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2016届福建省师大附中高三上学期期中考试数学(文)试题 解析版


2016 届福建省师大附中高三上学期期中考试 数学(文)试题及解析
一、选择题
2 1.已知集合 A ? ??2,0,2? , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? ( )

?

?

A. ? 【答案】B

B. ?2?

C. ?0

?

D. ??2?

【解析】试题分析:由 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? ?1 ,所以 B ? {?1, 2},所以

A ? B ? {2} ,故选 B.
【考点】集合的交集运算. 2.已知向量 a ? (?1, 2), b ? (m,1) ,如果向量 a 与 b 平行,则 m 的值为( A.

?

?

?

?



1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

【答案】B 【解析】试题分析:由向量 a 与 b 平行,得 ?1?1 ? 2m ? 0 ,解得 m ? ? 【考点】平面向量平行的充要条件. 3.若 i 为虚数单位,则 A. 1 ? 2i 【答案】B 【解析】试题分析:
1 ? 3i ?( ) 1? i

?

?

1 ,故选 B. 2

B. ?1 ? 2i

C. 1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

1 ? 3i (1 ? 3i )(1 ? i ) ? ? ?1 ? 2i ,故选 B. 1? i (1 ? i )(1 ? i )

【考点】复数的运算. 4.已知 sin( A.

?
4

? x) ?

15 16

1 ,则 sin 2 x 的值为( 4 9 7 B. C. 16 8
析 】 试

) D. ?

15 16
分 析 :

【答案】C 【 解



? ? ? 1 7 sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? ,故选 C. 2 4 4 4 8
【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值,解答时通常是首先利用三角恒等变换 公式对已知三角函数进行处理,得到相关的结论后,再对所求式进行处理.处理已知三 角函数等式时要注意观察结构特征,主要观察: (1)角间关系,适时选用两角和差公式 与二倍角公式等; (2)函数的名称,主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换; (3)结构特征,主要是选用二角公式,或进行公式的逆用. 【考点】1、同角三角函数间的基本关系;2、二倍角. 5.要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象( ) 3?

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A.向左平移

? 个单位 12 ? 个单位 12

B.向右平移

C.向左平移

? 个单位 3 ? 个单位 3
? ?

D.向右平移 【答案】B

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 y ? sin? 4x ?

??

, x? )] 所 以 只 需 要 将 函 数 ? ? sin[ 4( 3? 12

?

y ? sin 4 x 的图象向右平移

? ?? ? 个单位可得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图象,故选 B. 12 3? ?

【考点】三角函数图象的平移变换. 【方法点睛】利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出 现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起 多大变化, 而不是 “角变化” 多少. 先周期变换 (伸缩变换) 再平移变换: 先将 y ? sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 移

1

|? |

?

倍( ? ? 0 ) ,再沿 x 轴向左( ? ? 0 )或向右平

?

个单位可得到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象.

6.等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a2 a4 ? ( ) A.6 【答案】C B.9 C.36 D.81

2 4 2 4 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 a1 ? a3 ? a5 ? a1 ,所以 (1 ? q ?q ) ?3(1 ? q ?q ) ? 21

1 ? q2 ? q4 ? 7 ,解得 q2 ? 2 ,所以 a2a4 ? a12q4 ? 32 ? 22 ? 36 ,故选 C.
【考点】等比数列的通项公式. 7.已知命题 p : ?x ? R, 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题
x x 3 2

的是( ) A. p ? q 【答案】B

B. ? p ? q

C. p ? ?q

D. ? p ? ? q

x x 【解析】 试题分析: 当 x ? 0 时,2 ? 3 ? 1 , 故命题 p 为假命题, 所以 ? p 为真命题. 作

出函数 y ? x 与 y ? 1 ? x 的图像如图所示,由图知命题 q 为真命题,所以 ? q 为假命
3 2

题,所以 ? p ? q 为真命题,故选 B.

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【考点】复合命题真假的判断. 8.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x ) 是( ) A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数 【答案】D 【解析】 试题分析: 因为 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln[1 ? ( ? x)] ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x ) ? f ( x) , 所 以 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 . 因 为 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x2 ) , 而 函 数
2 在 (0,1) 上是减函数,所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,故选 D. u( x) ? ? x ?1

【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的单调性. 9 .若函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? ? )在区间 ? ? ,π ? 的简图如右图所示 , 2

? π ?

