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第55届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二


第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2014 年 3 月 17 日上午 8:00-12:30
1、证明对任意正整数 k 及 N ,有
k 1 ?1 N k ? ? N ∑ (ω (n)) ? ≤ k + ∑ q q≤ N = ? n1 ? 1

这里

q≤ N



表示对所有不超过 N 的素数幂 q (包括 q = 1 求和)

注:对整数 n > 1 , ω ( n) 表示 n 的不同素因子的个数,并规定 ω (1) = 0 .

2、给定整数 a ≥ 9 .证明:至多存在有限个正整数 n ,同时满足下列条件: (1) τ (n) = a ; (2) n | ? (n) + σ (n) . 注:对于正整数 n , τ (n) 表示正约数个数, ? ( n) 表示不超过 n 且与 n 互素的正整数的 个数, σ ( n) 表示 n 的所有正约数之和.

3、设 A 是平面上一个凸 n 边形的顶点构成的集合. A 中每两点之间的距离的所有不同值 从 大 到 小 依 次 记 为 d1 > d 2 > ? > d m > 0 . 设 A 中 距 离 为 di 的 无 序 点 对 恰 有

?i 对 ,

i = 1, 2,? , m .
证明:对任意正整数 k ≤ m ,有 ?1 + ? 2 + ? + ? k ≤ (3k ? 1) n .

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2014 年 3 月 18 日上午 8:00-12:30
4、给定半径为 R 的圆 O ,其内接三角形 ABC 是三边两两不等的锐角三角形, AB 是 该三角形的最大边(如图所示) , AH A 、 BH B 、 CH C 分别是边 BC 、 CA 、 AB 上的高. 设 D 为 H A 关于直线 H B H C 的对称点,E 为 H B 关于直线 H A H C 的对称点. P 为直线 AD 与

BE 的交点, H 为 ? ABC 的垂心.证明: OP ? OH 为定值,并求出这个值(用 R 表示).
P

D HB C

A

HA

HC

E

B

5、 求具有下述性质的最小正常数 c : 对任意一个简单图 G = G (V , E ) , 只要 E ≥ c V , 则 G 一定含有两个无公共顶点的圈,并且其中之一是带弦圈. 注 : 图 G (V , E ) 的 圈 是 指 一 个 两 两 不 同 的 顶 点 序 列 {v1 , v2 ,? , vn } ? V , 其 中 ; 带弦圈是指一个圈 {v1 , v2 ,? , vn } , 且存在 i, j , vi vi +1 ∈ E (1 ≤ i ≤ n)(这里 n ≥ 3 , vn +1 = v1 )

1 < i ? j < n ? 1 ,满足 vi v j ∈ E .

6、设 k 是给定的正偶数, N 是 k 个互不相同的素数 p1 ,? , p k 的乘积, a, b 是两个正整 数, a < b ≤ N .记

= S1 = S1

{d d | N , a ≤ d ≤ b, d的素因子个数是偶数} , {d d | N , a ≤ d ≤ b, d的素因子个数是奇数} .
k

证明: S1 ? S 2 ≤ Ck2 .


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