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高数竞赛辅导PPT


第一讲: 函数、极限和连续 (一)函数
♀利用已知条件,求函数的表达式
(1)设f [ g ( x )] ? h( x ), 求f ( x ) ? ? (2)设f ?[ g ( x )] ? h( x ), 求f ( x ) ? ? ? h1 ( x ) x ? D ★ 3)设f ?[ g ( x )] ? ? ( , 求f ( x ) ? ? ? h2 (

x ) x ? DC (注意要用到 ( x )连续的条件定两个积分 f 常数的关系) 1 (4) 类似这种题目: 例 2 f ( x ) ? 3 f ( ) ? sin x , 求f ( x ) ? ? x (5)其他的综合题目(见例 题) (6)求反函数 复合函数的表达式(见 , 例题)

例1(04年江苏省竞赛题)
已知f ( x )是周期为 的奇函数,且当 ? (0, ? x f ( x ) ? sin x ? cos x ? 2,则当x ? (

?
2

)时

?
2

, ? )时f ( x ) ?

简答
因奇函数,则当 ?

?
2

? x ? 0 时,

f ( x ) ? ? f (? x ) ? sin x ? cos x ? 2 ? 因周期函数,则当 ? x ? ? 时,
2

f ( x ) ? f ( x ? ? ) ? ? sin x ? cos x ? 2

练习题(94年北京市竞赛题) 设函数 f (x)在 (??,??) 上有定义,在区间 ?0,1? 上,f ( x ) ? x(1 ? x 2 ) ,若对任意的 x 都满足

f ( x ? 1) ? 2 f ( x ), (1)写出 f (x )在 ?? 1,0? 上的

f 表达式; (2)判断 在 x ? 0 处, (x) 是否可导?
简答 (1)设 ? 1 ? x ? 0,则0 ? x ? 1 ? 1,故有
1 1 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? ? ( x ? 1)( 2 x ? x 2 ) 2 2 ? x ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 1 ? x ? 0 ( 2) 由(1)得f ( x ) ? ? 2 ? x (1 ? x 2 ) 0? x?1 ? 讨论分段函数在分段点 处的导数时请用左右导 数

例2(91年北京市竞赛题) 设 f 是可导的函数,对于任意实数 s t ,有 f ( s ? t ) ? f ( s) ? f (t ) ? 2st ,且 f ?(0) ? 1 , 求 f 的表达式。 简答 令s ? 0, t ? 0, 可 得f (0) ? 0
f ( x ) ? f ( 0) f ( x) ? lim x ?0 x ?0 x?0 x f ( s ? t ) ? f ( s) f ( t ) ? 2 st ?( s ) ? lim f ? lim ? 2s ? 1 t ?0 t ?0 t t 于 是 可 计 算 出 ( s) ? s 2 ? s f 1 ? f ?(0) ? lim

课下练习(2010年校竞赛) 求满足方程 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) 的 f (x) 表达式,其中 x1 ,x2 为任意实数,且已知 f ?(0) ? 2 。

?1 x ? 1 ?2 ? x 2 x ? 1 ? ? 例3 设 f ( x ) ? ? , , ( x) ? ? g ?0 x ? 1 x ?1 ?2 ? ? 求 f [ g( x )], [ f ( x )] , [ f ( x )] , [ g( x )] 。 g g f
简答 以f [ g( x )]为例
?1 f [ g ( x )] ? ? ?0 g( x ) ? 1 g( x ) ? 1

(1) 当 g ( x ) ? 1时 ? 2 ? x2 ? 1 ? 若 x ? 1, 则g ( x ) ? 2 ? x 2, 于 是? ? x ?1 ? ?2 ?1 若 x ? 1, 则g ( x ) ? 2, 于 是? 得x ? ? ?x ?1 ( 2) 当 g ( x ) ? 1时 x ? 1 得x ?1

♀函数的某些性质:有界性、周期性、奇偶性以及 单调性 有界性

判断函数 f (x) 在(a, b)内有界:常利用 f (x)在

(a, b)内连续,且 lim? f ( x),lim? f ( x)存在,则 f (x)
有界。 例4 函数f ( x ) ?
x?a
x?b

x sin( x ? 2) x ( x ? 1)( x ? 2)
2

在下列哪个区间内有界 A) (

(A)(- 1,0)(B)(0,1)(C)( ,2)(D)(2,3) 1

奇偶性

f ( x )是奇函数? f ?( x )是偶函数 f ( x )是奇函数? f ?( x )是偶函数?" f (0) ? 0" f ( x )是偶函数? f ?( x )是奇函数