? ?



? , ? 的值分别是( )

A. ? ? 2, ? ?

?

3 1 ? C. ? ? , ? ? 2 3
【答案】A

2? 3 1 2? D. ? ? , ? ? ? 2 3
B. ? ? 2, ? ? ?

【解析】试题分析:由图知, T ? 2[

?

? 2? ? (? )] ? ? ,所以 ? ? ? 2 .又由图知, 6 3 T

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sin(2 ?
以? ?

?
6

? ? ) ? 0 ,所以
,故选 A.

?
3

? ? ? k? (k ? z ) ,即 ? ?

?
3

? k? (k ? z ) ,而 ? ? ? ,所

?

3

【考点】三角函数的图象与性质. 10.如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD ? (

??? ?

??? ?

????

???? ????



A

B

D

C

A. 2 3 【答案】D

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 A D

A, B 所 以 A D ?

???? ??? ? A ?B 0 , 则


??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AD ? ( AB ? BC) ? AD ? AB ? AD ? BC ? AD

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? 2 3 BD ? AD ? 3( AD ? AB) ? AD ? 3 AD ? 3 ,故选 D.
【考点】1、平面向量的加减运算;2、平面向量的数量积;3、平面向量垂直的充条件. 11.函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为( )

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

f(

?
2

? ) ?1

0 故 排 除 ,

A ; 因 为

f (? x) ? (1 ? cos x)(? sin x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 为奇函数,故排 除 B ;因 为
分别作出 y ? cos x 与 y ? cos 2 x 的图象, 可知极值点在 ( , ? ) f ?( x) ? cos x ? cos 2 x , 2 上,故选 C. 【考点】1、函数的图象;2、函数的奇偶性;3、利用导数研究函数的单调性. 12.数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 ?an ? 的前 44 项和为( ) A.990 【答案】A B.870 C.640 D.615

?

【解析】试题分析:当

n 为 奇 数 时 , n ? 1 为 偶 数 , 此 时 an?1 ? an ? 2n ?1 ,

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an?2 ? an?1 ? 2(n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 ,两式相减得 an?2 ? an ? 2 ,所以前 44 项中奇数项的
和 S奇 ?

22 ? 2 ? 22 ; 当 n 为 偶 数 时 , n ? 1 为 奇 数 , 此 时 an?1 ? an ? 2n ?1 , 2

an?2 ? an?1 ? 2(n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 ,两式相加得 an?2 ? an ? 4n ,所以前 44 项中奇数项
的和 S偶 ? 4 ? (2 ? 6 ? 10 ? ? ? 42) ? 4 ?

11(2 ? 42) ? 968 ,所以此数列前 44 项和为 2

22 ? 968 ? 990 ,故选 A.
【考点】1、数列求和;2、等差数列的前 n 项和. 二、填空题 13.已知 a ? 3, b ? 2 , a 与 b 的夹角为 30 0 ,则 a ? b ? _ 【答案】1 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 得 a ? b ?| a | ? | b | cos30? ? 3 ? 2 ?

?

?

?

?

? ?

_____.

? ?

?

?

3 ? 3 ,所以 2

? ? 2 ?2 ? ? ?2 a ? b ? a ? 2a ? b ? b = 22 ? 2 ? 3 ? ( 3)2 ? 1 .
【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式 | a |2 ? a ? a ? a 进行转化,即实 现平面向量的运算与代数运算的转化, 本题已知两个向量 a, b 的模与夹角求由两个向量

?

?2

? ?

? ?

? ? ? ?2 ? ? ? ? a, b 构成的向量线性关系 ma ? nb 的模,就是主要是利用公式 | a |2 ? a ? a? a 进行转
化. 【考点】1、平面向量的夹角;2、平面向量的模.
x 14.若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是______________.

【答案】 0 ? b ? 2
x x 【解析】试题分析:由函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,得 2 ? 2 ? b 有两个不等 x 的根,即函数 y ? 2 ? 2 与函数 y ? b 的图象有两个交点,如图,由图可得 0 ? b ? 2 .

【考点】1、函数的零点;2、函数的图象.

