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高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题


高二上学期数学期末测试题
一、选择题:1.不等式 x ? A. ?? 1,0? ? ?1,???
2 ? 2 的解集为( x ?1

) D. ?? ?,?1? ? ?1,??? )条件

B. ?? ?,?1? ? ?0,1?

C. ?? 1,0? ? ?0,1?

2. c

? 0 是方程 ax2 ? y 2 ? c 表示椭圆或双曲线的( A.充分不必要
2

B.必要不充分

C.充要 D.不充分不必要 )
4

3.若 0 ? ? ? ? , 当点 ?1, cos? ? 到直线 x sin ? ? y cos? ? 1 ? 0 的距离为 1 ,则这条直线的斜率为( A.1 B.-1 C.
3 2

D.-

3 3

4.已知关于 x 的不等式 ax 2 ? A.[0, 16 ]
9

3 ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R,那么实数 a 的取值范围是( 2
) C.( 0, 16 )
9



B.[0,

16 9

D. ?

8? ?0, 3 ? ? ?

5.过点(2,1)的直线 l 被 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的最长弦所在直线方程为:( A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. 3x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 1 ? 0

)

6.下列三个不等式:①x 2 ? 3 ? 2 x; ②a、b ? R, ab ? 0时, b ? a ? 2 ;③ 当 ab ? 0 时, a ? b
a b

? a ? b . 其中恒

成立的不等式的序号是(

)A.① ②

B.① ② ③

C.①

D.② ③ )

7.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( A. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? ? 0

1 4

B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 4 )

8.圆 C 切 y 轴于点 M 且过抛物线 y ? x 2 ? 5x ? 4 与 x 轴的两个交点,O 为原点,则 OM 的长是( A.4 B.2.5
24 49
9

C. 2 2

D.2 )
36 64

2 2 2 2 9.与曲线 x ? y ? 1 共焦点,而与曲线 x ? y ? 1 共渐近线的双曲线方程为(

2 2 A. y ? x ? 1

16

2 2 B. x ? y ? 1

16

9

2 2 C. y ? x ? 1

9

16

2 2 D. x ? y ? 1

9

16

2 2 10.抛物线 y 2 ? ?4 x 上有一点 P,P 到椭圆 x ? y ? 1 的左顶点的距离的最小值为(



16

15

A. 2

3

B.2+

3

C.
n

3

D. 2 ?

3

2 2 11.若椭圆 x ? y 2 ? 1 (m ? 1) 与双曲线 x ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的焦点 F1、 F2,P 是两曲线的一个交

m

点,则 ?F1 PF2 的面积是(

)A.4

B.2

C.1 D.0.5

12.抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于两点A?B,其中点A坐标为(1,2) ,设抛物线焦点为F, 则|FA|+|FB|=( )A.7

B.6

C.5

D.4
f ?x ? ? 1 的解集为

二、填空题 13. 设函数 f ( x) ? ax ? 2, 不等式 | f ( x) |? 6 的解集为(-1,2),则不等式 x

2 2 14.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆周, 则 1 ? 1 的最小值为______

a

b

2 15.若曲线 x

a?4

?

y2 ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?5

.

16.抛物线 y 2 ? ?2x 上的点 M 到焦点 F 的距离为 3,则点 M 的坐标为____________.
2 2 2 三、解答题: 18 .已知椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1 , ) ,其离心率为 2 2

a

b

2

2 2

,设直线
2相 3

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )已知直线 l 与圆 x 2 l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.

? y2 ?

切,求证:OA⊥OB(O 为坐标原点) ; (Ⅲ )以线段 OA,OB 为邻边作平行四边形 OAPB,若点 Q 在椭圆 C 上,且满足 OP ? ?OQ (O 为坐标原点) ,求实数 ? 的取值范围.

19.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且被直线 y ? x 分成两段弧长之比为 1:2, 求圆 C 的方程.

20. 平面内动点 P(x,y)与两定点 A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于-1/3,若点 P 的轨迹为曲线 E,过点 Q (?1, 0) 作斜率不为零的直线 CD 交曲线 E 于点 C、D . (1)求曲线 E 的方程; (2)求证: AC ? AD ; (3)求 ?ACD 面积的最大值.

21.已知直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切于点 T,且与双曲线 x ? y ? 1 相交于 A、B 两点.若 T 是线段
2 2 2 2

AB 的中点,求直线 l 的方程.

2 2 22、设椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF 垂直的直线分别交椭 2 2

a

b

圆与 x 轴正半轴 P、Q 两点,且 AP ? 8 PQ
5

王新敞
奎屯

新疆

(I)求椭圆离心率 e;

(II)若过 A,F,Q 三点的圆恰好与直线 l : x ?