单调性

(1)若f ( x )可导,用 ?( x )讨论 f ( 2)若f ( x )不可导, 用单调性的定义讨论

周期性

T (1) f ( x )的周期为 ,则f (ax ? b)的周期为 T a ( 2) f ( x ), g( x )的周期为 1 , T2 , 则f ( x ) ? g( x )的周期 T

是T1和T2的最小公倍数
★ ( 3) f ( x )的周期为 ,则f ?( x )的周期为 T T

(二)极限
♀补充重要的结论 lim xn ? a ? lim x2 k ? lim x2 k ?1 ? a
n? ? k ?? k ??

? { xn }的所有子列 nk ? a( k ? ? ) x
x ? x0

lim f ( x ) ? A ? lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? A
x ? x0 x ? x0

? lim ? ? 0 ? ? x? x ? ? 0 ? ? ?xn ? x0 ( n ? ? ), 且xn ? x0 , lim f ( xn ) ? A ? f ( x) ? A ? ?

例5(06考研) lim? n ? 1 ? ? ? n? ? ? n ?
k ?? k ??

( ?1 )

n

n? ?

提示 lim x ? lim? 2k ? 1 ? ? ? 2k
? 2k ?

( ?1 ) 2 k

? 2k ? 2 ? ? 1, lim x 2 k ?1 ? lim? ? k ?? k ? ? 2k ? 1 ? ?

( ? 1 ) 2 k ?1

?1

♀求极限的几种重要方法 1、利用四则运算法则 例6(98北京市竞赛题,10天津市竞赛题)
1 1 1 xn ? 1 ? ? ? ?? 1?1 1? 2 1 ? 2 ? ?? n
提示

,求lim x n
n? ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n( n ? 1) n n?1 ? ? x x x ?? lim?lim? cos cos 2 ?cos n ?? 例7(00北京市竞赛题) ? n? ? 2 2 2 ?? x? ? ? 2
2 n?1

2 答案:

?

3 5 17 2 ? 1 ,求lim x n 练习(93南京大学竞赛题)x n ? ? ? ? ? n? ? 2 n?1 2 4 16 2
提示

分子 ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1)( 2 ? 1)?( 2
2 2 4

2 n?1

? 1) ? 2 ? 1
2n

思考题(98江苏省竞赛题)

lim sin(? n2 ? n )
n? ?

答案 1

2、利用两个重要极限公式
1 ? ? ? 例8 xlim ? cos ?? ? x? ? x 简答 1 ? ?
1
x

1 ? ? cos lim ? cos ? ? lim ? 1 ? cos ? 1? x?? ? x?? ? x? x ? ? ?

1 1 x

?(cos ?1

1 x

?1 )? x

1 ? 1 1 lim (cos ? 1) ? x ? lim ( ? ) ? x ? ? ? 原式 ? e 2 x?? ? x?? ? 2x 2 x

1 例9(02考研) 设常数 a ? ,则 2 n ? 2na ? 1 n lim ln[ ] ? ____________ n?? n(1 ? 2a)
简答
n n ( 1? 2 a )? ? ? n ( 1? 2 a ) ? ? 1 1 ? ? 原式 ? lim ln? ?1 ? ? ? n? ? n(1 ? 2a ) ? ? ?? ? 1 ? 2a ? ?

例10

(09年全国竞赛题)

lim(
x ?0

e ?e
x

2x

? ?? e ) ,其中 n 是给定的正整数。 n
nx e x
e x ? e 2 x ??? e nx ? n e ? ? n x e x ? e 2 x ??? e nx ? n n

简答

? e x ? e 2 x ? ? ? e nx ? n ? ? 原式 ? lim? 1 ? ? ? x?0 n ? ? e x ? e 2 x ? ? ? e nx ? n e x ? 2e 2 x ? ? ? ne nx n ? 1 ? lim ? lim ? x?0 x?0 nx n 2 ? 原式 ? e
n?1 e 2

思考题(95南京大学竞赛题) lim( x ? e x )
x ?0

1 x

答案 e2

3、利用等价无穷小代换简化计算
常用的等价无穷小
当x ? 0时, x ~ x, x ~ x, sin tan arcsin x ~ x, arctan x ~ x 1 2 ln(1 ? x ) ~ x , e ? 1 ~ x , a ? 1 ~ x ln a ,1 ? cos x ~ x 2 1 n 1 ? (1 ? x ) ? 1 ~ ?x,1 ? x ? 1 ~ x , 1 ? x ? 1 ~ x 2 n 注意:作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换
x x

