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等差数列前n项和性质及应用2


练习2.已知{a n }为等差数列,若a1 ? 0, 且S8 ? 0, S9 ? 0,问:前几项的和最大?

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2

=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

等差数列奇、偶项和问题

结论:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项, 则① S


?S奇

S奇 an ? ? nd ;② S偶 an?1 ;

结论:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项, 则① S


?S



n ?1 ? ? an ?1 ? a中 ; ② S偶 n . S奇

1.当项数为2n(偶数)时: S偶 S奇 an ?1 ? an

(1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2)

n(a2 ? a2 n ) n ? (2 ? an ?1 ) ? 证明: ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? 2 2 ? n ? an ?1

n(a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? ? n ? an 2 2 ? (1) S偶 ? S奇 ? n ? an ?1 ? n ? an ? n ? (an ?1 ? an ) ? n ? d S偶 n ? an ?1 an ?1 ? ? (2) n ? an an S奇

2.当项数为2n-1(奇数)时: (1)S奇 ? S偶 ? a中 (中间项, 即an )(2) S奇 S偶 n ? n ?1

证明 : ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? 2

(n ? 1) ? (a2 ? a2 n ? 2 ) ? 2

(n ? 1) ? (2 ? an ) ? ? (n ? 1) ? an ? (n ? 1) ? a中 2 n ? (a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? 2 2 ? n ? an ? n ? a中 ? (1) S奇 ? S偶 ? n ? an ? (n ? 1) ? an ? an ? a中 (2) S奇 S偶 n ? an n ? ? (n ? 1) ? an n ? 1

例3:已知等差数列{an }中,共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。

解: ? 该等差数列的项数为10项, 1 ? S偶 ? S奇 =n ? d即15-12.5=5 ? d,解得d ? 2 又 ? S偶 ? S奇 1 10 ? 9 ? 2 ? S10即15 ? 12.5 ? 10a1 ? 2

1 解得a1 ? 2 1 1 ? a1 ? , d ? 2 2

例4:已知等差数列{an }中,共有2n-1项,S奇 =290, S偶 =261. 求项数与中间项。

解: ? 该等差数列的项数为2n ? 1项, ? S奇 ? S偶 ? a中即 290 ? 261 ? a中 ,? a中 ? 29 n 290 n 又? ? 即 ? , 解得n ? 10 S偶 n ? 1 261 n ? 1 ? 项数为2 ?10 ? 1 ? 19 S奇

练习3:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2

作业:
1: 等差数列{an}的前n项和Sn满足 S5=95, S8=200,求Sn。

2: 若数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大,

95 ? 25a ? 5b ? 1、 设Sn=an2+bn, 则有:? 。 ? 200 ? 64a ? 8b
?a ? 2 解之得: , ∴Sn=3n2+n。 ? ?b ? 9

2、是。

? a1 ? S 1 ? 简单提示:利用公式: ? a n ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

3、(1)

24 ? ? d ?, ?3 (2)S6最大。 7


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