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《函数》第08讲 含有绝对值的函数


课题:

2014年, “绝对值”很活跃……

2014年的“绝对值”有点活跃.
[2014.4省竞赛]

[2014.6高考理]

2014年的“绝对值”有点活跃.
[2014.6高考理]

绝对值的概念
一、几何意义
|a| 表示

数轴上表示a的点到原点的距离. |a-b| 表示数轴上表示a的点和b的点的距离. 二、代数意义
正数和0的绝对值是它本身,负数的 绝对值是它的相反数. 若|x|=3,则x= ±3 .

□引例
1. 已知 t∈[-1,4], 则 A = |t-2| 的最大值为 .

2. 已知 t 为常数, 函数 y =|x2-2x-t| 在区间[0, 3]
上的最大值为2, 则 t = .

1.形如 y =| f(x) |的函数. [例题1].已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 x ? 3 | .
2

(1)写出函数的单调区间; (2)求在(-2,2]上的最值.

-3 -2 -1

1

2

1.形如 y =| f(x) |的函数. [变式1].已知方程 a ?| x ? 2 x ? 3 | 有4个不同
2

的解,则a的取值 范围是

? 0,4?

.

4

-3 -2 -1

1

2.形如 y = f(|x|) 的函数.

[例题2].函数 y=lg|x| 的单调减区间为 A

A.(??,0) C.(??,0),(0, ??)
[练习2] 函数 y ? a
x

B.(0, ??) D.不存在

在 ( ??,0)上是增函数,则a .

的取值范围是 0 ? a ? 1

3.形如 y = f(x) +|g(x)|的函数 [例题3].已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1, a是实数.

(1)若 f(x)是偶函数,求 a 的值;
(2)若 a=1,求 f(x)在[-1,2]上的最小值. (1).a =0;

?x ? x ,x?1 (2). f ( x ) ? ? 2 ? x ? x ? 2, x ? 1
2

□方法与小结
类型
y =| f(x) | y = f(|x|)

代数方法
? f ( x) f ( x) ? 0 y ? f ( x) ? ? ?? f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) , x ? 0 y ? f (x)?? ? f (? x), x ? 0

几何方法
x轴下方部分 翻折
偶函数 关于y轴对称

y = f(x) +|g(x)| 讨论g(x) 的正负

分段函数图象

[例题4].函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是 [变式1].函数 f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|取得最小值 时 ,x = ;



[变式2].函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的
最小值是 ;

[变式3].函数 f(x)=|x-1|+|2x+1|的最小值是




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