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数学奥林匹克高中训练题(170)


4 0



中 等 数 学

缴 ? 奥翁 毪 氬 鑫 令 嫡 錄 翁
中图 分 类 号
:

(

r

7

0


)

G4 2 4


.

7 9

文献 标 识 码

:


A

文 章编 号

:

1

00 5

-

6 4

1

6

(

2 0

1

3

)

1

0

-

0 0 4 0

-

0 7









,



4



B

两点 与
,

y

轴 交于 点 脱 若 P M 是
,

P A




)

Pf i

的等 比中项 则 双曲线 的半焦距为




填 空题 每 小 题 8 分 共 6 4 分
(

1

.

已知

=

3
2
-

.

在棱 长为
t

1

的 正 方 体

A B C

i?


-

A

U U
*
j
|

4 X
*

+
a

3

< 0
2
,

,

X
-

6
2
(

R
a

A
}


,

,

B
,

C
A /

D
,

中 巳知
,

B

1

_

=

2

+

^ 0

.

*

+ 7

)

*

+ 5





2
:

,

是棱

B B



是底 面 … 上 的 点 且 各 灿她
0
,

的中
-


?

,

5

^

0

|

B


=
|

J f

0

,

*

G

R

3

.

}

则 四 面体
4
?

0
,

A D
)

M

的 体积 为


.



2
.

4

则 实数

a

的 取值范 围 是


巳 知/
x
)

(

x

满足

=
)
i


已 知 双 曲 线 的 中 心 在原 点 焦 点 在 坐
,

f

i

+ y
(

^
=

标轴 上 点
,

P

-

(

2

,

0

)

到 其渐近 线 的 距离 为

5


S
a
.

g

(

x

)

x

-

2

/
6

(

*

)

的值 域是
^




.

f

.

过点

P

作 斜 率为

f

的 直 线 与双 曲 线 交


巳 知 正数

b

a



、c

满足

^
2

+

c

^

2

3 a

,

3 b

a

(

a

+

c

)

5 b


.

三 因 为 方 程 ① 的 判 别式 为



A
=

=
,

-

(

8 n

2
-

)

4

x 4

-

(

3 n

-

2


)

2

(

8 n

+ 3

)

+ 2 3

> 0


,

所 以 方程 ①有两 个不 同 的 实 根
,








.

由韦
(


达定理 得
2
2

?
i

~

P
+

=
\

)

(

a
i

+
)

8
,

-

)

4

^

/

3

,



2


8

=

4 n

3 n

+ 2


.

由 C G
= >


=


E G
=

=

?

£C
^2
= >

.



C G


由 方 程 ②得

[

EM

2


x

-

(

2 n

+ 2

)

]

[

a

+

(

n

-

l

)

]

=

0

.




由Z E

A

P

=

6 0

E P
l

=

^

3

,

AP

=

1


.

若‘
2
.

+ 3 n

+ 2 4 n
2

是方程 ①的 整 数根 代入 得

,


=

P M
A

=

^ EM
P M
AB

-

1
-

EP
=
-

=


S
-

(

4 n

+ n

)

(

+ 4 n

+

l

)

=


0

>

M

=

-

A
A

P
=

j5
-


I

^ = >

n

=

n

1
-


1
-

0

,

T

,

y
=


.

BM
,

=

M

2

(

j

5

-

I

)

=

3

-

7 5


.

易知 点 M

N

关 于 直线
M
=

B E

对称
i

经 检验 只 有 当
,

0

时 满 足 题意
,


.


.

于 是 说V
,

=

B

3

-

方 且M
,

.

综上
V /

,

/ i

=

0


.

A

l

C


.

则厶B M

i

V

为 等边 三角 形

(





湖 北省 浠水县余堰 中 学


,

4 3 8 2 0 0

马 学明

)

湖 北 省 浠 水县 特 殊教 育 学




,

4 3 8 2 0 0

2 0

1

3

年第

1

0




4


1


6
.

⑩ 的 最 小值是

a




.

