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正弦定理习题精选精讲


正、余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将 已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命 题热点: 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的 三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 例 1(2005 年全国高考江苏卷) A. 4
? ? ? 3 sin ? B ? ??3 3 ? ?
? ABC

中, A

?

?
3

,BC=3,则 ? ABC 的周长为(
? ? ?


? ?
??3 6 ?

B. 4

? ? ? 3 sin ? B ? ??3 6 ? ?

C. 6 sin ? B

? ?

??3 3 ?

D. 6 sin ? B
?

?

?

分析:由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b+c,则周长为 3+b+c 而得到结果. 解:由正弦定理得:
3 s in

?
3

?

b s in B
2? 3

?

c s in C

?

b?c s in B ? s in C

?

b?c s in B ? s in ( 2? 3 ? B)



得 b+c= 2

3

[sinB+sin(

-B)]= 6 s in ( B

?

?
6

)

.故三角形的周长为:3+b+c=

? ? ? 6 sin ? B ? ? ? 3 ,故选(D). 6 ? ?

评注:由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时,即 B= 故排除(A)、(B)、(C).而选(D). 例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在Δ ABC 中,已知 AB 线 BD= ,求 sinA 的值.
? 4 3 6

?
6

,周长应为 3

3

+3,

, cos B ?

6 6

,AC 边上的中

5

分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE 在Δ BDE 中利用余弦定理可得: BD
5 ? x
2

?

1 2

AB ?

2 3

6

,设 BE=x ,

王新敞
奎屯

新疆

2

? BE

2

? ED
7 3

2

? 2 BE ? ED cos BED

?

8 3

? 2?

2 3

6

?

6 6

x

,解得 x

? 1, x ? ?

(舍去)

王新敞
奎屯

新疆

故 BC=2,从而 AC

2

? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ?
2 2

28 3

,即 AC

?

2

21
王新敞
奎屯 新疆

又 sin

B ?

30 6



3

2

21 3 30 6



2 s in A

?

, sin

A ?

70
王新敞
奎屯 新疆

14

二、判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 例 3(2005 年北京春季高考题)在 ? ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ? ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解法 1:由 2 sin A cos B ? sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B). 解法 2:由题意,得 cosB=
2

s in C 2 s in A

?

c 2a

,再由余弦定理,得 cosB=

a

2

? c ?b
2

2



2ac



a

? c ?b
2

2



c 2a

,即 a =b ,得 a=b,故选(B).

2

2

2ac

评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵ 统一化为边,再判断(如解法 2). 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 ? A B C 中,若 ? A 则 ? A B C 的面积 S=_________
王新敞
奎屯 新疆

? 120

?

, AB

? 5 , BC ? 7 ,

分析:本题只需由余弦定理,求出边 AC,再运用面积公式 S= 解:由余弦定理,得 cosA=
AB
2

1 2

AB?ACsinA 即可解决.
1 2

? AC

2

? BC

2

2 AB ? AC

?

25 ? AC

2

? 49

10 ? AC
1

? ?

,解得 AC=3.

∴ S=

1 2

AB?ACsinA=

15 4

3

.∴

1 2

AB?AC?sinA= AC?h,得 h=AB? sinA=
2

3 2

2



故选(A). 四、求值问题 例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 ? ABC 中, A 、 ? B 、 ? C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c , ? 设 a 、 b 、 c 满足条件 b 2
? c ? bc ? a
2 2



c b

?

1 2

?

3

,求 ? A 和 tan

B

的值.

分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理. 解:由余弦定理 cos
A ? b
2

? c

2

? a

2

?

1 2

,因此, ? A ? 60 ?

2 bc

在△ABC 中,∠C=180° -∠A-∠B=120° -∠B. 由已知条件,应用正弦定理
?
1 2 ? 3 ? c b ? sin C sin B ? sin( 120 ? ? B ) sin B

sin 120 ? cos B ? cos 120 ? sin B sin B

?

3 2

cot B ?

1 2

,

解得 cot

B ? 2 , 从而 tan B ?

1 2

.

五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何 等方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题

例 1 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一 岸边选定 A、B 两点,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的 宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边 上的高,而在河的一边,已测出 AB 长、∠CAB、 A ∠CBA,这个三角形可确定。 解析:由正弦定理得
AC s in ? C B A ? 1 2 AB s in ? A C B

C

D 图1

B

,∴AC=AB=120m,又
1 2 AB ?CD

∵ S ? ABC

?

