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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(93)


加试模拟训练题(93) 1.设?ABC 的内切圆分别切三边 BC、CA、AB 于 D、E、F,X 是?ABC 内的一点,?XBC 的内切圆也在点 D 处与 BC 相切,并与 CX、XB 分别切于点 Y、Z,证明,EFZY 是圆内接四 边形. 分析:圆幂定理的逆定理与 Menelaus 定理. 证明:延长 FE、BC 交于 Q. AF BD CE XZ BD CY AF CE XZ

CY · · =1, · · =1,? · = · . FB DC EA ZB DC YA FB EA ZB YA AF BQ CE 由 Menelaus 定理,有 · · =1. FB QC EA XZ BQ CY 于是得 · · =1.即 Z、Y、Q 三点共线. ZB QC YA 但由切割线定理知,QE· QF=QD2=QY· QZ. 故由圆幂定理的逆定理知 E、F、Z、Y 四点共 圆.即 EFZY 是圆内接四边形. 2 2 3 A F Z P B I X Y C Q E D 2. 若实数 a、b、x、y 满足 ax+by=3,ax +by =7,ax +by =16,ax +by =42,求 ax +by 的值. 【题说】第八届(1990 年)美国数学邀请赛题 15. 【解】由 ax +by =(ax +by )(x+y)-(ax+by)xy 得 16=7(x+y)-xy 4 4 3 3 3 3 2 2 3 4 4 5 5 (1) 2 2 由 ax +by =(ax +by )(x+y)-(ax +by )xy 得 42=16(x+y)-7xy (2) 由(1)、(2)解得 x+y=-14,xy=-38.因此, ax +by =(ax +by )(x+y)-(ax +by )xy =42×(-14)-16×(-38)=20 3. 用任意的方式,给平面上的每一个点染上黑色或白色.求 5 5 4 4 3 3 【题说】 首届(1986 年)全国冬令营赛题 6. 【证】 先证引理:平面上若有两个异色点的距离为 2.那么必定可以找出符合要求的三角 形. 如图 a,若平面上 AB=2,A 为白点,B 为黑点.AB 中点 O 不妨设为白色,以 AO 为边作正三 角形,顶点 E 或 F 中若有一个为白色,则符合条件的三角形已经找出;若 E 和 F 都为黑色, 则正三角形 BEF 边长 在平面上任取一点 O,不妨设 O 为白点,以 O 为圆心,4 为半径作圆(如图 b).若圆内的点 均为白点,则圆内边长为 1 的正三角形顶点都为白色;若圆内有一点 P 为黑点,则 OP<4, 以 OP 为底边作腰长为 2 的等腰三角形 OPR,则 R 至少与 O、P 中的一点异色.根据引理,也 有符合要求的三角形. 4. 证明:方程(x+y+z)2+2(x+y 十 z)=5(xy+yz+zx) 的正整数解有无穷多个. 【题说】1992 年友谊杯国际数学竞赛十、十一年级题 1. 【证】显然,(1,1,1)是所给方程的一组解. 设原方程有一组正整数解(a,b,c),不妨设其中 c 最小.将原方程 改写为 z 的一元二次方程 z -(3x+3y-2)z+x +y -3xy+2x+2y=0 在 x=a,y=b 时,由韦达定理,(1)有解 z=c 及 z=3a+3b-2-c 显然 3a+3b-2-c>c, 因此原方程又有一组新的正整数解 ( a, b, 3a+3b -2-c). 用这个方法,从解(1,1,1)出发,可以不断产生新的解(x,y,z), x+y+z 的值严格增加.

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