已 知 D 是 边 长为
,

1

的正厶 A

B C

边B


C

上 的点 厶

A B D



A
r
,

A C

D

的 内 切 圆半径分别

=


(

"

I
,



!

V

若 满足
)
,

+

r

2

f

的点

.

D

有两个


设为 A 為 则 坏 込 7 在 任何 n 个 连 续 的 正 整 数 中 使得 必

=


.

,





数其 各位数 字 之和 是
/ i

7


的倍 数成 立 的 最 首项为
a
k

二、

(

4 0



)

已 知 复平 面 上 的 正

n

边形


,

小 的 正整 数
8
.

=



.


其 各个 顶 点 对 应 的 复 数 恰 是 某 个 整 系 数 多
|

已 知 正 整 数 数列
1
,



o

B

2

0

1

!

3


,

项式

a n
'

1

末 项为

且对任 意 的 k
J

彡2

均有

<

7

.

^

f
7

?

(

x

)

=

x

+

a

n

_

x
x

+

?

?

?

+ a

x
x

+

a


0

则 满 足 条 件 的数 列 U
二 、 解 答题 (
9
.

共有

)






N

n

个 复 根 求该正 多 边 形 面 积 的 最 小 值
.


.


+
,

、 (

5 0
-

共56 分
(


6
)
,

)

(

1

)

若 p 为 奇素 数
?

a
,



6



n




p

|

(

a

/

>



i

,

a

卢6

,

证明


:

(

1

6



分 在
)

2 n

+

l

)

x

(

2 n

+

l

)

数表

a


中 每 行均 是等 差 数列 每 列 各数 平方后 为 等
, ,

p





;

差 数列 证 明 左 上
. :

x

右下
C
:

=

左下
2
-

x

右上
+
(


?

1

0

.

(

2 0



分 已知 ?
) (


2

(

x

4

)

广

3

)

=

3 6

,

定点
:

P P
.

1

,

0

)

,

定直线
Z

/

和?
,

C

上 的动



是 不 同 的 正有 理 数 使 得 存 6 是正 整 数 在 无穷多 个正 整 数 满 足 a 证 明 a 6 也 是正整 数
(

2

)



a



6

,

"

"

-


,

:




.


I

Q

满足
一 "

的另


… 在 直线 的 同 侧 点 C 在直 线 P 以 为 焦 点 作 与 直 线 相 侧 Q





,

I

的椭圆



,

且当

.

<

?

在?

c

上运 动 时 椭 圆
,

E






,

(

a a 分 设n$ 3 n 6 N 是任意的 和 为 正数 的 《 个不 同 的实
H U 是这 个 数 的 个排 列





(

5 0

=



)

(

+

)

,

(

,

,

2


>

"



/i




.

长 轴 长 为 定值
( 1 )

若 对任 意 的
/

c f

(

A

=

l
,

2

… , ,



)

,



求 直线
对于第
,

的 方程

$

6
,

>

0


,


;

则称
2
0
1

(

6


,

6



2

,

,

6

?

)





个 好排 列




?

求好 排


(

2



)

象限 内 任意


2

个 在椭

T

列 个数 的 最 小 值


.


,



上 的点 是否



定 可 以 将它 们 分成 两

组 使得其 中
2 0
1


组 点 的 横 坐标 之 和 不 大 于
2

参 考 答 案







3
,





组点 的 纵坐 标 之 和 不 大 于

.




.

0

1

3 ?

、 !
?

请证 明 你 的结 论
1 1
.

?

4



a
=


*
|



1

(

2 0

分 巳知厶
)


4 B C

三个内角分别


为2
2

/ 1




s
i

5
n

2
+

( :

.



"

由 题意 知 A 设/ ⑴ 2
=
2

1
1

<

3

}


.

,

-

+ 2
a

a


,

g
s
i

(

x

= )

x

-

(

+

7

)

x

+ 5


.

^

A

2 V5

n

B +

s

i

n


C

的 最大值


.

