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高中数学竞赛培训资料 函数


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高中数学竞赛培训资料
例一. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x- 则 f(x)的表达式是

函数

1 1 )=x2+ 2 (对所有 x≠0) x x

例二. 函数 f(x)对任意正实数 x,y 满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=1,求 f(
<

br />1 )之值。 64

例三. 设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中 a,b,c,d 是常数,若 f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30, 求 f(10)+f(-6)

例四. 对于每个实数 x,设 f(x)是 4x+1,x+2,-2x+4 三个函数中的最小值,则 f(x)的最大 值是多少?

例五. (91 年全国联赛试题) 设函数 y=f(x)对一切实数 x 都满足: f(3+x)=f(3-x), 方程 f(x)=0 恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根之和为 (A) 18 (B) 12 (C) 9 (D) 0

例六. (88 年全国联赛试题)设有三个函数,第一个是 y= ? ( x) ,它的反函数就是第二个函 数,而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线 x+y=0 对称,那么第三个函 数是 (A) y= ? ( x) (B)y=- ? (? x) (C) y=- ? ( x)
?1

(D) y=- ? (? x)
?1

例七.设 f(x)=

42 1 2 3 1000 ,求 f( )+f( )+f( ) ? ?? f( ) 之值。 x 1001 1001 1001 1001 4 ?2

例八.定义在 R 上的函数 y=f(x)具有以下性质 1. 对任何 x ? R 都有 f (x3 ) = f 3 (x) 2. 对任何 x1, x2 ? R 且 x1≠x2 都有 f (x1)≠f (x2) 则 f 2(-1)+f 2(0)+f 2(1)=

-

例九.若 a>0,a≠1,F(x)是一个奇函数,则 G(x)=F(x) ? (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数

1? ? 1 ? ?是 x ?a ?1 2?
(D)与 a 的取值有关

例 十 . 已 知 函 数 y=f(x) , x ? R , f(0) ≠ 0 , 且 对 于 任 意 实 数 x1 , x2 都 有 f(x1)+f(x2)=2f( (A)奇函数

x1 ? x 2 x ? x2 )× f( 1 ),则此函数是 2 2
(C)非奇非偶函数 (D)奇偶性不确定

(B)偶函数

例十一.已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x5+4x+y=0,求证:4x+y=0

例十二.已知函数 f(x)满足:1)f(

1 )=1 2

2)值域为 ?? 1,1? 3)严格递减, 4)f(xy)=f(x)+f(y) 试求不等式 f
-1

(x) f

-1

(

1 1 )≤ 的解集。 1? x 2
1 ? f ( x) ,若 f(1)=2,求 f(2001) 1 ? f ( x)

例十三.对任意整数 x,函数 f(x)满足 f(x+1)=

例十四. (92 年全国联赛试题)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足下列关系: f(10+x)=f(10-x),f(20+x)=-f(20-x),则 f(x)是 (A)偶函数又是周期函数 (C)奇函数又是周期函数 (B)偶函数但非周期函数 (D)奇函数但非周期函数

例十五. (90 年全国联赛试题)设 f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数,周期为 2, 已知当 x ? ?2,3? 时 f(x)=x,则当 x ? ?? 2,0? 时 (A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|

-

练习: 1.计算 (log23)(log34)(log45)……(log6364)= 2.已知 f(x)=x2,g(x)= ? 则 F(x)的最小值是 3.对任意的函数 f(x),在同一直角坐标系中,函数 y=f(x-1)与函数 y=f(1-x)的图象 (A)关于 x 轴对称(B)关于直线 x=1 对称(C)关于直线 x=-1 对称(D)关于 y 轴对称 4.方程 sinx=lgx 的实根的个数是 (A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 大于 3

1 - - ?1 x+5,g 1(x)表示 g(x)的反函数,设 F(x)=f g ( x) -g 1 ? f ( x)? , 2

?

?

5.若 F(

1? x )=x,则下列等式中正确的是 1? x
(B)F(-x)=F(

(A)F(-2-x)=-2-F(x)

1? x ) 1? x

(C)F(x 1)=F(x)


(D)F(F(x))=-x

6.已知函数 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5 则 f(3)满足 (A)-7≤f(3)≤26 (B)-4≤f(3)≤15 (C)-1≤f(3)≤20 (D)-

28 35 ≤f(3)≤ 3 3

7.函数 f(x)=sinx ( (A)奇函数

1 1 ? )是 2 ?1 2
x

(B)偶函数

(C)非奇非偶函数

(D)奇偶性不确定

8.已知偶函数 f(x)在 ?0,4?上是减函数,如果 m= f (log2

1 ),n=f ?? arccos(?1)? 16

那么 m,n 的大小关系是 (A) m>n (B) m<n (C) m=n (D) 不确定

9. 定义域、 值域都是 R 的函数 y=f(x)是增函数, 设方程 f(x)=x 的解集为 P, 方程 x=f 的解集为 Q,则有 (A) P=Q
2

? f ( x)?

(B) P ? Q

(C) Q ? P

(D) P ? Q 且 Q ? P

10.函数 y= log 1 ( x ? ax ? a) 的递增区间是(-∞,1- 3 )则实数 a 是
3

-

(A)

2 或 1- 3

(B) 2-2 3 或 1- 3

(C) 2 或 2-2 3

(D) -2 或 1- 3

11.求证:

0 (1 ? 1 9 9 7 )1 0 0 ? (1 ? 1 9 9 7 )1 0 0 0

1997

是整数。

12.设 a>0 是实数,f(x)是定义在 R 上的实函数,对每一实数 x 满足条件: f(x+a)=

1 ? 2

f ( x) ? ? f ( x)?

2

证明:是周期函数,实数 2a 是它的一个正周期。 13.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的函数,对 k ? Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1), 已知:当 x ? I0 时,f(x)=x2 求:f(x)在 Ik 上的解析式。 14.函数 f(x)定义在 R 上,且对一切实数 x 满足等式:f(x+2)=f(2-x) , f(7+x)=f(7-x)

设:f(x)=0 的一个根是 x=0,记 f(x)=0 在区间-1000≤x≤1000 中根的个数为 N 求:N 的最小值。 15.设函数 y=f(x)定义域为 R,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y? R 有: F(x+y)=f(x) f(y),当 x≠y 时,f(x)≠f(y) (1) 证明:f(0)=1; (2) 证明:f(x)在 R 上递增; (3) 设 A= {(x,y)|f (x2) f (y2)<f (1)} , B= {(x,y)|f (ax+by+c)=1} a,b,c ? R 且 a≠0 若 A∩B= ? , 求 a、b、c 满足的条件。 16.实数集 R 上的函数 y=f (x)满足: ① f (x1+x2)+f (x1-x2)=2f (x1) cos2x2+4 a sin2x2(x1、x2 ? R,a 是常数) ;

② f (0)=f (

? ? )=1;③ 当 x ? ?0, ? 时,|f (x)|≤2; ? ? 4 ? 4?

试求:函数 y=f (x)的解析式,及常数 a 的取值范围。


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