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2009年第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷(精编版)


第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题。本题共 5 小题,每小题 7 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极板,E 为电池, c

彼此相距较远。用导线将 E 的正极与 a、c 相连,将 E 的负极与 b、 a + E d 相连,待电容器充电后,去掉导线。这时已知 a 带的电荷量大于 c d b 带的电荷量,称此状态为原始状态。现设想用两根导线分别都从原 始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连, 用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连, 每次连接后都随即移去导线。下面哪种说法是正确的?[ ] A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流 电源两端,如图所示。已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金 属的摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的 自由电子(载流子) 。当电流达到稳恒时,若 a、b 内存在电场,则该电场可视为均匀电场。 下面结论中正确的是[ ] a b A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 3.一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上。现用 手指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管 沿竖直方向提出水面, 设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1; 最后把玻璃管在竖直平面内 0 转过 90 ,让玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2。则有 A.V1>V0≥V2B。V1>V0>V2C。V1=V2>V0D。V1>V0,V2>V0 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态。一石墨块(可视为质点)静止 在白板上。石墨块与白板间有磨擦,滑动磨擦系数为μ 。突然,使白板以恒定的速度做匀 速直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹。经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不 再运动。在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石墨与板磨擦划痕过程中损失的质量) 。[ ] A.
v0
2

2?g

B. v0 t

C。v0 t—

1 2

μ gt2

D。

v0

2

E 1 R 2 C 3 R

?g

K

5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆 为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电 源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的。在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路。在图 2 中给出了六种电 压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、f,现从其中选取 出三种图线用来表示图 1 所示电路上 1、2、3、4 四点中某 两点间的电压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是[ V E O V E O d t a t V E O V E O e t b t V E O V E O f c

4

图1 ]

t

t

A.a、b、f B。a、e、f C。b、d、e D。c、d、e 二、填空题和作图题。把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方。只要给出结 果,不需写出求得结果的过程。 6. 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严重影响了搜索 (8 的速度。现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达” ,它是由数以万计的只有几厘米或更小 的小天线按一定的顺序排列成的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可通过电子 计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标 的作用对下的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉级强方位的 影响。 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为λ 的相干电磁波。Ox 轴通过 a、b 的 中点且垂直于 a、b 的连线。若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处 a 的初相位相同即相位差为 0 时,将在与 x 轴成θ 角(θ 很小)方向 θ 的远处形成干涉级强,现设法改变 a、b 发出的电磁波的初相位,使 d O b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ ,结果,原来相干极强的方向将 从θ 变为θ ,则θ —θ 等于______________________。 b -7 7. 分)He—Ne 激光器产生的波长为 6。33×10 m 的谱线是 Ne (8 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的; 波长为 3。39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能量较低的激发态能级(用 E3 表示) 跃迁时发生的。已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1。24×10-6m ? eV。由此可知 Ne 的 激发态能级 E3 与 E2 的能量差为________________eV。
“ “

x

8. 分) (8 一列简谐横波沿 x 轴负方向传播, 传播速度 v=200m/s。 已知位于坐标原点 (x=0) 处的质元的振动图线如图 1 所示。试在图 2 中画出 t=40ms 时该简谐波的波形图线(不少 于 一 个 波 长) 。 y/mm 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 t/ms

y/mm 60 40 20 4 8 12 16 20 24 28 32 x/m

A

9. 分)图于为某一圆形水池的示意图(竖直截面) (8 。 AB 为池中水面的直径, MN 为水池底面的直径, 为圆 O c 形池底的圆心。已知 ON 为 11。4m,AM、BN 为斜坡, M N O a b 池中水深 5。00m 水的折射率为 4/3。水的透明度极好, 不考虑水的吸收。图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝色的,水面是平的。在池底 中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB。 (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为__________________。 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到过潜水员的眼睛的是 ____________________________。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式的重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位。 10. 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果 (9 的影响。 (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖 放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条 直线,在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离。如

B

果由于操作中的误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离,问 这样的测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证。 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示。这时如果没出摆球作这种运动的周期,仍用 单摆的周期公式求出重力加速度,部这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个大?试定量比较。 11. 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当。内阻可忽略不计。带有按钮开关 k1, (8 按下按钮电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数) ,阻值已知为 R 的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ? 和内阻 r 待测) , 单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干。 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ? 和内阻 r,又能测量待测电阻的 阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) 。 具体要求: ()画出所设计的电路图。 ()写出测量 ? 、r 和 Rx 主要的实验步骤。 ()导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ? 、r 和 Rx 表达式。 12(18 分)一静止的原子核 A 发生α 衰变后变成原子核 B,已知原子核 A、原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA,mB 和 mα ,光速为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应) , 求衰变后原子核 B 和α 粒子的动能。 13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子 4 的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做 3 1 到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响。这种 特点可望有新的应用价值。图 1 所示为四端十字形二维电子气半导 2