要使 只 需/ 幻 g x 的 图 像 均在 轴 的 下 方 则

(

,

(

x

)


^

(

1
,

3

)









1
,

/

(

l

)

^

0

,

/
-

(

3

)

^
a

0

,

g
-

(

l

)

^

0

,

(

3

)

^ 0


.


B C D

此解 得
"

4

<

.

<

1


.

、 (

4 0

分 如图
)

在 口A
,

中 已知

,

2

.

7 5

或在

P

为对角线
A C D
?

B D





点 且 满 足Z
A C

P C B



=

设 渐近 线 的 方 程 为 y
由 题设 得

v

=


k
"

Z


,

A

A B

D

的外接圆 与
=

交于 另




= >

A

=

证明

尸£ &

:

T T

F

±7 5


.


3

4 2


中 等 数 学


于 是 双 曲 线 的 渐 近 线方程 为
,

厂 土



c


.

1
=

^
6


2

'

故 可 设 双 曲 线 的 方程 为

2
2
-

l
V

2

a c

y

=

A

(

A

^
,

O
A

)


.


,

h

m

-

O

i



=

~

^
2

'

a p

o

,

M


^


(

B

(

c

2

y

2

)

.



\

.

.

"

v



1^ 2



1
V








"


*

*

+ 2

)


-

3

1

6
-

2

4 8 0 +
o o

代 人双 曲 线方 程 消 去 y 得

2

4

.

-

0

(

0
,

4

]

U

(

,

)


.

3 x

-

4 x

-

2

A

-

4

=

0


.


4
)


x



x


,



=

1

6

+

1

2

(

2

A

+

> 0

,

B

P

A


>

2


,

(

x

= )

<

p

(

<

p

{

)

)


=
<

=

r ^ i


,

时 上 面 的 方程 恰 有 两 实 根 且

3

4
X
,

2

,

<

p

(

x

=
)

2
<

p

{

<

p

{

x

)

)

p
|

+

X

=
2

y
=

x
1

*

= 2

-

y

(

A

+ 2

)


.



=

x


.

由 PM
= >
I

2


此时 条 件表 所 为
,

P A
+ 2
)

-

P B
f
(

x

)

^

f
(

(

<

p

(

x

)

)

=

1

+
x

r


c

(

*
i

(

*

2

+ 2

=
)
|


4
=

^ f

(

<

p

x

)

)

^ f
^

2 (
<

p

(

)


)

=

>

-

|
=

(

A

+ 2

)

+ 2

x

|

+ 4



4


.

=

1

+

<

p

(

x

= )

—"




-


X 2
(

解得A
,

2



1

4


.


所 以 双 曲 线 的 半焦 距 为

=

2

>

/

(

<

p

(

*

3 ) )

<

+

/

(

<

p

?

)

)

=

p


1

j p l l

)

务 万或
3
'

-

v

^

r


.

=

^

A

2
<

p

(

x

)

)

+

f

(

x

)

=



^



7
1


-


C

4 S

故 2/ 0
,

0

=


1

X

I

"


X

如图
4 0

2


W

0

.

是底 面

M C

Z )

的中心 则

.

丄平面

/

#

检验 知 其满 足 题设方 程式
,


.

则g
.

(

*

)

=

^
X



(

-

0 0
,

-

4

]

u

(

0

,

+

0 0

)


.

'

"


X

1
-


8

-

5

y


将 已 知 不等 式变 形 为
2
1

^



+



^



3

,

3
(
\

a

a

a

)
)

a

^

1

+



^

5
(
\



a

)

)


\




2

设a
B M
_



=

*


,

=


a

y

?




^ 田



2

B M
_

2
3
.


1


.

^ ^
,

_

1

5



i f


=

+ y
2

矣3 ^

.


,

3 x
=

+ y
0

5 x

2

,

于是

S M

+
~

,



M

|


.
.

x >

,

j

> 0

故S
=

A

O O

i


*


此不 等 式 组 表示 的 图 形 为 图 3 中 的 阴 影
8


S

正方形 D

,

8 D

S

_



a

O D





S

,

A

D B


M

区域


.

