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2013-2014第一学期高一数学期中考试(附答案)


普宁一中 2013~2014 学年度第一学期期中考试
高一级数学科试题
注意事项: 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分,考试结束后交答题卷,总分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,考生须将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡指定的位置上。 3.选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其答案,不能答在试题卷上。 4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内用黑色字迹的钢笔或签字笔作 答,超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效。

第Ⅰ卷

选择题部分(满分 50 分)

一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1. 已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,3} , B ? {1,3, 4} ,则集合 CU ( A B) ? ( * ) A. {3} B. {4,5} C. {2, 4, 5} D. {3, 4,5}

2. 若全集 U ? ?1,2,3,4?且CU A ? ?1? ,则集合 A 的真子集共有( * ) A.
3个

B.

5个

C.

7个

D.

8个

3. 函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域是( * )
3 A. [ , ??) 2 3 B. ( , ??) 2 3 C. (??, ] 2 3 D. (??, ) 2

4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( * ) A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2 C. y ?
1 x

D. y ? x | x |

5. 三个数 0.42, 20.4, log0.4 2 的大小关系为( * ) A. 0.42 ? 20.4 ? log0.4 2 C. 0.42 ? log0.4 2 ? 20.4 B. log0.4 2 ? 0.42 ? 20.4 D. log0.4 2 ? 20.4 ? 0.42

6. 函数 f ( x) ? 3x?1 ? 4 的零点所在区间为( * ) A. (0, 1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

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7. 定义在 R 上的偶函数在[0,6]上是增函数,在[6,+ ? ]上是减函数,又 f (6) ? 5 , 则 f ( x) ( * ) A.在[-6,0]上是增函数,且最大值是 5 C.在[-6,0]上是减函数,且最小值是 5 B.在[-6,0]上是增函数,且最小值是 5 D.在[-6,0]上是减函数,且最大值是 5

8. 已知幂函数 f ( x) 的图像经过点( 3 ,3) ,则 f (2) 的值是( * ) 1 1 A. 4 B.2 C. D. 4 2 9.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了

akm, 觉得有点累, 就休息了一段时间, 想想路途遥远, 有些泄气, 就沿原路返回骑了 bkm(b<a),
当他记起诗句“不到长城非好汉” ,便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离 s 与时间

t 的函数关系的图象大致为( * )
s s s s

O A

t

O B

t

O C

t

O D

t

10. 已知 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 ,那么不等式 f ( x ) ? 0 的解集是( * ) A. C.

? x 0 ? x ? 3?

B. D.

? x x ? ?3?

? x ?3 ? x ? 0, 或0 ? x ? 3?
第Ⅱ卷

? x x ? ?3, 或0 ? x ? 3?

非选择题部分(满分 100 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

? x 2 ? 1, x ? 0 11. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (1)) ? ? 2 x , x ? 0 ?
1 1 12. 求不等式 ( ) x ? 2 ? ( ) 2 x 的解集为___________ . 2 2

.

13. 函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )恒过定点

___ .

14. 已知函数 y ? f ( x) 为偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,则当 x ? 0 时, f ( x) 的解 析式是 .

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15.(本题满分 12 分)已知全集为 R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} ,
C ? ? x x ? a?

(1)求 A B ;(2)求 A (CR B) ;(3)若 A ? C ,求 a 的取值范围。

16.(本题满分 12 分)计算:
3 ?2 (1) (1.5) ? (?9.6) ? (3 ) 3 ? (? ? 4)2 ; 8
?2 0

(2) lg16 ? 3lg 5 ? lg

1 . 5

?4 ? x 2 , ? 17.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?2 , ?1 ? 2 x , ?

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(1)求 f (3) , f [ f (?2)] 的值; (2)当 ? 4 ? x ? 3 时,求函数 f ( x) 的值域。

18.(本题满分 14 分)某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个出售, 每天可以卖出 100 个,若这种商品的售价每个上涨 1 元,则销售量就减少 10 个. (1)求售价为 13 元时每天的销售利润; (2)求售价定为多少元时,每天的销售利润最大,并求最大利润.

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19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;

1 ? ax ? 1 ? a, a ? R , x

(2)若 a ? 1 ,试证 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数;

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 (?2, 2) ,且同时满足下列条件, ① f ( x) 是奇函数;② f ( x) 是定义域上的增函数;③ f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 求实数 a 的取值范围。

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普宁一中 2013~2014 学年度第一学期期中考试
高一级数学科参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.5 12.

? ?2, ??? 或 {x | x ? ?2}

13. (0,1)

14. f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

三、解答题(共 80 分) 15.解: (1)

B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x? ? ?x | x ? 3?, ? A B ? ?x | 2 ? x ? 4?

