] 3 π D.[ ,π] 3

π A.[0, ] 6 π C.(0, ] 3 答案 B 解析 f′(x)=6x2+6|a|x+6a· b,

由 Δ=36|a|2-4×6×6|a|· |b|cos〈a,b〉≤0, 且|a|=2|b|≠0. 1 得 cos〈a,b〉≥ ,故选 B. 2 → → → → → 10.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· -AC)=0,则 (AB △ABC 是( )

A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C → → → → → → → → → 解析 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0 得(AB+AC)· -AC)= (AB 0,

→ → → → ∴AB2-AC2=0,即|AB|=|AC|, ∴AB=AC. → 1→ → → 11.已知△ABD 是等边三角形,且AB+ AD=AC,|CD|= 3, 2 那么四边形 ABCD 的面积为( A. 3 2 ) B. 3 3 2 9 3 2

C.3 3 答案 B 解析

D.

如图所示, → → → 1→ → CD=AD-AC= AD-AB, 2 → → → → 1→ → 1→ ∴CD2=( AD-AB)2?3= AD2+AB2-AD· , AB 2 4 → → ∵|AD|=|AB|, → → 5→ ∴ |AD|2-|AD|· |cos60° |AB =3, 4 → 解之得|AD|=2.

→ → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB= AD,∴|BC|= |AD|=1. 2 2 → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2.∴BC⊥CD. ∴S 故选 B. 12.平面向量也叫二维向量, 二维向量的坐标表示及其运算可以 推广到 n(n≥3)维向量, 维向量可用(x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设 n a=(a1,a2,a3,a4,…,an),b=(b1,b2,b3,b4,…,bn),规定向
n
四边形

ABCD=S△ ABD+S △ BCD=

1 2 1 3 ×2 ×sin60° ×1× 3= 3, + 2 2 2

量 a 与 b 夹角 θ 的余弦为 cosθ=

∑aibi i=1
n n

.已知 n 维向量 a,b,

?∑a2??∑b2? i=1 i i=1 i 当 a=(1,1,1,1, …, b=(-1, 1), -1,1,1,1, …, 1)时, cosθ 等于( A. n-1 n B. n-3 n n-4 n )

n-2 C. n 答案 D 解析

D.

?aibi=(n-2)-2=n-4.
i= 1

n

n n-4 n-4 2 ai =n, b2=n.∴cosθ= = . i n i= 1 i= 1 n· n

?

n

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) → 13.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+

→ → → OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为________. 答案 ± 2 解析 如图,

→ → → → → → → 作平行四边形 OADB,则OA+OB=OD,OA-OB=BA,∴|OD| → =|BA|. → → → 又|OA|=|OB|,∴四边形 OADB 为正方形,易知|OA|为直线在 y 轴上的截距大小,a=2.验证 a=-2 时,成立. 14.(2011· 浙江理)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向 1 量 α, 为邻边的平行四边形的面积为 , α 与 β 的夹角 θ 的取值范 β 则 2 围是________. π 5π 答案 [ , ] 6 6 1 解析 对于以向量 α, 为邻边的平行四边形的面积 S= |α||β|· β sin 2 1 1 1 〈α,β〉×2=|β|sin〈α,β〉= ,因此 sin〈α,β〉= ∈[ ,1], 2 2|β| 2 π 5π 因此 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是[ , ]. 6 6

15.(2011· 江西理)已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. 答案 π 3

解析 由|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,得 a· b=2,cos〈a, a· b 2 1 b〉= = = ,所以〈a,b〉=60° . |a||b| 2×2 2 16.△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,重心为 → → 3 → G,若 aGA+bGB+ cGC=0,则∠A=________. 3 答案 π 6

→ → → → → 解析 由 G 为△ABC 的重心知GA+GB+GC=0,GC=-GA- → GB. → → → → 3 3 → 因此由题意有 aGA+bGB+ c(-GA-GB)=(a- c)GA+(b 3 3 - 3 → c)GB=0. 3 → → 3 3 又GA、GB不共线,因此有 a- c=b- c=0, 3 3 b2+c2-a2 b2+c2-a2 3 3 即 a=b= c,cosA= = = . 3 2bc 2 3 2× c2 3 π 又 0<A<π,所以 A= . 6 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知向量 a=(sinθ, 3),b=(1,cosθ),

π π θ∈(- , ). 2 2 (1)求 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值. π 答案 (1)- (2)3 3 解析 (1)因为 a⊥b,所以 sinθ+ 3cosθ=0. 得 tanθ=- 3. π π π 又 θ∈(- , ),所以 θ=- . 2 2 3 π (2)因为|a+b|2=(sinθ+1)2+(cosθ+ 3)2=5+4sin(θ+ ). 3 π 所以当 θ= 时,|a+b|2 的最大值为 5+4=9. 6 故|a+b|的最大值为 3. 18.(本小题满分 12 分)如图,A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点, 3 4 点 B、P 在单位圆上,且 B(- , ),∠AOB=α,∠AOP=θ(0<θ<π), 5 5 → → → OQ=OA+OP,四边形 OAQP 的面积为 S.