2 0

1

3

年第

1

0




4 3


设 两 个根 分 别 为
D
D
t





?




=
2

U

,

x

2


1

=

-

/
3

(

*
,

+ *

2
-

2 )

4 x
,

X


.

2

7

.

1


.

注 意到
1

,

中任 倍数 因 此 n > 3 对 每 个非 负 整 数
0 0 5


个 连续 正 整 数 9 9 4 9 9 5 数 的 各 位数 字 之 和 均 不是
1

2



,

,


,

7




.

1


.

,

a
,

称如 下
? ?

1

0

个 数所 构


成 的集 合

A
=
a “
j

1

0 a

1
,

0 a

+

1



,

,

1

0 a

+ 9


|




3



个 基本 段
可见
, ,



?

1

3


个连 续正 整 数 要 么 属 于两 个 基

.



^



u

-

"

"

“ —

-

=

x

-

2 y

.

j

?


J


a

本段 要 么 属 于 三 个基本 段 当 3 个 连 续数 属于两 个 基本 段时
1
,

,

由抽




屉原 理 知 其 中 必 有 连 续 的 七 个 数 属 于 同
u
)

,

y

=



(

x

-

个基 本 段 当
;
,

1

3


个 连 续 数 属 于三 个 基 本 段
,

人 七

.

+

1

时 其 中 必有 连续 十 个数 同 属


其 表示斜 率 为 + 的 动 直 线
,


.

于、
/




易 知 当动 直线 经 过点
4





,

W
"

"

.



a
i

i

(

a

o

+

1


)

a
k

a

'

k

a
i

-

i

(

a

o

+ 6

)

是属 于 同

k



基本段 的 七 个


^

=
n

-

y

2

1

1

1

1


8

.

x

y

=

-

y

数 其各 位数字之和 分别 为

,

e f

k

S
,

a
.

+

6


.

i 然 ‘七 个 和 数 被 7 除 的 余 数 互 不 相




B D

=

x


.

同 故 其 中 必有
.

由 佘 弦定 理 得 仙


=

v

V
3C



1


.

个 是 7 的倍数 因 此 所求 的 最小值 为 《



.

=

,

1

3


.

8

.

2 0

1


.

方面


,

X

^

y

?



数列

设首 项 为
I

m


且 满 足 题设 条 件 的 正 整 数
.


S

方面
=

?
m



的 个数 为 、 则

i
,


,

b
2

=

+ b

2

+



+ b

k

{ l

^

+

1

名t o 英

2 (

A +

1

)

)


.

?

b d




(

1

+ 无 +

^

/

x

~

x

+

1

r
)
i

*




注 意到
4 4
2


,

由式 D
(
"

_
i



"

+

1

=

1

9 3 7

< 2

0

1

3

< 2

0 2 5

2 =

4 5


.

易算得

n
=

^
r
,

(

+ X

^

/

x

2
-

-

x

+


'

i

)


1

=

1

,


~

=

^

=
3

^

4

=

1


,

l>

-

5

b

'

"

6

=

b
=

= 9

b
}

+
&
!

6

2

=

2


,

同理

=
2

f

(

2

-

%

-

V

V

-

?

+

l


?

)

^
1

0

=

^

U

=

?

?

?

^
1

=
6

+ 6 +


2

+

c f

=
3

3


>

t
j

'



y

6
j



?

?

?
?

g

&

=
2 5

if

6

2

+
-

6

3

+
6
=
5






r
i

+

r

2

(

3

-

2

y

V

-

龙 +

l


)

b


y

-

b v b x

=

?

?

?

=

?
b u 6
|

=

i
,

+ 6

2

+ + +

-

+
■ *

6
=


,

b

-

=

"

^

~

=

^

j

b
}

+
+

b

*

2

+ 6
=

5


8



2
-

X

+



=

0


.

所以

,

、。

=
1

3

+ 6



2

6

4 4

2 0

1


.

4 4


中 等

数 学


+ a 设? 中 第 行第 y 列 的 数 则


二 、9
i

?

