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高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用


浅谈“数形结合思想”在解题中的应用 福鼎二中
一、数形结合思想的提出 在高中数学解析几何这一模块中,处理问题的方法常见有代数法和几何法。 代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题,这两种方 法相辅相成,相得益彰。现举例如下:若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有一 个公共点,求 k 的取值范围. 解 : 代 数 法 ) 曲

线 方 程 可 化 为 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0) , 把 y ? x ? k 代 入 (

夏宇宁

x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0)
可得: 2 x 2 ? 2kx ? k 2 ? 1 ? 0 ( x ? 0 ) ,由题意可知方程仅有一个非负根 ①当方程有等根时,即 ? ? (2k ) 2 ? 8(k 2 ? 1) =0,可得 k ? ? 2 ,当 k ? 2 时,方 程 可 化 为 2x 2 ? 2 2x ? 1 ? 0 , 得 x ? ?
2 不 合 题意 ; 当 k ? ? 2 时 , 方 程 为 2

2x 2 ? 2 2x ? 1 ? 0
得x ?
2 符合题意,可知 k ? ? 2 ; 2

②当方程根为 x ? 0 时,得 k 2 ? 1 ? 0 , k ? ?1 ,当 k ? ?1 时,方程为 2 x 2 ? 2 x ? 0 , 得方程两个根为 x1 ? 0 ,x2 ? 1 不合题意应舍去; k ? 1 时, 当 方程为 2 x 2 ? 2 x ? 0 , 得方程两个根为 x1 ? 0 , x2 ? ?1 适合题意,可知 k ? 1 ; ③当方程根为一正一负时,只需 x1 x 2 ?
k 2 ?1 ? 0 ,可得 ? 1 ? k ? 1 。 2

综上所述:所求 k 的取值范围为 k ? ? 2 或 ? 1 ? k ? 1 。 ( 几 何 法 ) 曲 线 x ? 1 ? y 2 是 单 位 圆 x2 ? y2 ? 1 的 右 半 圆 ( x ? 0) , k 是直线 y ? x ? k 在 y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线
1 1

图像如图所示知:直线与曲线相切时, k ? ? 2 ,由图形:可得 k ? ? 2 或
?1 ? k ? 1。

上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错;而利 用几何法即一种数形结合的思想方法, 却能使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 它在数学解题中具有极为独特的指导作用。 二、数形结合思想的概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石。 在解决数学问题时, 常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问 题利用形来观察,揭示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数 含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合” , 寻找解题思路,使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间 的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想 分析和解决问题时, 要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以 及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数 意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形 转化;第三是正确确定参数的取值范围。 三、数形结合思想解题方法指导 1.转换数与形的三条途径: ① 通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。 ② 转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将 转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③ 构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法: ①“由形化数” :就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的 数量关系,反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” :就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映 出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。

2

2

③“数形转换” :就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形 的形状,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并 提示隐含的数量关系。 四、数形结合思想方法的应用 1、化静为动用图像 例 1 已知:有向线段 PQ 的起点 P 与终点 Q 坐标分别为 (?1,1) , (2,2) ,若直线
l : x ? m y ? m ? 0 与有向线段 PQ 延长线相交,求实数 m 的取值范围。

分析:题中直线 l : x ? m y ? m ? 0 是一条过定点的动直线系,而有向线段 PQ 是一 条定的有向线段,要使直线 l 与有向线段 PQ 延长线相交,可先找到 l 过一个临 界点 Q ,再从运动观点促使直线 l 的斜率在某一范围内,从而可求实数 m 的取值 范围。 解 : 直 线 l 的 方 程 l : x ? my? m ? 0 可 化 为 点 斜 式 :
y ?1 ? ? ? 1 ( x ? 0) ,易知直线 l 过定点 M (0,?1) 且斜率为 m

1 ,因为 l 与 PQ 的延长线相交,由数形结合可得:当 m

过 M 且与 PQ 平行时,直线的斜率趋近于最小;当过点 M , Q 时,直线 l 的斜率趋 近于最大,又 k PQ ? 得
1 1 3 ?? ? 3 m 2 1 3 , k MQ ? ,设直线 l 的斜率为 k ,由 k PQ ? k ? k MQ , 3 2 2 所以 ? 3 ? m ? ? 3 1 ,此类题目一般 m

评注: 含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方 程.本题是化为点斜式方程后,可看出交点 M (0,?1) 和斜率 ? 结合图形化静为动,以动求解,可判断出斜率的取值范围。 2、破解疑难构图像 例2 求函数 y ?
sin x ? 2 的值域。 cos x ? 2