A B ? A C s in ? C A B ?

,解得 CD=60m。

点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。 (二.)遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15°北的方向, 此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东 前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30°北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰 艇继续向东航行有无触礁的危险? 解析:如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15°北的方向上;舰艇航行半小时后到 北 达 B 点,测得 S 在东 30°北的方向上。 在 △ABC 中, 可知 AB=30×0.5=15, ∠ABS=150°, 西 东 30° 15° A C B ∠ASB=15°,由正弦定理得 BS=AB=15,过点 南 S 作 SC⊥直线 AB,垂足为 C,则 图2 SC=15sin30°=7.5。 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里,而灯塔周围 10 海里内有暗礁,故继续航行 有触礁的危险。 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清 已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件 在图形中标出; (3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定 理和余弦定理求解。 (三.)追击问题 例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 北 方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度 A 航 45° 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? B 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 15° 设∠ABC=α ,∠BAC=β 。 ∴α =180°-45°-15°=120°。根据余弦定理
AC
2

? A B ? B C ? 2 A B ? B C cos ?
2 2
2


1 2 )

C 图3

? 2 8t ?
2

? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (?
2

, t=
3 4

(4t-3) (32t+9)=0,解得 128 t ? 60 t ? 27 ? 0 ,

,t=

9 32

(舍)

∴AC=28× =21 n mile,BC=20×
4

3

3 4

=15 n mile。
3 2 21
2 2

根据正弦定理,得 s in ?

?

B C s in ? AC

15 ? ?

?

5 3 14

,又∵α =120°,∴β 为锐角,
?
4

β =arcsin

5

3

,又
?
4

5

3



7

2



,∴arcsin

5

3





14

14

14 5 3

14
3 4

∴甲船沿南偏东

-arcsin

的方向用

h 可以追上乙船。

14

点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知, 但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有 关。这样根据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值。 六、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇,如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与 距离)、解析几何、实际问题等知识交汇. 例 6 (2005 年全国高考卷三试题)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 a,b,c 成等比数列, cos
B ? 3 4 .

(Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 B A ? B C

??? ???? ?

?

3 2

,求 a+c 的值.

分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理、余 弦定理等. 解: (Ⅰ)由 cos
B ? 3 4 , 得 sin B ? 3 2 1? ( ) ? 4
2

7 4

,

由 b2=ac 及正弦定理得 则 cot
A ? cot C ? 1 ta n A ?

sin
1 ta n C

B ? sin A sin C .
? cos A s in A ? cos C s in C ? s in C c o s A ? c o s C s in A s in A s in C

? ? ? 7. 2 2 s in B s in B s in B 7 ??? ???? ? 3 3 3 (Ⅱ)由 B A ? B C ? ,得 ca?cosB= ,由ㄋ B= 2 2 4

?

s in ( A ? C )

s in B

1

4

,可得 ac=2,即 b =2.

2

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB, 得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.
(a ? c)
2

? a

2

? c ? 2 ac ? 5 ? 4 ? 9 ,
2

a?c ?3

正余弦定理的变式、应用及其推广
正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,如果将它们整合、变 形后再应用,就会感到另一种新奇与愉悦,同时也给众多题目找到了“同一根源” 。 一、变式 如果将正弦定理中 a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC 代入余弦定理中可得: (1)sin 2C + sin 2B - 2sinCsinBcosA = sin 2A; (2)sin 2A + sin 2C - 2sinAsinCcosB

= sin2B; (3)sin 2A + sin 2B - 2sinAsinBcosC = sin 2C; 以上诸式表明,三角形中两个角的正弦的平方和减去第三个角的正弦的平方,等于 前两个角的正弦与第三个角的余弦的积的两倍; 变式 1:在△ABC 中,sin2A + sin2B - sin2C = 2sinAsinBcosC; 变式 2:在△ABC 中,sin 2A + sin 2B-sin 2(A+B)= -2sinAsinBcos(A+B) ,即 sin2A + sin2B +2sinAsinBcos(A+B) = sin2(A+B); 观察变式的结构特征总有“意犹未尽”之感,必然令人产生一种猜测:当 A、B 为 任意角时,等式还会成立吗?事实上,答案是肯定的。 变式 3:sin2α +sin2β +2sinα sinβ cos(α +β )= sin2(α +β ) 证明:左=
1 ? cos 2 ? 2