例11

n n lim ( n ? 1) n? ? ln n
1

ln n n n n n 1 n lim ( n ? 1) ? lim (e ? 1) ? lim ? ln n ? 1 简答 n?? n? ? ln n n? ? ln n n ln n

1 ? ,求x 例12 国外高校竞赛题)设 lim ( x? n? ?? ? ? 1 ? ? 1977 x? n 1 ? ?1 ? ? ? ? n? ? ? ?
n1976 n1976 1 简答 原式 ? lim ? lim ? ? 0, x ?1 n? ? ? n? ? ? x ? n 1977 x? x ? n ? ? ? n? 故x ? 1977 x

n1976

1 例13 (04年考研题)lim x 3 x ?0
简答

?? 2 ? cos x ? ? ? ? 1? ?? 3 ? ?? ? ? ?

原式 ? lim
x ?0

e

x ln

2 ? cos x 3

x3

cos x ? 1 ln(1 ? ) ?1 1 3 ? lim ?? 2 n? ? ? x 6

4、利用洛必达法则
应用洛必达法则时,常需要与下列方法相结合,以简化计算 (1)先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形,再考虑 结合(2)和(3) (2)等价无穷小代换 (3)求极限的式子中,含有极限存在且不为0的因式,应用 极限的四则运算法则,应及时将它的极限拿到极限符号外

注:求数列极限lim f ( n)时,考虑相应的函数极 lim f ( x ), 限
n? ? x ??

这时才可用洛必达法则 。

思考题

1 2n ? ? 2 lim n? e ? (1 ? ) ? n? ? n ? ?

答案 e2

例14 (97考研) 求极限

?a ? 1 ? ? lim? ? ? 2 ? a 2 ? ln(1 ? ax)? x?0 x ?x ? ? ?

a 1 简答 原式 ? lim? ? 2 ln(1 ? ax)? ? lim a 2 ln(1 ? ax) ? x ?0 x ?0 ? x x ? ? a a? ax ? ln(1 ? ax) a2 x a2 1 ? ax ? lim ? lim ? lim ? 2 x?0 x ?0 x ? 0 2 x ?1 ? ax ? x 2x 2

例15(08考研)求极限

[sin x ? sin(sinx )] sin x lim x ?0 x4

简答 原式 ? lim sin x ? sin(sin x ) ? lim cos x ? cos(sin x ) cos x x ?0 x ?0 x3 3x2 cos x[1 ? cos(sin x )] 1 ? cos(sin x ) 1 ? lim ? lim ? 2 2 x ?0 x ?0 3x 3x 6

5、利用夹逼准则 1 n n n a1 , a2 ,?, am 为正数,求 lim(a1 ? a2 ? ? ? am ) n 例16:设
简答

M ? max ?a1 , a 2 ,? a m ? ? M ? a1 ? a 2 ? ? ? a m
n n

n? ?

? 原式 ? max ?a1 , a 2 , ? a m ?

?

1 n n

?

?m ?M

1 n

思考题: 1 lim(a ? n ? b ? n ) n ? ( ) (08考研) 1.设 0 ? a ? b, 则 n??
1 2. lim( ? n? ? n ? 1 1 ( n 2 ? 1)
1 2

? ??

1 ( n n ? 1)
1 n

1 答案: a

)
答案:1

6、利用单调有界准则

例17: 证明极限存在并求极限 x1 ? 6 ,x 2 ? 6 ? 6 ,
x3 ? 6 ? 6 ? 6 ,……. x n ? 6 ? x n ?1

例18:(06年考研题)设数列 ?x n ?满足 0 ? x1 ? ? , xn?1 ? sin xn ( n ? 1,2,?)
lim (1)证明:? ? x n存在,并求该极限; n
? xn?1 ? xn 2 (2)计算 lim? ? x ? ? n? ? ? n ? 提示 (1)用归纳法证明单调下降且有下界 (2)用重要极限和洛必达法则
1

例19(00北京市竞赛题)
设f ( x )是(0,??)上递减的连续函数,且( x ) ? 0,证明: f 数列?a n ?收敛,其中 n ? ? f ( k ) ? ? f ( x )dx a
n k ?1 1 n

2(1 ? x n ?1 ) 设 ( n ? 1,2, ?), 例20(04天津市竞赛) x0 ? 0, x n ? 2 ? x n ?1 证 明 : x n存 在 , 并 求 之 。 lim
n? ?

