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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(47)


加试模拟训练题(47) (附详细答案) 1. 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A,B。所作割线交圆于C、D两点, C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使?DAQ=?PBC,求证:?DBQ ? ?PAC. 2.求出所有能使不等式组 成立的所有解(x1,x2,x3,x4,x5),其中 x1,x2,x3,x4,x5 都是正实数. 3. 有两个同心圆盘,各分成

n 个相等的小格.外盘固定,内盘可以转动(如图所示).内外 两盘小格上分别填有实数: a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,且满足条件:a1+a2+a3+… +an<0,b1+b2+b3+…+bn<0.证明:可将内盘转动到一个适当位置,使两个盘的小格对 齐,这时,两个盘 n 个对应小格内数字乘积的和为一正数. 4. 求下列方程的整数解:y -x =91. 【题说】1949 年~1950 年波兰数学奥林匹克二试题 2. 3 3 加试模拟训练题(47) 1. 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A,B。所作割线交圆于C、D两点, C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使?DAQ=?PBC,求证:?DBQ ? ?PAC. 证:如图:连结AB,在?ADQ与?ABC中, ?ADQ ? ?ABC , ?DAQ ? ?PBC ? ?CAB ? ?ADQ ? ?ABC 从而有 BC DQ ? ? BC ? AD ? AB ? DQ AB AD 又由切割线关系可知:?PCA ? ?PAD PC AC ? PA AD ? PC BC 同理:由?PCB ? ?PBD得: ? PB BD 又 ? PA ? PB AC BC ? ? AC ? BD ? BC ? AD ? AB ? DQ AD BD 又 ? 关于圆内接四边形ABCD的托勒密定理有: ? AC ? BD ? BC ? AD ? AB ? CD 1 CD ? CQ ? DQ 2 AD DQ CQ 在?CBQ与?ABD中: = = , ?BCQ ? ?BAD AB BC BC ? ?CBQ ? ?ABD 于是:AB ? CD ? 2 AB ? DQ ? DQ ? ? ?CBQ ? ?ABD ? ?DBQ ? ?ABC ? ?PAC 2.求出所有能使不等式组 成立的所有解(x1,x2,x3,x4,x5),其中 x1,x2,x3,x4,x5 都是正实数. 【题说】第十四届(1972 年)国际数学奥林匹克题 4.本题由荷兰提供. 【解】为方便起见,令 x5+i=xi,则可以把原不等式组简写为 将它们加起来得 =x5=x2=x4.反之,如果 xi 都相等,原不等式组当然成立. 3. 有两个同心圆盘,各分成 n 个相等的小格.外盘固定,内盘可以转动(如图所示).内外 两盘小格上分别填有实数: a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,且满足条件:a1+a2+a3+… +an<0,b1+b2+b3+…+bn<0.证明:可将内盘转动到一个适当位置,使两个盘的小格对 齐,这时,两个盘 n 个对应小格内数字乘积的和为一正数. 【题说】 1978 年安徽省赛二试题 4. 【证】如图所示,对应小格上两数乘积的和为 a1b1+a2b2+…+anbn 记为 A1. 将内盘按顺时针方向转动一格,对应小格上两数乘积的和为 a1b2+a2b3+…+anb1 记为 A2.转 动 i 格, 对应小格上两数乘积之和为 a1bi+1+a2bi+2+…+anbi 记为 Ai+1(i=1, 2, …, n-1). A1 +A2+…+A

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