(1)求 cosα+sinα 的值; → → (2)求OA· +S 的最大值及此时 θ 的值. OQ

1 π 答案 (1) (2)最大值为 2+1,此时 θ 的值 θ= 5 4 3 4 解析 (1)∵B(- , ),∠AOB=α, 5 5 3 4 1 ∴cosα=- ,sinα= ,cosα+sinα= . 5 5 5 (2)由已知得:A(1,0),P(cosθ,sinθ), → → → ∴OQ=(1+cosθ,sinθ),OA· =1+cosθ. OQ 又 S=sinθ, → → π ∴OA· +S=sinθ+cosθ+1= 2sin(θ+ )+1(0<θ<π). OQ 4 → → π 则OA· +S 的最大值为 2+1,此时 θ 的值 θ= . OQ 4 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 A A A A a,b,c.已知向量 m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ),m· n=- 2 2 2 2 1. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 1 答案 (1)- (2)2 2 A A A A 解析 (1)∵m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ),m· n=-1, 2 2 2 2 A A 1 ∴2cos 2 -2sin2 =-1,∴cosA=- . 2 2 2 1 2π (2)由(1)知 cosA=- ,且 0<A<π,∴A= . 2 3 ∵a=2 3,b=2,

a b 2 3 2 由正弦定理得 = ,即 = , sinA sinB 2π sinB sin 3 1 π ∴sinB= .∵0<B<π,B<A,∴B= . 2 6 π ∴C=π-A-B= ,∴C=B.∴c=b=2. 6 20.(本小题满分 12 分)设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边 → → → → 分别为 a、b、c,且满足(2a+c)· · +c· · =0. BC BA CA CB (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3.试求AB· 的最小值. CB 2 答案 (1) π 3 (2)-2

→ → → → 解析 (1)因为(2a+c)BC· +cCA· =0, BA CB 所以(2a+c)accosB+cabcosC=0, 即(2a+c)cosB+bcosC=0, 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 所以 2sinAcosB+sin(C+B)=0, 1 2π 即 cosB=- ,所以 B= . 2 3 2π (2)因为 b2=a2+c2-2accos , 3 所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4, 当且仅当 a=c 时取等号,此时 ac 最大值为 4, → → 2π 1 所以AB· =accos =- ac≥-2, CB 3 2 → → 即AB· 的最小值为-2. CB

21.(本小题满分 12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈ R. 1 (1)若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点 3 在一直线上? (2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° 为何值时,|a-tb|的值最小? ,t 1 解 (1)设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m 化简得( m-1)a=( -t)b, 3 3

?2m-1=0 ?3 ∵a 与 b 不共线,∴? ?m-t=0 ?3

?m= 3, ? 2 ?? 1 ?t=2. ?

1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一直线上. 2 3 (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60° =(1+t2-t)|a|2. 1 3 ∴当 t= 时,|a-tb|有最小值 |a|. 2 2 1 -1 22.(本小题满分 12 分)已知向量 a=( , ),b=(2,cos2x). sinx sinx π (1)若 x∈(0, ],试判断 a 与 b 能否平行? 2 π (2)若 x∈(0, ],求函数 f(x)=a· 的最小值. b 3 -1 1 π 解析 (1)若 a 与 b 平行, 则有 · cos2x= · 因为 x∈(0, ], 2, sinx sinx 2 sinx≠0,所以得 cos2x=-2,这与|cos2x|<1 相矛盾,故 a 与 b 不能平 行.
2 2 cos2x 2-cos2x 1+2sin x (2)由于 f(x)=a· b= - = = = 2sinx+ sinx sinx sinx sinx

1 π 3 1 ,又因为 x∈ (0, ],所以 sinx∈ (0, ],于是 2sinx+ sinx 3 2 sinx ≥2 1 1 2 2sinx· =2 2,当 2sinx= ,即 sinx= 时取等号.故函 sinx sinx 2

数 f(x)的最小值等于 2 2.


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