?x | x ? 3? ? ?x | 3 ? x ? 4? .??????4 分

(2) CR B ? ?x | x ? 3?

? A (CR B) ? ?x | 2 ? x ? 4?

?x | x ? 3? ? ?x | x ? 4?

??????8 分

(3) 集合A=?x | 2 ? x ? 4?, C ? ?x | x ? a? 且 A ? C ,? a ? 4

? a 的取值范围是 ?4, ??? ??????????12 分

3 ?2 16.解: (1) (1.5) ? (?9.6) ? (3 ) 3 ? (? ? 4)2 8
?2 0

3 27 ? 2 解:原式 ? ( ) ?2 ? 1 ? ( ) 3 ? ? ? 4 2 8 3 ?2 3 3?( ? 2 ) ? ( ) ?1? ( ) 3 ? 4 ? ? 2 2 3 3 ? ( ) ?2 ? 1 ? ( ) ?2 ? 4 ? ? 2 2
? 5??

??????????? 2 分 ?????????? 4 分 ????????????? 5 分

???????????????????? 6 分
1 5

(2) lg16 ? 3lg 5 ? lg

解:原式? lg 24 ? 3lg5 ? lg5?1 ????????????????? 7 分
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? 4lg 2 ? 4lg 5

?????????????????? 9 分

? 4(lg 2 ? lg 5) ??????????????????? 11 分
?4

?????????????????????? 12 分 ??? 4 分

17.解: (1)依题意,可知 f (3) ? 4 ? 32 ? ?5 , f (?2) ? 1 ? 2 ? (?2) ? 5

∴ f [ f (?2)] ? f (5) ? 4 ? 52 ? ?21 ?????????????? 6 分 (2)①当 ? 4 ? x ? 0 时,∵ f ( x) ? 1 ? 2 x ∴ 1 ? f ( x) ? 9 ????????? 8 分 ②当 x ? 0 时, f (0) ? 2 ???????????????????? 10 分 ????????? 12 分

③当 0 ? x ? 3 时,∵ f ( x) ? 4 ? x 2 ∴ ? 5 ? x ? 4

综上所述,当 ? 4 ? x ? 3 时,可知函数 f ( x) 的值域为: (?5,9] ??????? 14 分

18.解: (1)依题意,可知售价为 13 元时,销售量减少了:
10 ? (13 ? 10) ? 30 (个)

??????? 2 分

所以,当售价为 13 元时每天的销售利润为:
(13 ? 8) ? (100 ? 30) ? 350 (元)

??????? 5 分 ????? 6 分

(2)设售价定为 x 元时,每天的销售利润为 y 元,依题意,得
y ? ( x ? 8)[100 ? ( x ? 10) ?10] ? ?10 x 2 ? 280 x ? 1600

???????? 8 分

? ?10( x ?14)2 ? 360 ( 10 ? x ? 20 )
∴ 当 x ? 14 时, y 取得最大值,且最大值为 ymax ? 360 .

???? 11 分 ????? 13 分 ?? 14 分

即售价定为 14 元时,每天的销售利润最大,最大利润为 360 元. 【说明】没有给出自变量 x 的取值范围或者定义域的扣 1 分.

19.解: (1)依题意∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ??????? 2 分 所以由: ? 1 ? ax ? 1 ? a ? ?( 1 ? ax ? 1 ? a) x x
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解得: a =1

??? 5 分

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(2)若 a =1,则

f ( x) ?

1 ?x x

??????????????????6 分 ??????????????? 7 分 ???????????? 9 分

证明:任取 x1 , x2 ? ? 01 , ? ,且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

?1 ? 1 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? x2 ?

? 1 1 ? x x ( x ? x ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ? ? 1 2 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) x1 x2
????????????? 11 分

∵ x1 , x2 ? ? 01 , ? ,且 x1 ? x2 ∴ x1 x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ???????????? 13 分 ?????????????? 14 分

∴ 函数 f ( x) 在 ? 01 , ? 上是减函数.

20.解:依题意可得:∵ f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ∴ f (1 ? a) ? ? f (1 ? 2a) 又∵ f ( x) 是奇函数 ∴ ? f (1 ? 2a) ? f (2a ? 1) ∴ f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ?????????????6 分 ??????????????3 分

又∵ f ( x) 在定义域 (?2, 2) 上是增函数
? ?2 ? 1 ? a ? 2 ? ∴ ? ?2 ? 2 a ? 1 ? 2 ?1 ? a ? 2a ? 1 ?

解得:

2 3 ?a? 3 2

?????????12 分

2 3 所以, a 的取值范围 ( , ) 3 2

?????????????14 分

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