+

1 ? cos 2 ? 2

+ 2sinα sinβ cos (α +β ) = 1 -

1 2

( cos2α +cos2β ) +

2sinα sinβ cos (α +β ) = 1 - cos (α +β )cos (α -β ) + 2sinα sinβ cos (α +β ) = 1 - cos (α + 2 2 β ) [ cos (α -β ) - 2sinα sinβ ]= 1 – cos (α +β ) = sin (α +β ) 二、应用 上述变式有着广泛的应用,以下从几个方面加以说明: 1、求三角函数值 例 1、求 cos2 71°+ cos71°cos49°+ cos 2 49°的值. 解:由变式(2)知 sin 219°+ sin 241°+ sin19°sin41°= sin 219°+ sin 241°+ 2sin19°sin41°cos60°= sin260°=
3 4

.
?
3

例 2、 (1998 年高考试题)在△ABC 中, b、 分别是 A、 C 的对边, a+c=2b, a、 c B、 设 A-C= 求 sinB 的值。



解: a+c=2b 及正弦定理得: 由 sinA+sinC=2sinB, ∴4sin 2 B= sin 2 A + sin 2 C+2 sinA sinC= sin 2 B+2 sinA sinC(1+cosB) ,又∵A-C= ∴2 sinA sinC= -cos(A+C)+cos 化简得, 8cos 2 B+3cosB-5=0, ∴cosB= ,或 cosB=-1(不合题意,舍去) ,∴sinB=
8 5

?
3


1 2

?
3

=

1 2

+ cosB, ∴3sin 2 B=(

+ cosB) (1+cosB) ,

5 2 1? ( ) 8

=

39 8



2、判定三角形形状 例 3、在△ABC 中,已知 sin 2 A + sin 2 B+ sin 2 C = 2, 试判断△ABC 的形状: 解:由变式(1)知 sin 2 A + sin 2 B+ sin 2 C- 2 = 2sinAsinBcosC+ 2 sin 2 C- = 2( sinAsinB - cosC)cosC = 2cosC [sinAsinB + cos( A+B)]= 2cosAcosBcosC 2,∴cosAcosBcosC = 0, 即 cosA = 0 或 cosB = 0 或 cosC = 0 , 又∵sin 2 A + sin 2 B+ sin 2 C = ∴△ABC 是直角三角形。

3、证明三角恒等式 例 4、设α 、β 为锐角,且 sin 2 α + sin 2 β = sin(α +β ), 求证:α +β =
?
2



证明:由变式(3)知 sin 2 (α +β ) = sin 2 ? + sin 2 ? +2sinα sinβ cos(α +β ) = sin(α +β )+ 2sinα sinβ cos(α +β )≥sin 2 (α +β ) + 2sinα sinβ cos(α +β )。可 见 cos(α +β )≤0 则
?
2

得α +β ≥

?
2

, 若α +β >
?
2

?
2



>α >

?
2

-β >0 , 得 sinα >sin (

-β ) = cosβ >0 ,从而 sin(α +β ) = sin2
?
2

α + sin 2β >cos 2β + sin 2β = 1,所以α +β =



三、推广 若将变式(3)中的β 用-β 来代替即可得,推论 1:sin 2α + sin 2β -2sinα sin β cos(α -β )= sin 2(α -β ); 若将变式(3)中的α 、β 分别用
2

?
2

-α , -β 来代替即可得,推论 2:cos2α + cos2
2

?

β -2cosα cosβ cos(α +β )=sin (α +β ); 若将推论 2 中的β 用 -β 来代替即可得。推论 3:cos2α +cos2 β -2cosα cosβ cos(α -β )=sin2(α -β ); 事实上,若对变式(3)式中分别对α 、β 赋以不同的特殊角则还可得一系列高考试题: ①(1991 全国高考)求 cos 210°+ cos 250°- sin40°sin80°的值; ②(1992 全国高考)求 sin 220°+ cos280°+
3

sin20°cos80°的值 ;

③(1995 全国高考)求 sin 220°+ cos 250°+ sin20°cos50°的值。


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