练习:(10天津市试题)设 a1 ? ?12 ,

a n ?1 ? a n ? 12 , n ? 1,2,3,? ,证明:

lim a n 存在并求其值。 n??

7、利用极限的定义求极限 例21: (08江苏省竞赛题)设

x1 ? 4, x n?1 ? 6 ? x n
求证 lim xn 存在,并求其值
n??

( n ? 1,2, ?)

练习题: (88北京市竞赛题)设 1 1 x1 ? 2, x2 ? 2 ? ,?, xn?1 ? 2 ? ,? x1 xn 求证 lim xn 存在,并求其值
n??

8、利用泰勒公式(复习公式及展到哪一项的确定)
特点:用洛必达法则较复杂时,或者根本不可能用 关键:展开到含xn项,或者不相互抵消的那一项止 要熟记常用的展开式

例22

x ?0

lim

cos

x2 ? x?e 2

x 2 ( 2 x ? ln(1 ? 2 x ))

1 ?? ? x? x lim ?? x 3 ? x 2 ? ?e ? x 6 ? 1 ? (10年天津市) 例23: x ? ???? 2? ? ? ? cos(sin x ) ? cos x 练习:lim x ?0 sin4 x sin(e x ? 1) ? (e sin x ? 1) lim 思考题:(国外高校竞赛题)x ?0 4

sin 3 x

?

1 972

9、利用中值定理
a a lim ) (a ? 0) 例24:n?? n (arctan ? arctan n n ?1
2

例25: lim
x ?a

sin x x ? sin a x a
xx

? ?

? ?

?a

ax

(a ? 1)

2 x ? 2sin x 练习题:lim? x ?0 x ? sin x
? ? ? ? ? 3 ?? 1 ?? ? 思考题: lim x ?sin?ln? 1 ? ? ? ? sin?ln? 1 ? ? ? ? x ?? x ?? x ?? ? ? ? ? ? ?

答案 ln2

答案 2

10、利用导数的定义
x ?0

?2 ? tan x ? 例26: lim

10

? ?2 ? sin x ? sin x
n

10

例27 (96南京大学竞赛题) 设函数f ( x )在x ? a可导,
1 ? ? f ?( a ) f (a ? ) ? ? f (a ) n 且f (a ) ? 0,则lim? ? ? e n? ? ? f (a ) ? ? ?

11、利用连续的定义

练习题 设 f (x) 在点 x ? 0 处连续,且 f (0) ? 2 ,求
1 lim f (sin x cos ) 。 x?0 x
答案 2

12、利用定积分的定义(略讲) 1 1 ? ? ?? 例28:求 lim( 2 2 2 n? ? n ?1 n ?2

1 n ?n
2 2

)

a 2a ( n ? 1)a ? 1 ? )? 练习:求 lim?( x ? ) ? ( x ? ) ? ? ? ( x ? n? ? n n n ? ?n

例29:求

2? n? sin sin sin n? n ? ?? n ) lim ( 1 1 n? ? n ? 1 n? n? 2 n
1 ?n

?

x?
2

a 2

?

练习:求

1 2 n ? (09天津市竞赛) lim ?(1 ? )(1 ? )?(1 ? )? n?? ? n n n ?

4 e

13、利用定积分性质和积分中值定理(略讲) n 12 x dx 例30:(93北京市竞赛)lim ?0 n? ? 1? x 14、利用函数极限与数列极限的关系求极限 x ?0 sin t dt 例31:求 xlim ?? ? x 1 n lim 练习题: (99年北京市竞赛)??(cos ) n
2

2

?

n

15、利用左、右极限 例32 (08江苏省竞赛题)

ax ? 2 x ? 当a ? , b ? 时,有lim arctan x ? ? x ? ? bx ? x 2 1 2 答案:a ? 1, b ? ?2 x ? 1 x ?1 练习题 讨论 lim e x ?1 x ? 1

16、要注意变量代换的应用
3 3 3 练习题(00北京市竞赛) lim( a ? x ? x ) ? ________ x ??

17、利用级数收敛的必要条件(11章)(略) ♀无穷小阶的比较 时,1 ? cos x) ln(1 ? x 2 ) ( 例33:(01考研)设当 x ? 0 是比 xsin x 高阶无穷小,而 xsin x 是比 (e 高阶的无穷小,则正整数 n 等于( )
n n
x2

? 1)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例34(08江苏省竞赛题)当a ?