3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆方程

王新敞
奎屯

新疆

答案
一、ABDB

A CD D A A C A
1 2 5 或 x ? }; 14. 4 ; 15.(0,±3); 16. (- ,? 5 ). 2 5 2

二、13. {x|x>

三、17.解:由

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ,得 ?0 2 ( x ? 3)(x ? 2) x ? x?6

? ( x ? 2)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 0 ? ?2 ? x ? 1, 或2 ? x ? 3. ? A ? ?? 2,1? ? ?2,3?.
?x ? 1 ? 0 又由 x ? 1 ? 3得 : ? ? ?1 ? x ? 8 . ?x ? 1 ? 9 ? B ? ?? 1,8?. ? A ? B ? ?? 1,1? ? ?2,3?.
x 18. (Ⅰ)椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ; (Ⅱ)见解析(Ⅲ) ?2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 . 2
2

【解析】试题分析: (Ⅰ)由已知离心率为

2 ,可得等式 a 2 ? 2b 2 ;又因为椭圆方程过点 2

M (1,

2 ) 可求得 b 2 ? 1 , a 2 ? 2 ,进而求得椭圆的方程; 2

(Ⅱ)由直线 l 与圆 x2 ? y 2 ?

2 2 2 2 相切,可得 m 与 k 的等式关系即 m ? (1 ? k ) ,然后联立 3 3
2m2 ? 2 4km , ,进而求出 x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

直 线 l 与 椭 圆 的 方 程 并 由 韦 达 定 理 可 得 x1 ? x2 ? ?

? ? m2 ? 2k 2 OA ? OB ,所以由向量的数量积的定义可得 的值为 0,即结论得证; 1 ? 2k 2 (Ⅲ)由题意可分两种情况讨论: (ⅰ)当 m ? 0 时,点 A 、 B 关于原点对称; (ⅱ)当 m ? 0

y1 y 2 ?

时,点 A 、 B 不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数 ? 的取值范围即可. 试题解析: (Ⅰ) 离心率e ?
? 椭圆方程为
c 2 ? ,a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2 ? 2b 2 a 2

2 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 ,将点 M (1, ) 代入,得 b ? 1 , a ? 2 2 2 2b b
x2 ? y2 ? 1 . 2

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)因为直线 l 与圆 x2 ? y 2 ?
? y ? kx ? m,
2 2 ?x ? 2 y ? 2

|m| 6 2 2 2 2 ? 相切,所以 ,即 m ? (1 ? k ) 2 3 3 3 1? k
2

由?

,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 .
2 2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
2m2 ? 2 4km , , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) = k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 = 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 =

m2 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2

2m2 ? 2 m2 ? 2k 2 3m2 ? 2k 2 ? 2 = =0,故 OA ? OB , ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2m , 1 ? 2k 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ?

由向量加法平行四边形法则得 OA ? OB ? OP , OP ? ?OQ ,? OA ? OB ? ? OQ (ⅰ)当 m ? 0 时,点 A 、 B 关于原点对称,则 ? ? 0 此时不构成平行四边形,不合题意. (ⅱ)当 m ? 0 时,点 A 、 B 不关于原点对称,则 ? ? 0 ,
1 ? x ? ( x ? x ), ? ? Q ? 1 2 由 OA ? OB ? ? OQ ,得 ? ? y ? 1 ( y ? y ). Q 1 2 ? ? ?
?4km ? ? xQ ? ? (1 ? 2k 2 ) , ? 即? 2m ?y ? . Q ? ? (1 ? 2k 2 ) ?
2m



Q

在椭圆上,? 有 [

?4km

? (1 ? 2k 2 )

]2 ? 2[

? (1 ? 2k 2 )

]2 ? 2 ,

化简,得 4m2 (1 ? 2k 2 ) ? ? 2 (1 ? 2k 2 )2 .
1 ? 2k 2 ? 0 , ? 有 4m2 ? ? 2 (1 ? 2k 2 ) .



又 ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(1 ? 2k 2 ? m2 ) ,
? 由 ? ? 0 ,得 1 ? 2k 2 ? m 2 .
2 2 2



将①、②两式,得 4m ? ? m 2 m ? 0 ,? ? ? 4 ,则 ?2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 . 综合(ⅰ) 、 (ⅱ)两种情况,得实数 ? 的取值范围是 ?2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .

19. 解 : 设 圆 C 的 方 程 为 x2 ? ( y ? a) 2 ? r 2 , 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 F ?1,0?
?1 ? a 2 ? r 2



又直线 y ? x 分圆的两段弧长之比为 1:2,可知圆心到直线 y ? x 的距离等于半
1 径的 , 2



a 2

?

r 2



解①、②得 a ? ?1 , r 2 ? 2 故所求圆的方程为
x2 3 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2) ; 20. (1) (2)略; (3)1. 4 4

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

【解析】试题分析: (1)根据题意可分别求出连线 PA , PB 的斜率 k PA , k PB ,再由条件斜

1 列出方程,进行化简整理可得曲线 E 的方程,注意点 P 不与点 A, B 重合.根据 3 y y y y 1 ? - ( x 贡 2) ,化简 斜率的计算公式可求得 k PA = , k PB = ,所以 x +2 x- 2 x +2 x - 2 3
率之积为 -

x2 3 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2) ; 整理可得曲线 E 的方程为 4 4

(2)若要证 AB ^ AC ,只要证 AB ? AC

0 ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行

证明即可.那么由题意可设直线 BC 的方程为 my = x +1 , C x1 , y1 , D x2 , y2 ,联立直线 与椭圆的方程消去 x ,可得关于 y 的一元二次方程 (m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ,由违达定理 知

(

) (

)

y1 ? y 2 ?