体,当电流从 1 端进入时,通过控制磁场的作用,可使电流 从 2,3,或 4 端流出。 a d 4 对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形 V0 1 导体中的流动。在图 2 中,a、b、c、d 为四根半径都为 R 3 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭 缝 1、2、34,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为 2 b c 真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里。以 B 表示磁感应强度的大小。一个质量为 m、电荷量为 q 的带正 电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射入磁场内,设粒子与圆柱 表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不 受磨擦力作用。试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出。 14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于 光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨, 导轨 P N1 M1 中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0。 导轨的两条轨道间的距离为 l。 是质量为 PQ F R m 的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持 N2 M2 Q

与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计。初始时,杆 PQ 位于图 中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始的轨道 上向右作加速运动。已知经过时间 t,PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0, 导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进入磁场区域) 。求在此过程中电阻所消 耗的能量。不考虑回路的自感。 15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两 个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁 M2 的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的, M1 M2 是绝热的, M2 的横截面积是 M1 的 2 倍。 且 L2 M1 把一定质量的气体封闭在气缸为 L1 部分, P0 L1 M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 p0 是恒 K 定的。K 是加热 L2 中气体用的电热丝。初始 时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积。 现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热, 让 气体重新达到平衡太,这时,活塞未被气缸壁挡住。加热后与加热前比,L1 和 L2 中气体 的压强是增大了、减小还是未变?要求进行定量论证。 16. (20)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处 和一个质量为 m2=
1 9

m1 的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物

体并作椭圆运动。碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和 卫星轨道在同一平面内。 已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时, 其总能量即动能与引 力势能之和 E=—G
Mm 2a

,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴。

设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力。 ()试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。 ()如果此事件是发生在北极上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体 与地球相碰处的纬度是多少?

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有 多项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分. ?? 6.答案与评分标准: (8 分) 2? d 7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:
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评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线 代表玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线 间的距离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ,按实际 的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线 2? 2 F sin ? ? m l sin ? ( ) 对摆球的拉力,T 表示摆球作题图所示运动的周期.有
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T

(l)

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F co s ? ? m g

(2)

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由(l)(2)式得 、
T ? 2? l cos ? g l
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(3)

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而单摆的周期公式为

T ? ? 2?

g

即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在 水平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出 的重力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电 路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的 示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 R ? I1r
? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

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? ? ? ? ? I3R ? ? ? I3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?

(3)

解以上三式得

? ?

( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3R I2 ? I3

(4)

r ?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流 的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电 路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? R x ? r )
? ? I2 (R ? r)

(1) (2)

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? ? I3 (Rx ? r )

(3)

解以上三式得
? ?
I1 I 3 R I 3 ? I1 I1 I 2 ? I1 I 3 ? I 2 I 3 I 2 ( I 3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) I 2 ( I 3 ? I1 )

(4)

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r ?

R

(5)

Rx ?

R

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的 要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个 电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小 为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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m Ac ?
2

1 2

m ? v? ?
2

1 2

m B vB ? m? c ? m B c
2 2

2

(2)

解(l)(2)二式得 、
1 2 1 2 m B vB ?
2

m? m? ? m B mB m? ? m B

(m A ? m B ? m? )c

2

(3)

m ? v? ?
2

(m A ? m B ? m? )c

2

(4) 评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, (3)(4)各 3 分. 、 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处, x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作 用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切,故其圆心必 在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) 0 y=R-R cos45 (3) 由(l)(2)(3)式得 r=3R 、 、 (4)
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由洛仑兹力和牛顿定律有

q v0 B?

v m0 r

2

(5)

由(4)(5)式得 、

B ?

m v0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. (1)(2)(3)式各 4 分, 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 、 、 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是 碰度点.由于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上.这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心,AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则
?AHC∽ ?EDA
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有 由图可知

r ?

AC HC

AD

(1)

HC ? R ?

2 2

R

(2)

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AH ? 2R ?

2 2

R

(3)

AC ?
AD ? 1 2

AH ? HC
2

2

(4) (5) (6)

AC

由以上各式得 r=3R 由洛仑兹力和牛顿定律有
q v0 B? v m0 r
2

(7)

得到

B ?

m v0 3qR

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, 、 (4)(5)式各 1 分, 、 、 (2)(3) 、 (6)(7)(8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力, 其大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力, 大小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增

加的动能,即有
WF ? WF ? W
B

F?

?