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15.若等差数列 ?an ? 满足 a6 ? a7 ? a8 ? 0 , a6 ? a9 ? 0 ,则当 n ? ________时, ?an ? 的 前 n 项和最大. 【答案】7 【解析】试题分析:由 a6 ? a7 ? a8 ? 0 ,可得 a7 ? 0 .又 a6 ? a9 ? a7 ? a8 ? 0 ,所以

a8 ? 0 ,所以当 n ? 7 时, ?an ? 的前 n 项和最大.
【考点】等数列的性质. 16. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 0 的方向上,行驶 600 米后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 750 的方向上, 仰角为 30 0 ,则此山的高度 CD ? _____米.

【答案】 100 6 【解析】试题分析:由题意,得 ?BAC ? 30? , ?ABC ? 105? .在 ?ABC 中,由 ?ABC ? ?BAC ? ?ACB ? 180? ,所以 ?ACB ? 45? .因为 AB ? 600 ,由正弦定理, 得

600 BC ? sin 45? sin 30?





B ? C3

0

0 . m2 在

R ?t

B 中 C , D

t

a ?C n B? D

?? t

C D a ?n BC 3

C D 3 ,解得 0 CD ? 100 6m . 0 0 2

【考点】1、三角函数的定义;2、正弦定理. 【规律点睛】解斜三角形应用题常有以下几种情形: (1)实际问题经抽象概括后,已知 量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之; (2)实际问题经 抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个 三角形中求出问题的解; (3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题 目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理. 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等 比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ????? a3 n?2 .
2 【答案】 (Ⅰ) an ? ?2n ? 27 ; (Ⅱ) ?3n ? 28n .

【解析】试题分析: (Ⅰ)先由等比数列的的性质建立方程求得公差 d ,再由等差数列

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的通项公式求出 an ; (Ⅱ)由等差数列的性质可知数列 ?a3n?2 ? 也是等差数列,从而利 用等差数列的前 n 项和公式求出结果. 试题解析: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由题意 a112 ? a1a13 , 即 (a1 ? 10d )2 ? a1 (a1 ?12d ) 于是 d (2a1 ? 25d ) ? 0 ,又因为 a1 ? 25 , d ? 0 , 所以 d ? ?2 ,故 an ? ?2n ? 27 (Ⅱ)令 Sn ? a1 ? a4 ? a7 ? ... ? a3n?2 ,由(Ⅰ)知 a3n?2 ? ?6n ? 31 故 ?a3n?2 ? 是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 S n ?

1 1 (a1 ? a3n ? 2 ) ? (25 ? 31 ? 6n) ? ?3n 2 ? 28n . 2 2

【考点】1、等差数列的通项公式;2、等差数列与等比数列的性质;3、等差数列的前 n 项和. 18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 【答案】 (Ⅰ) 60 ? ; (Ⅱ) 3 . 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用正弦定理,将角转化为边,再用两角和与差的正弦简化 等式,从而求得角 A ; (Ⅱ)利用余弦定理结合基本不等式求得 bc 的范围,再利用三角 形的面积公式 S ?

1 bc sin A 求得面积的最大值. 2

试题解析: (Ⅰ)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin( A ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
2 2 2 2 2 (Ⅱ)? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ,

1 2

1 3 bc ? 3 ,当且仅当 b ? c 时,等号取到. ? S ? bc sin A ? 2 4
【考点】1、正余弦定理;2、两角和与差的正弦;3、三角形面积公式;4、基本不等式. 【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时,正弦定理可以用来将边的 比和对应角的正弦值的比互化,而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系,而涉及 解三角形问题,往往把三角三角恒等变换公式加以交汇与综合,利用公式的变换达到解
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决问题的目的.

3n n 2 ? , n? N* . 19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2 2
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1
n . 1 ? 2n

【答案】 (Ⅰ) an =2 ? n ; (Ⅱ)

【解析】试题分析: (Ⅰ)利用数列前 n 项和与 an 的关系解答; (Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 1 1 ,利用裂项求和法求得数列 { } 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n)
试题解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? n ,

故?an ?的通项公式为an =2-n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 从而数列

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )] ? ? ?的前n项和为 [( ? )+( ? )+? +( 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? a2 n?1a2 n?1 ?
【考点】1、数列前 n 项和与 an 的关系;2、裂项求和法. 【方法点睛】在等差(比)数列中由各项满足的条件求通项公式时,一般将已知条件转 化为基本量, 用 a1 和 d (q ) 表示, 通过解方程组得到基本量的值, 从而确定通项公式. 解 决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路: (1)转化的思想,即将一般数列设法转 化为等差(比)数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完 成; (2)不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和. 20 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 四 边 形 ABCD 的 内 角 A 与 C 互 补, AB ? 1 , BC ? 3 , CD ? DA ? 2 . (Ⅰ)求角 C 的大小和线段 BD 的长度; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积. 【答案】 (Ⅰ) C ?