=

-

;

( j

1

)

表 示 该 数表



又 易 知点 卓 在 直 线
x
t

i

的 下方 故

,

.

+ r

(

^

4


,

2 a
2 之

= \

a

]

+

a
2

l

,



(

0



?

忘4

,

0


,

=

1

,

2



,

,

2

0

1

2

)


.

(

a

2

+ d

=
2 ) 2

a
,

+ d
,

2 ) 2

2

+

(

a

3

+ d
3

) 2

,




不失
A
i



般性 不 妨 设 々
+
1

矣a



c

2





莓x



.

2

。l 2

+ 2 d + a ⑷+从 由 式 ① ② ① ③^ 别 得

:
)

(



,

)

(

a

3

+ 2 d

3

)

.



(

⑴若
x
i ,

*
=

x
2

+

?

?

?

+ ?
,

2

2

矣2 0
)

1

3
,

贝 】 将点




,



y

i

)

(

i

1

,

2

-

,

2

0

1

1

分为
> 2
0



组 点

,

l + 4 f
=

2

^
2



"

"

t

2 f l
j


"
"



I



o

u

>

2 d
=

'

l

d

~

]

d

作为 组 符 合题 意 若X + x + +



.



(

i i

)

,

2

*

2 。

1

2

1

3
,

则存



l

-

4 a ^

2

d
~

2

+ 2 a
,

d
,

+ 2 a
3

d
3

,



/




A

e
x
x

N
+ x

+

(

A

忘2 0
? * ?

1

1

)

,

使得

0
1

2 ^

2

+ 2 ^
2

2

2

+ Q

^

d

^

2

+ +

+ +

x x

k

^
+
J

2

3


,

4

^




i





=



2 d

2

^

2

+ 以乂

1

+ ^

3

^

*

3




x
x

+ x



2

i

> 2
k

0

1

3


.

由 式i
2 ^
=
2

、 (



^
3
,

于 是 对任 意 的
,

(

j

<

l

0

1

2

(

;

N

+

)


,

^

+











?


r



>

2

0

1


3

-

1 7 1
i


将 式 ⑦ 两 边 平 方 并 将 式 ① ⑥代 人 得
2


^
(

;

… + y ^

+



+

y

i o


n

(

2 a
>

2

d
a

=
%

)

2 a

l

(

2

d

2

0

1

2

-

A

)
(

4

-

M
|

)

l


)
2

=

(

f

^ a

\

)

{

d
^
1

\

+ d
= )

=
g

)

{

a
x

d

+ a
x

3

J

3

)

=

2

0

1

3

-

4



(

£t
]

0

3


0

[





1
,

d
|



Q

r

^

d
^


t

茗2
)

0

1

3


.

进而 考虑 第
,

(

a
,

+ 2 d

o

=
3

,

(

a

3

+ 2 d


3

)

a
,


.

将 点
组 点七
,

(

?

=

2

— , ,

k
.

)

分为
0
1




1

行 的第
l


1



n +

+
l

1

2 n

+

1

列 及第

+
1

(

4

,

7



)

(



4

+

1

,

“2 广

2
,

2

)



3

a r

+

1

行 的第
1
、 n

n

+
+
1

l



2 n

列及 第
.

2 r e





2 0



组 则前
.



组 点 的 横坐 标 之和 不大 于

2
n

的第

+

1

、2 n

列 的 九个 数 将这 九 个数
的 数 表仍 满 足 每


1

3

,


.



组 点 的 纵坐 标 之 和 不 大 于
=

0

1


.

构成



个新 的
,

3

x 3



行的

1 1


A

S
.

2 v

5
?

s

i

n

A

+ 2

-

Jl

s

i

n

5
?

+

s

i


C

数 成等差 数列 每
,


列 的 数 的 平方 成 等 差 数

=

.

列 于 是 原 命题得 证
1

4 v 2

A



B
#

A
c o s




B
+
s

s

m

— ~

~

-

~

m

C


^

.

0

.

(

1

P
=

'
.