1 2

mv

2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小, F 为恒力 F 对杆做的功, F 安为安培力对杆做的 W W 功,WFμ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力 做的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4)(5)(6)三式得 、 、
W F ? ?2m0
?

x0 x t
2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流 ? I0 ? (9)
R

由(8)(9)式得 、
v ? I0R Bl

(10)

由(l)(2)(3)(7)(10)各式得 、 、 、 、
ER ? (F ? 2m0 x0 t
2

)x ?

1 2

m

I0 R B l

2

2

2 2

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中 气体处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的 温度相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态 时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3)

已知 S2=2S1 由(3)(4)式得 、 p1+p2=2p0 由(l)(2)(5)三式得 、 、
2 p1 ? n1 n2 V1 ? p 0V 2 n1 n2

(4) (5)

(6)
V2

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体 的压强.加热前 L1 中气体的压强则为
2 p1 0 ? n1 n2 V1 0 ? p 0V 2 0 n1 n2

(7)
V 20

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两 活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞 是向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学 第一定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6)(7)(9)(10)四式得 、 、 、
2 p1 ? p1 0 ? [V1 0 ? ? V ? n1 n2 n1 n2 p 0 (V1 0 ? V 2 0 ) ? V (V 2 0 ? ? V )](V1 0 ? n1 n2

(11)
V 20 )

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大; 若加热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、 V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积, 由于 M1 是导热的, 加热前 L1 和 L2 中气
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体的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、 后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l)(2)两式得 、 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
p 1V1 p 1 0V 1 0 ? T T0

(4)

对 L :中的气体有
p 2V 2 p 2 0V 2 0 ? T T0

(5)

由(4)(5)两式得 、
p 1V1 p 1 0V 1 0 ? p 2V 2 p 2 0V 2 0

(6)

(6)式可改写成
(1 ? p1 ? p1 0 p1 0 )(1 ? V1 ? V1 0 V1 0 ) ? (1 ? p 2 ? p 20 p 20 )(1 ? V 2 ? V 20 V 20 )

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3)(8)式代入(7)式得 、
(1 ? p1 ? p1 0 p1 0 )(1 ? V1 ? V1 0 V1 0 ) ? (1 ? p1 ? p1 0 p 20 )(1 ? V1 ? V1 0 V 20 )

(8)

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的 体积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的 体积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分,最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度, 以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有
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G

M m1 (R ? h)
2

? m1

v1

2

R?h

(1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得
v1 ? GM R?h ? R R?h GM R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度, 因为与卫星发生 碰撞时,碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总 能量
1 2 m 2v2 ? G
2

Mm2 R?h

? ?G

Mm2 2a

(3)

式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得
v2 ? 2G M R?h ? GM a ? 2R R?h ? R a GM R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得
v ? m1v 1 ? m v 2 m1 ? m 2
2

(6)

由(2)(4)(6)三式并代人有关数据得 、 、
GM v ?0.7520 R

(7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量
?G M ( m 1 ? m 2) 2a? ? 1 2 ( m1 ? m 2 ) v ? G
2

M ( m 1 m )2 ? R?h

(8) 代 人 有 关 数 据 得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '- (R+h) =3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由 北极指向南极,如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道 的远地点,结合物轨道的椭圆方程

r ?

p 1 ? e co s ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有
e? rm
a x

?r

m i n

2a?

(? 0 . 3 6 3 5 )

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有
R ? p 1 ? e c o? s p?R eR

(14) (15)

(16) (17)



cos ? ?

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2)(3)或(4)(5)或(6)式各 2 分, 、 、 (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11)(12)(13)(14)或(15)(16)或(17)式各 l 分, 、 、 、 、 (19) 0 0 式 2 分(答案在 141 到 142 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点 和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是
x
2 2

a?

?

y

2 2

b?

?1

(20) 式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短 轴.远地点到地心的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax - a ' (=1912km) (22)



b? ?

a? ? c
2

2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将 (24)(25)式代入轨道方程(20)式,经整理得 、
2 2 2 ? 2 R ( b? ? a ) c o ? ? s

?2 b

2

2 2 c R c o s ? a? ? ? ? ? b

a?R
2

2

0

(27)

引人以下符号并代人有关数据得
? ? ? R ( b? ? a ) ? ? 1 4 8 4 ( ?
2 2 2

10m k )

1 1

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)

? ? 2 b ? c R( ? 5 8 4 ? 6
2 2 2 2 2

1 1

10 m k
2

ht

? ? b ? c ? a? b? ? a? ( ?5 4 6 5 ? 1 0 k m ) R
2 1 1
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代入(27)式得
? c o s ? ? ? c o s? ?
2

??

0

(28)

解得

cos ? ?

?? ?

?

2

?4 ? ?

2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) 0 θ=141.32 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20)(21)(22)(23)或(24)(27)式各 l 分, 、 、 、 、 (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.
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