π ,BD ? 7 ; (Ⅱ) 2 3 . 3

【解析】试题分析: (Ⅰ)设 x ? BD ,分别在 ΔABD, ΔBCD 中对 A, C 利用余弦定理 联立解得角 C 与 BD 的长; (Ⅱ)将四边形 ABCD 的面积转化为 SΔABD 与 SΔBCD 的和, 利用三角形的面积公式求解.
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试题解析: (Ⅰ) 设x ? BD, 分别在ΔABD, ΔBCD中,对角A,C用余弦定理, 则

1 ? 4-x 2 9 ? 4-x 2 , cos C ? .? A ? C ? π, cos A ? cos C ? 0 2?2 2? 2?3 1 π 联立上式解得x ? 7, cos C ? , 所以, C ? ,BD ? 7 2 3 cos A ?
(Ⅱ) ? A ? C ? π, C ?

π 3 ,sin A ? sin C ? 3 2

四边形ABCD面积S ABCD ? SΔABD ? SΔBCD ? 所以,四边形ABCD面积为2 3

1 1 3 AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? s in C ? (1 ? 3) ? 2 3. 2 2 2

【考点】1、余弦定理;2、三角形的面积公式. 21 . (本小题满 分 12 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , g ( x) ? e x (cx ? d ) .若曲 线

y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .
(Ⅰ)求 a 、 b 、 c 、 d 的值; (Ⅱ)若 x ? -2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围.
2 【答案】 (Ⅰ) a ? 4, b ? 2, c ? 2, d ? 2 ; (Ⅱ) k 的取值范围为 ? ?1, e ? ?.

【解析】试题分析: (Ⅰ)先求导,根据题意 f ? 0? ? 2, g ? 0? ? 2 ,由导数的几何意义可 知 f ' ? 0? ? 4, g ' ? 0? ? 4 , 从 而 可 求 得 a, b, c, d 的 值 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,

f ? x ? ? x2 ? 4x ? 2, g ? x ? ? 2ex ? x ?1? , 令 F ? x ? ? kg ? x ? ? f ? x ? , 即 证 x ? ?2 时 F ? x ? ? 0 .先将函数 F ? x ? ? kg ? x ? ? f ? x ? 求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,
根据函数的单调性求其最值.使其最小值大于等于 0 即可. 试题解析: (Ⅰ)由已知得 f ? 0? ? 2, g ? 0? ? 2 , f ' ? 0? ? 4, g ' ? 0? ? 4 而 f ' ? x ? ? 2x ? a, g ' ? x ? ? e
x

?cx ? d ? c ? ,
(4 分)
2 x

? a ? 4, b ? 2, c ? 2, d ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ? x ? 4x ? 2, g ? x ? ? 2e 设函数 F ? x ? ? kg ? x ? ? f ? x ? ? 2ke
x

? x ?1? ,

? x ?1? ? x2 ? 4x ? 2, ? x ? ?2? ,

F ' ? x ? ? 2ke x ? x ? 2 ? ? 2 x ? 4 ? 2 ? x ? 2 ? ? ke x ? 1? .
由题设可得 F ? 0? ? 0 ,即 k ? 1 ,
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令 F ' ? x ? ? 0 得 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 ,



①若 1 ? k ? e2 ,则 ?2 ? x1 ? 0 ,∴当 x ? ? ?2, x1 ? 时,

F ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x1, ??? 时, F ' ? x ? ? 0 ,即 F(x)在 x ? ? ?2, x1 ? 单调递减,在

? x1, ??? 单调递增,故 F ? x? 在 x ? x1 取最小值 F ? x1 ? ,
而 F ? x1 ? ? 2x1 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? 2 ? ?x1 ? x1 ? 2? ? 0 .
2

∴当 x ? ?2 时, F ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? ? kg ? x ? 恒成立. ②若 k ? e2 ,则 F ' ? x ? ? 2e
2

? x ? 2 ? ? e x ? e2 ? ,

∴当 x ? ?2 时, F ' ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 在 ? ?2, ?? ? 单调递增, 而 F ? ?2? ? 0 ,∴当 x ? ?2 时, F ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? ? kg ? x ? 恒成立,
2 ③若 k ? e ,则 F ? ?2 ? ? ?2ke
?2

? 2 ? ?2e ?2 ? k ? e 2 ? ? 0 ,

∴当 x ? ?2 时, f ? x ? ? kg ? x ? 不可能恒成立.
2 综上所述, k 的取值范围为 ? ?1, e ? ? .