(

P

'

Q

关 于 直线 的 对称 点 为
过捕 圆 与 直 线 的 切 点 从而
)

设点
E

P

I

固 定Z

C

,

知 当Z ^
s
i

4

=

Z

B



,

S

取最大


I

.


,

值 此时
.


,

2 a

即椭圆

的 长轴 长 为 定 值 于 是 点

)
.

,

/

C

=

t

c

-

2

A
n

f

S
m

=

2 si n

A
+
x

*

(

2

^

/

2

+ c

o s

A

)


*

Q 在以 尸为 圆心

、2 a

为 半径 的 圆 上
<


.

记/
2 a
=

(

A

=
)

2

A
(

{

2
=

^
s
i

2 n

c o s
*

A
a

)


.

由 Q 的 任意性 及

?

在?
I

C

上 知
,

6


.

考虑 最 大值

.



般的

h

x

)

(

+

c o s

x

)




故点 垂线

P

.





C

重 合 即 直线
,

为 线段

C P

的中


由 柯 西不 等 式 及含 参 数 的 均 值不 等 式有

k
,

注 意到
因为

=

C P

1

=

>

A

:

=
,

-

1


.

2

2


2

h

(

x

)

=

-

-

s

i

n

A

?
;

cp

的 中点 为
(

"



,

|

,

所以 直 线
,

^
n

(

A

a

+

A

c o s

x

)


i

)

的方 程 为
(

x

+ y

.

=

4



.




s

i


i

2
?

2

2

2

(

A

+

c o s

x

)

(

a

+ A


)

2

)

可以
0

设这 2


1

2

个点为 卓

(

^

)

(



=

1

,

2


,

^
=

s

n



+

(

n
2

v
A
2 )

-

+

A

2

)

,

2

0

1

2

)


.

i



⑴ 知直 线

Z

的 方 程为

x

+ y

=

4


.

7

(

f

i
( )

a

+

2 0

1

3

年第

1

0




4 5


等号 成立 当 且仅 当

A
2

而方 程 Z
2

=

1



=

a c o *

s

x

s
,

i

n

2

a

=
;

A

2

+
-

c o s
2
?

2

x
=


.

个正



边形 的

/ I


个根 在 复 平 面 上 对应 顶 个 点 因 此 该 正多 边形

7 1
, ,
-

消去

得2
=



4

+

?

2

!

0


.

面 积 的 最小 值为 j
2

s

i

n


?


n
6
=

解得
c o
s



2

+
(

(

7
2

^
+ 8
-

?
a

-

?

2



)



、 (

1

)





-

/

/

0

>


-

!
,





)

.




w

^
2

y
,

a


'

)


=

[

(

“…

"





A
2

a

=


# 得
-

=

2 V

^

2

,

c o s

A

=

^

2

,

^

,


i
k
=

S
-

c

'

D
k
-


f
i

=

~

i
i

c

k n

:

i
)

p

^

i

-

i

)

n

-

k
.

b




即 当Z

^

A

=

a

r

c c o s


2


?

设尺
"

?
I
I

.

只 需证 明
?


:

f

(

A

)

=
m m {

3

+

^

W

^
a

=

~

^

2

-

l


.

p

-


6






-



A C D
=
,

因为 p
~

7
| |

w
k
-

1

,


而式 ① 的 其他项
)
'



由Z
=

P C B

=

Z Z




.

c

k n

:

\

i

y

(

k

-

,

"

k

b

(

k

>

i


)

Z

P C D

Z
/

A C B
=

Z

D A E
=


A E

k

所含 的 P 的 次数 不 大 于 k

?

-

2

,

所以 式 ②

,

易知 Z

B D C
c 5

A B D

Z

D


.

成立

则△
^

D P C
=
~


△腿
(

2

)

D P
D E

CD
=
~

不 妨设
z
)
n

a

=



,

b

=



z

G

N


+

A B


'

z

A

E
=

A E


,

(

*

,

y
"

=

1

,

)

.



" "
I

又乙

B AE

乙 Z
Z

B D E




a

-

b

e

Z

.