分析:本题可以把函数化为关于 x 的三角函数,然后利用其有界性求值域,但其 运算量大,对学生的运算能力有较高要求,有一定难度。此题可看成过两点 M ( cos x, sin x ), P(2,?2) 构成直线的斜率的范围,又 M ( cos x, sin x )在一个单
3 3

位圆上,故可构造图像求此函数值域。 解: y ?
y?

y ? y1 sin x ? 2 的形式类似于斜率公式 k ? 2 cos x ? 2 x2 ? x1

sin x ? 2 表示过两点 M ( cos x, sin x ), P(2,?2) 构成直线的斜率 cos x ? 2

由于点 M 在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,如图, 显然 k PA ? y ? k PB ,设过 P 的圆的切线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) 则有
2k ? 2 k 2 ?1 ? 1 ,解得 k ?
M

?4? 7 ?4? 7 ,即 k PA ? , 3 3

k PA ?

?4? 7 ?4 ? 7 ?4 ? 7 ∴ ?y? 3 3 3
?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3

∴函数值域为[

评注: 本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系,考查学生的数形结 合的能力。 在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质、化简的形式通过构造 思想融于函数的图象之中,将数(量)与图形结合起来进行分析、研究,使抽象 复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来, 这是解决三角函数问题的一种思 维策略。 3、寻求正解配图像 例3 设 A= {x | ?2 ? x ? a} , { y | y ? 2 x ? 3, x ? A} , {z | z ? x2 , x ? A} , C ? B , B= C= 若

求实数 a 的取值范围。 分析:解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合 C,进而用 不等式将 C ? B 这一集合语言加以转化。 解:∵ y ? 2 x ? 3 在 [?2, a] 上是增函数,∴B= { y | ?1 ? y ? 2a ? 3} 。 作出函数 z ? x 2 的图象,其定义域右端点 x ? a 有三种不同的位置关系:

4

4

①当 ?2 ? a ? 0 时,如图 1, a 2 ? z ? 4 ,即{z| a 2 ? z ? 4 } 。 要使 C ? B ,必须且只需 2a ? 3 ? 4 ,解得 a ?
1 ,与 ?2 ? a ? 0 矛盾。 2

②当 0 ? a ? 2 时,如图 2, 0 ? z ? 4 ,即{z| 0 ? z ? 4 }.

?2a ? 3 ? 4 1 要使 C ? B ,必须且只需 ? ,解得 ? a ? 2 。 2 ?0 ? a ? 2
③当 a ? 2 时,如图 3, 0 ? z ? a 2 ,即{z| 0 ? z ? a 2 } 。
? a 2 ? 2a ? 3 要使 C ? B ,必须且只需 ? ,解得 2 ? a ? 3 。 ?a ? 2

④当 a ? ?2 时,A= ? ,此时 B=C= ? , C ? B 成立。
1 综上所述,a 的取值范围是 (??, ?2) ? [ ,3] 。 2

评注:解决集合问题首先要看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译” 为数学语言,进而分析条件与结论的特点,再将其转化为图形语言,利用数形 结合的思想来解决。 对于二次函数在闭区间上的最值问题, 应抓住对称轴与所给区间的相对位 置关系,借助图象的直观形象,达到解决问题的目的。 4、结论模糊画图像
? x ? 1, ? 例 4 (08 年高考湖南卷理 3 改编)已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?

求 x ? y 的最大值. 分析:本题实质是线性规划问题,运用图像画平面区域,再求线性目标函数的最 值。 解:如图所示,可行域为图中阴影部分(包括边界线) ,则 z= x ? y 在 A 点处取得
5 5

?x ? y ? 0 最大值,由 ? 得 A(3,3) ,故最大值为 3+3=6. ?x ? 2 y ? 9 ? 0

评注: 二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题,利用可 行域可以求目标函数的最值,属于典型的数形结合的案例。值得注意的是,目标 函数对应的直线与边界直线斜率的大小关系用于确定最优解的正确位置应仔细 观察各直线的倾斜程度,准确判定可行域内的最优解。 总之,数形结合思想是数学中基本而又重要的思想,是解答数学试题的的一 种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效。数学家华罗 庚曾指出: “数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万 事非。 ”可见数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够 变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。在高考复习时,同学们必 须随时注意运用数形结合思想,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面 的训练,以提高解题能力和速度。

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