,b ?

时,

x f ( x ) ? ln(1 ? ax) ? 在x ? 0时关 于x的无 穷 1 ? bx 小的 阶数 最高

思考题(03天津市竞赛题)
当x ? 0时, 下列无穷小量从低阶到 高阶的排列顺序为 (1) 1 ? tan x ? 1 ? sin x (2) 1 ? 2 x ? 3 1 ? 3 x ?4 1 ? x4 ? x (3)x ? ? ? cos x ? sin x(4)e ?1 ?3 3 ? A.(1)( 2)( 3)( 4) B .( 3)(1)( 2)( 4) C .( 4)( 3)( 2)(1) D.( 4)( 2)(1)( 3)

D

♀已知极限,来确定未知的东西 例35:(08考研) 1 ? cos[ xf ( x)] ? 1 ,则 已知 f (x) 连续,且 lim x 2 x ?0 (e ? 1) f ( x ) 答案 f (0) ? __________ 例36:(06考研)试确定 A, B, C 值,使得

2

e (1 ? Bx ? Cx ) ? 1 ? Ax ? o( x )
x 2 3

其中 o( x 3 ) 是当 x ? 0 时,比 x 3高阶的无穷小。
答案:A ?

lim f ?( x) ? e , lim( x ? c ) x ? lim[ f ( x ) ? f ( x ? 1)] ,求 x ?? x ?? x??
2 x2 ? 3 ? ax ? b, (11天津) f ( x ) ? 设 x?2

例37:(01考研)已知 f (x) 在 (??,??) 内可导,且
x?c
答案 1/2

1 2 1 , B ? ? ,C ? 3 3 6

c 的值。

若 lim f ( x) ? 0, 则a, b的值. x ??
-2,-4

例38:(94考研)lim x ?0
2 2

a tan x ? b(1 ? cos x ) c ln(1 ? 2 x ) ? d (1 ? e
? x2

a ? c ? 0 ,则必有( D )

)

? 2,其中

( A) b ? 4d ( B) b ? ?4d (C ) a ? 4c ( D)a ? ?4c 例39:设 f (x)在 x ? 0 的某邻域内二阶可导,且 sin3 x f ( x ) lim( 3 ? 2 ) ? 0, x ?0 x x f ( 0 ) ? ? 3, f ? ( 0 ) ? 0 9 ?(0) ,f ??(0)及 lim f ( x) ? 3 求 f (0) ,f f ??(0) ? 9, 极限 ? 2
x?0

思考题:11天津市竞赛题 设 f (x)是连续函数,且 lim
x ?0

x

2

lim (1 ?

1 f ( x) x )

f ( x) ? 4 ,则 x ?0 1 ? cos x
e2

x

?

.

(三)连续
? ? ln(1 ? ax 3 ) x?0 ? ? x ? arcsin x f ( x) ? ? 6 x?0 ? e ax ? x 2 ? ax ? 1 x?0 ? x x sin ? 4 ? 问:a为何值时,f ( x ) 在 x ? 0 处连续, a为何值时, x ? 0是 f ( x ) 的可去间断点。

♀判定函数在一点的连续性 例40:(03考研)设函数

例41:设 f ( x ) ? lim
n? ?

x

2 n ?1

? ax ? bx 连续,求a,b. 2n x ?1
2

♀函数的间断点及其类型(找的方法及类型的判别) 第一类间断点: 及 称 称 及 均存在 ,


若 第二类间断点:

x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .

中至少一个不存在 ,

若其中有一个为 ? , 称

x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .

若其中有一个为振荡 , 称

1 ? ?sin x 2 ? 1 , x ? 0 ? 2 例42 求f ? x ? ? ? x ? 1 的间断点并判断类型 , x?0 ? ? ? cos x x 2 ? ? sint ? sin t ?sin x 例43:(01考研)求极限 lim? ,记此极 ? t ? x sin x ? ?

限为 f ( x ) ,求函数 f ( x ) 的间断点并指出其类型。

例44:(07考研)函数 f ( x ) ? (e ? e ) tan x 在 [?? , ? ]上 1
x(e x ? e )

1 x

第一类间断点是x =( (A) 0 (B) 1

) ? ? (C)

2

? (D) 2

♀关于闭区间上连续函数的性质的证明题(放到中值定理部分)


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