< = >

z

(

*

-

/

)


.

A

D EP

^
=

A E B

A

分两 种 情形
(
i

Z
=

D E P
A

E B


.

)

若2
"

1





"

2

2



|



(

x

-

/

)

,

n

-

2

”G




>

Z

ED
n

=

P E B

奇数

.

)

.



|

边形的 中 心对应 的复 数为 a 将复 平面 的 原点 平 移 到 a 后 则 该 正 n 边 形

,

二 、设正

"

2

(

*

-

/
2
,

)

.



=
k
'
-

因为

(

、y
n
_

)
2

1

,

所以
2
k

'

,

t y

均为 奇 数


?

的 顶点 均 匀 分 布在



(



-

a
x

n

= )
n

6

(

6

个圆 周 上 即 它 们 是 方
是某个 复 数 的解 于 是


,

故*
=
(

n

y
2
t
-

=
t

x

y
l
-

)

.

x
2

2


,

y
-

) 2

[

x
2

2

H

i


)

f

n

'

1

2

2
' -

i

'

l k

'

(

)

=

x

+

a

n

_

x
t

+



+ a

p

+

a

=

0

(

x

y

)

(

x

+ y

)

(

x

+ y


?

)

=

r i

+

g

c

y

-

'

^

-

o

)


.

注意 到
_


,

对比

项 的系 数 知
,

na

=

a

?

-




为整
=

"

2
|
|

(

?
+

_

/
;

2 )

2

2
,
|
|

(

x

+ y
2
t
'

)
'


,

数 所以
,
,

,

a

为 有理数 再 结 合
;

n a

-

(

a

H
)

a

,

2
| |

(

/

2

t

'

'

/



)

,

,

2
| |

(

x
-

+ y
'

)


,

为 整数 故 为整 数 知
,

a
b

为 整数 这 样 由
,

。 (

-

W

-


6

2

卞[

产”
(

— +
-

/
x
n

(

'

)

]


?

为 整数

,

于是 广
?
-

*



)

-

|

|

(

f
A
l
-

)


.

上 述讨 论表 明 该正
的 复 数 是 整 系 数方 程
(

边形 的 顶 点 对 应

"

结合 式 D W
(

n 2
*

^
,

a

+
A
;

(

1

)


.

x

a

)

=

6

的解 于

.



n
.

=

2 n

* /

5

:


2


-

o g

.

2

e r


.

是 其外 接 圆 半径 m
,

i 為

1


.

所以
s
i

,

彡a +

I

og

n

1

故 此正

n

边形 的 面 积 不 小 于^
2

上 式 只 能 对有 限 多 个
n


i

t

成立 矛 盾
,


.


?


n

(

i i

)

存在 奇 素数 p

i



2


.

4 6


中 等 数





则若
a
/ 1 B

^ 为 满足 p “ “ /
k
I

-

(

/
)
,

)

的 最 小 正 整数


.

"

-

+



;

>






S


<i
j

> 0

.


i

(

a
,

a
,



2

a
,

,

t

)



k

元好排 列
为第



.

n
=

:

y
(

(
'

m od
1

p
=


)

所有 的

e
i



1
,

2

… , ,

M
t
,

,

取以




a
)

xy
=
k )

l

(

m o d

p
,

)

.




,

的 好排 列

C

,

C
i



+

c
,
.

1

,

+

易 知 这种 好 排 列 是

.


因为 ?
~

/
\

(

m od m o d
A

/

0
)
.

所以

存在 的



,

个 正 数就 为
,

1


元 好 排 列 取好 排 列
1

l

(

x y

^

(

p

.




中 最长 的

,



个 不 妨设 该 好 排 列 的 第
,

项为

由 式④



⑤知
-

i

e r

长度 为
1

/


=


,

,

^

… ,



为 好排 列

.


.

设 1
/
>

(

?

/

)

,

,
|

1

.


.

(

)



c
2

/

?
n
,

则 结论 得证
则由
c
/

(

2

)

Z

<

Z

的 最 大性 知


.