【考点】1、导数的几何意义;2、利用导数求函数单调区间;3、不等式恒成立问题. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,以极轴为 x 轴的正半轴,取相同的

1 ? x ? 2? t ? 2 ( 为参数) 单位长度,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? . t ? 3 ? y ? 1? t ? ? 2
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 3 x0 ?

? x' ? x 得到曲线 C ' ,曲线 C ' 上任一点为 M ( x0 , y0 ) , ?y ' ? 2y

1 y0 的取值范围. 2

【答案】 (Ⅰ)直线 l 的普通方程 3x ? y ? 2 3 ?1 ? 0 ,曲线 C 的直角坐标方程为 (Ⅱ) [?4, 4] . x2 ? y 2 ? 4 ; 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用 ? ? x ? y ,将 ? ? 2 转化成直角坐标方程,利用消
2 2 2

参法法去直线参数方程中的参数 t ,得到直线 l 的普通方程; (Ⅱ)根据伸缩变换公式求 出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入 3 x0 ?
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1 y0 , 2

根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可. 试题解析: (Ⅰ)直线 l 的普通方程 3x ? y ? 2 3 ?1 ? 0 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 (Ⅱ)曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x' ? x y2 2 ? 4 ,即 得到曲线 C' 的方程为 x ? 4 ?y ' ? 2y

x2 y 2 ? ?1 4 16
又点 M 在曲线 C ' 上,则 ? 代 入

? x0 ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y0 ? 4sin ?
3 x0 ? 1 y0 2
, 得

1 1 ? y0 ? 3 ? 2 cos ? ? ? 4sin ? ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4sin(? ? ) 2 2 3 1 所以 3 x0 ? y0 的取值范围是 [?4, 4] . 2 3x0 ?
【考点】1、参数方程与普能方程的互化;2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化; 3、伸缩变换. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 3x ?

1 ?3 x?a a

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) ? 8 的解集; (Ⅱ)对任意 a ? (0, ??) ,任意 x ? R , f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的最大值. 【答案】 (Ⅰ) x ? (??, ?1] ? [ , ??) ; (Ⅱ) 2 3 . 【解析】试题分析: (Ⅰ)用找零点法去绝对值,再解不等式 f ( x) ? 8 即可; (Ⅱ)先 运用绝对值不等式的性质,经合基本不等式,得到 f ( x ) 的最小值,再由不等式恒成立 思想,即可得到 m 的最大值. 试题解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ?1 ? 3 x ?1 当 x ? ? 时,由 f ( x) ? 8 ,有 ?(3x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 8 ,解得 x ? ?1 ;

5 3

1 3

1 ? x ? 1 时,由 f ( x) ? 8 有 3x ? 1 ? 3( x ? 1) ? 8 ,无解; 3 5 当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 8 有 3x ? 1 ? 3( x ? 1) ? 8 ,解得 x ? , 3 5 综上可得 x ? (??, ?1] ? [ , ??) 3
当?
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(Ⅱ) f ( x) ? 3x ?

1 1 1 ? 3 x ? a ? (3x ? ) ? (3x ? 3a) ? ? 3a ? 2 3 ? m , a a a

所以当

1 3 ? 3a ,即 a ? 时, m 的最大值为 2 3 a 3

【考点】1、绝对值不等式的解法;2、绝对值不等式的性质;3、不等式恒成立;4、基 本不等式. 【方法点睛】 (1)求含有双绝对值不等式的解集通常用两种方法:①如果两个绝对值中 x 的系数相同,则可考虑利用绝对值的几何意义较为简便;②如果两个绝对值中 x 的系 数示相同,则可考虑利用零点分段法; (2)处理含有双绝对值不等式的恒成立问题时, 通常转化为求含有双绝对值不等式函数的最值问题, 而求其最值时主要利用三角形绝对 值不等式可解决.

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