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高考定积分练习题


高考定积分应用常见题型大全(含答案)
一.选择题(共 21 小题) 1. (2012?福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率( C )

A.

B.

C.

D.

解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的

面积为 1×1=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,其面积为∫0 (
1

﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 2. (2010?山东)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( A ) A. B. C.
2 3

D.

解答: 解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1) , (0,0)故积分区间是[0,1] 所求封闭图形的面积为∫0 (x ﹣x )dx═
1 2 3



3.设 f(x)= A. B.

,函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为( C.

) D.

解答:

根据定积分,得所围成的封闭区域的面积 S= 故选 C 4.定积分 A. 的值为( B.3+ln2 ) C.3﹣ln2 D.6+ln2

解答:

解:
2

=(x +lnx)|1 =(2 +ln2)﹣(1 +ln1)=3+ln2 围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(

2

2

2

2

故选 B. )

5.如图所示,曲线 y=x 和曲线 y=

A .1

B.

C.

D.

解答: 解:联立得 ,

解得



, 则 S=∫0 (
1

设曲线与直线围成的面积为 S,

﹣x )dx=

2

故选:C

6. A .π 解答: 解:∵ (
2

=( B.2

) C.﹣π D.4

x ++sinx)′ =x+cosx,



(x+cosx)dx

=( =2. 7.若 a= A.a<b 解答:

x +sinx) 故答案为:B ,b= B.a>b ,则 a 与 b 的关系是( C.a=b )

2

D.a+b=0

解:∵ a=

=(﹣cosx)

=(﹣cos2)﹣(﹣cos

)=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°,

b= ∴ b>a. 8. A.

=sinx

=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°, 故选 A. 的值是( B. ) C. D.

解答: 解;积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1 为半径第一象限内圆弧与抛物线 y=x 在第一象限的部 分坐标轴围成的面积, 故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积之差. 即 = ﹣ = ﹣ = 故选 A

2

9.若 f(x)= A.
2

(e 为自然对数的底数) ,则 B. C.
2

=(

) D. 2 ﹣ +e ﹣e

+e ﹣e

+e

﹣e +e

解答:

解:

= ( B.4 )

=

=

故选 C.

10.已知 f(x)=2﹣|x|,则 A .3 解答: 解:由题意,

C.3.5

D.4.5

= ﹣2=3.5 故选 C. 11.设 f(x)=3﹣|x﹣1|,则∫﹣2 f(x)dx=( A .7 B.8 解答:
2 2 2

+

=2﹣ +4

) C.7.5
1 2

D.6.5
2 1 2 2

解:∫﹣2 f(x)dx=∫﹣2 (3﹣|x﹣1|)dx=∫﹣2 (2+x)dx+∫1 (4﹣x)dx=(2x+ x )|﹣2 +( 4x﹣ x )|1 =7 故选 A.

12.积分 A.

=( B.

) C.πa2 D.2πa2

解答: 解:根据定积分的几何意义,则 故 = = .

表示圆心在原点,半径为 3 的圆的上半圆的面积, 故选 B.

13.已知函数 A.1/2 B.1

的图象与 x 轴所围成图形的面积为( C .2

) D.3/2

解答:

解:由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为

=(﹣

)|0 +sinx

1

= +1 = 故选 D.

14.由函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 A .4 B.

及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是( C. D.2π



解答:

解:由函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 就是:∫0 = . (1﹣cosx)dx=(x﹣sinx)|0 故选 B.

及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积,

15.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D.

3

解答: 解:∵ y=x , 2 ∴ y'=3x ,当 x=1 时,y'=3 得切线的斜率为 3,所以 k=3; 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为: y﹣1=3×(x﹣1) ,即 3x﹣y﹣2=0.

3

令 y=o 得:x= , ∴ 切线与 x 轴、直线 x=1 所围成的三角形的面积为: S= ×(1﹣ )×1= 故选 B. 16.图中,阴影部分的面积是(



A.16

B.18

C.20

D.22

解答: 解:从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2,﹣2) , (8,4) .过(2,﹣2)作 x 轴的垂线把阴影部 分分为 S1,S2 两部分,分别求出它们的面积 A1,A2: A1=∫0 [ A2=∫2 [
8 2

]dx=2 ]dx= =18

dx=



所以阴影部分的面积 A=A1+A2= 17.如图中阴影部分的面积是( )

故选 B.

A.

B.

C.

D.

解答: 解:直线 y=2x 与抛物线 y=3﹣x2 解得交点为(﹣3,﹣6)和(1,2) 2 抛物线 y=3﹣x 与 x 轴负半轴交点(﹣ ,0) 设阴影部分面积为 s,则

= = 所以阴影部分的面积为 18.曲线 A. B. , 故选 C. 与坐标轴围成的面积是( C. ) D.

解答:

解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 曲线 S=∫0 = ∴ 围成的面积是 故选 D. (﹣ )dx+∫

,积分下限为 0

与坐标轴围成的面积是: dx

19.如图,点 P(3a,a)是反比例函 y= (k>0)与⊙ O 的一个交点,图中阴影部分的面积为 10π,则反比例函数 的解析式为( )

A.

y=

B.

y=

C.

y=

D. y=

解答: 解:设圆的半径是 r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得: πr =10π 解得:r=2 .
2

∵ 点 P(3a,a)是反比例函 y= (k>0)与⊙ O 的一个交点. ∴ 3a =k 且 ∴ a=
2 2

=r ) =4.
2

×(2

∴ k=3×4=12, 则反比例函数的解析式是:y= 故选 C. .


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