^
1

l

o g

,

n

^ p

c

,

+
c

+
c
2

+ +

+

1

矣0
c
?

(

)

知乂
+

_
^
-

^
1
-



-

+
,



+

> 0

,



+

C
/
1

.

2

+

C

U

+
3



+ C
c
,

?

> 0
+


.

于是 广
,

^
(

/
)
,

)


.



,





为使

+ +
?

C

t

+ +



+

c

1

B

>

0

的最 小


+
… ,

因为 Z
n

I

Z
a

/
+
l

所以
n

.


c
<


,


+

t

f i

_

Z



l


.

?
(
< :
,

^

a

+

i ^ f

o g

)

;



上式 只 能 对有 限 个



n

成立 矛盾
,


o



均 为 正数 &
。 1
.

,



、“
(
,


,


.

c



0

a 均小
方面 当 a > 0 a a 时 易 知 好排 列 个 数 为 》 先 证 明 好排 列 个 数 的 最 小 值 就 是

,
,

?

)




.

e r

-

?

元好排 列 于 是

)

,

、 、

+

1


,

,

2

,

3

,

,

?



_

,

(

1

,

C
|

,

C
2

,

为长 度 大 于

Z

的 好排 列


,

)

!


.

:

(

/

I


-

矛盾

1

)

!


.



注 若 、 ?


.
,

" ’

(

,

,

0 与
?

(

c
l

C
,



2




,

对任意 满 足 条 件 的
a
-

a
,

,

?

?

?

?

,

,

a

a

,



a
,


,

C
,

)

有重复项 则去 掉
,
,

C
,

,

&

?

?

,

,

C
,

中 的重复


.

2

,

a
,

?

放 在 圆 周 上 而 圆 排列 的 个数 为

,

. 一

项 同 样 可 以 得 到 长 度大 于 的 好排 列
I

(

e r

-

1

)

!


接 下来 证 明 任 意 个 圆 排 列 均 对 应 于
题 设所求 的 个好排 列 且 不 同 的 圆 排 列 对
.

从而
因此

Z
,

=

a r


.

:



,

个 圆 排列 对 应





个好 排列 又 显

.
?

,

应 不 同 的 好 排列 设a
i

然 不 同 的 圆 排列 对 应 不 同 的 好排 列

.



,

,

a

n


)
,



个 圆排列 为
A


q
(

c
,

2


,

综 上 好 排 列 至少 有
,

(

n

-

1

)

!




.




? ,

(

约定
,

c

=
? +
i

c
;

定义


元 好排 列
=
1
,

l f
l


,

(

徐小 平

)

福建省 厦 门 市第



中 学


,

?

?

)

满 足对 任 意 的

(

2 ^

"



)

3 6

,

1

0 0 3

1

.

江 苏 省 盐城 景 山 中 学 高 三 龙 杰 同 学来 信 指 出 本 刊
1

2 0

1

3

年第

1

期 《 数 学 奥林 匹 卑 高 中 训



练题

(

6

1

)







试 填 空 题 4 中 的 四 面 体 是 不 存 在 的 满 足 六 条 边 长 度条 件 的 是

,




个平 面 的




矩形 及 其 两 条 对 角 线
(

)

;

填 空 题 6 需 补充答 案

_

+
-


.






2

.

安徽 省 宣 城 市 第 三 中 学 黄 兆 华 老 师来信 指 出 本 刊 2 0
(

1

3

年第 6 期 2 0

1

2


年 全国 高 中 数 学 联

赛 河北 赛 区 预 赛 高 二 中 题
)


2

应为
3



/

(

?

+

1

=
)

A

"

x

)


.

3

.

本刊

2 0

1

3



年第
,

7

期更 正 中
2 0
1

有 误 应 直接在 原题末 加 且
,



c o s

^ 6 Q

9
( 1

"

.

4

.

根 据作 者 指 出 本 刊

3

年第

3

期 《 数 学奥林 匹 克 高 中

i (

l
|

练题

6 3



)




试填 空 题 8 解答

有 误 答 案应 为

,


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