2m ?3 , y1 y 2 ? 2 2 m ?3 m ?3





x1 +

x2 = ( m

1

+ )y

6 2 2y- 2 = , m +3

?4m2 ? 3 x1 ? x2 ? ? my1 ? 1?? my2 ? 1? ? ,又 AC = ( x1 + 2, y1 ) , AD = ( x2 + 2, y2 ) ,所以 m2 ? 3

AC ? AD ? ? x ? ? y1 y2 ?4 ?0 , 从 而 可 以 证 明 1 ? 2 ?? x 2 ? 2? ? y 1 y 2 ? x 1x 2 ?2? x 1 ? x 2
AB ^ AC ;
(3)根据题意可知 S△ACD ?

1 1 AQ ? y1 ? y2 ? ?1? 2 2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ?

4m2 ? 9 , m2 ? 3

4m2 ? 9 4 3 又 ,故当 m ? 0 时,△ACD 的面积最大,最大面积为 1. ? ? 2 2 m ?3 m ? 3 ? m 2 ? 3? 2
试题解析: (1)设动点 P 坐标为 ( x, y ) ,当 x ? ?2 时,由条件得:

x2 3 y 2 y y 1 ? ? ? ,化简得 ? ? 1, x?2 x?2 3 4 4
故曲线 E 的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2) . 4 4

4 分(说明:不写 x ? ?2 的扣 1 分)

( 2 ) CD 斜 率 不 为 0 , 所 以 可 设 CD 方 程 为 m y ? x ? 1 , 与 椭 圆 联 立 得 :

(m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 3 ? 0
y1 ? y 2 ?



C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 )
6分







2m ?3 , y1 y 2 ? 2 ,. 2 m ?3 m ?3

( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y 2 ) ? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 1 ?
所以 AC ? AD (3) ?ACD 面积为 8分

? 3(m 2 ? 1) 2m 2 ? 2 ?1 ? 0 , m2 ? 3 m ?3

1 | y1 ? y 2 |? 2

4m 2 ? 9 ? m2 ? 3

4 3 ? 2 , m ? 3 (m ? 3) 2
2

10 分

当 m ? 0 时 △ACD 的面积最大为 1 . 12 分[ 考点:1.椭圆的方程;2.向量法证明两直线垂直;3.三角形面积的计算.

21.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? my ? a 代入双曲线方程 整理得

(m2 ? 1) y 2 ? 2may? a2 ? 1 ? 0
而 m2 ? 1 ? 0 ,于是 yT ?
y A ? yB am ?? 2 2 m ?1

从而

xT ? myT ? a ? ?

? 点 T 在圆上
由圆心 O ?(?1,0)

a am a , ) 即 T( 2 m ?1 1 ? m 1 ? m2 am 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ?0 2 2 1? m 1? m 1 ? m2
2

即 m2 ? a ? 2 则 m?0



. O ?T ? l

得 kO?T ? kl ? ?1

或 m2 ? 2a ? 1

当 m ? 0 时,由①得 a ? ?2,

? l 的方程为 x ? ?2 ;

当 m2 ? 2a ? 1 时,由①得 a ? 1 m ? ? 3,?l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 . 故所求直线 l 的方程为 x ? ?2 或 x ? ? 3 y ? 1
0),由 F( ? c, 0)( c ? a 2 ? b 2)、 A(0,b) 22.解: (I) 设Q(x0,

知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b) . ? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?

b2 . c

8 ? x0 ? 8b 2 5 x ? ? , ? 1 8 13c ? 1? 8 ? 设 P( x1 , y1 ),由AP ? PQ ,得 ? 5 5 ? b 5 ? b ? y1 ? 8 13 ? 1? ? 5 ?
8b 2 2 5 ) ( b) 2 ? 13 2 ? 1 因为点 P 在椭圆上,所以 13c 2 a b (

( 2 a2 ? c2) ? 3ac 整理得 2b2 ? 3ac,即
(II)由(I) , 2b 2 ? 3ac, 得

1 ? 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ? e ? . 2

b2 3 c 1 1 ? a;由 ? , 得c ? a c 2 a 2 2

1 3 1 1 于是 F (? a,0), Q( a,0), ?AQF 的外接圆圆心为 ( a ,0) ,半径 r ? FQ ? a. 2 2 2 2 1 | a ?3| 因为这个圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,所以 2 ?a, 2

解得 a=2, ∴c=1,b= 3 ,所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3


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