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数学解题之一题多解与多题一解[1]






本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系, 从而使教师在数学解题 教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。 本文通过两种典型例题即一题多解型和多 题一解型的讲解, 阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。 通过一题 多解,可以开阔学生思路、发散学生思维,让学生学会多角度分析和解决问题;通过多题一解, 能够加深学生的思维深度, 分析事物时学会由表及里, 抓住事物的本质, 找出事物间内在的联系。 与此同时,对一题多解和多题一解的运用,要注意相互结合,灵活运用,不可只求一技,失之偏 颇。

关键词:一题多解 多题一解

思维能力

数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养 引言 现代心理学认为, 数学是人类思维的体操, 在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。 所以, 数学教学实质上是数学思维活动的教学。 也就是说, 在数学教学中, 除了要使学生掌握基础知识、 基本技能外,还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念,也 是数学教育的基本目标之一。 “学生在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、 观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解 、数据处理、演绎证明、反 思与建构等思维过程。 这些过程是数学思维能力的具体体现, 有助于学生对客观事物中蕴含的数 学模式进行思考和做出判断。 ”?数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此,作为一名 数学教师,应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。 惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为, 不同的解题方法,可以培养学生不同的思维方式。如,一题多解可以培养思维的广阔性;数形结 合,可以培养思维的灵活性;巧妙构造,可以培养思维的独创性;逆向探求,可以培养思维的敏 捷性;动静变换,可以培养思维的变通性等。 从心理学角度讲,发散性思维和集中性思维的有机结合,正是培养创造性思维的有效途径。 本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。

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一、一题多解对学生思维能力的培养 同一数学问题用不同的数学方法来解答,我们称之为“一题多解” 。其特点就是对同一个问 题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。一题多 解能快速整合所学知识, 重要的是能培养学生细致的观察力、 丰富的联想力和创造性的思维能力。 苏东坡的《题西林壁》 “横看成岭侧成峰,远近高低各不同”其中强调“横看” 、 “侧看” 、 “远看” 、 “近看” 、 “高看” 、 “低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。 (一)提高分析、解决问题的能力 一题多解,能够使学生开阔思路,把学过的知识和方法融会贯通,使用自如,大大提升分析 问题和解决问题的能力。 通过对这种一题两解的培养,可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通, 灵活运用,增强求简意识、优化思维品质,提升学生分析问题和解决问题的能力。 (二)提高多角度分析能力 一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力,让学生学会对问题进行多角度、多层次的分 析,达到对问题的全面理解,进而迅速准确的解决问题。 例 2. 6 人站成一排,若甲不能站排头,乙不能站排尾,则不同的站法有多少种? 解法一:假设左边第一个位置为排头,那么甲的站法有如下五种可能: □□□ ②□□甲□□□ ③□□□甲□□ ④□□□□甲□ ⑤□□□□□甲。 又因为乙不能站排尾,故①-④中乙的站法各有 C1 4 种,在⑤中乙的站法有 C1 5 种,各图中其他人的站法均为 A4 4 种。根据乘法和加法原理,不同的站法种数共有 4C1 4A4 4+C1 5A4 4=504 种。 解法二:有了上述分析为基础,我们可更抽象地分析如下:若甲站在中间 4 个位置之一,则 乙可站在除排尾及甲的位置之外的 4 个位置之一, 其余 4 人站在空下的 4 个位置之上, 有 C1 4C1 4A4 4 种;若甲站排尾,则其余 5 人可站在空下的位置上,有 A 5 5 种站法。据加法原理共有 C1 4C1 4A4 4+A5 5=504 种不同的站法。 解法三:排头、排尾的站法可分三类,其一是由甲、乙之外的四人站,然后其他人再站,有 A2 4A4 4 种;其二是甲站排尾,其余五人再站,有 A5 5 种站法;其三是乙站排头,甲不站排尾, 有 C1 4A4 4 种站法。根据加法原理共有 A2 4A4 4+A5 5+C1 4A4 4=504 种不同的站法。 解法四:不考虑甲乙的要求共有 A6 6 种站法,其中甲站排头的有 A5 5 种站法,乙站排尾的 也有 A5 5 种站法,但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形,即 A4 4 种站法,因此 符合要求的站法种数有 A6 6-(2A5 5-A4 4)=504 种。 四种解法中,第一种解法最为直接,即通过题干的条件一一进行确定,先确定甲不站排头, ①□甲□

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再确定乙不站排尾,最后再确定其他人位置,进而得出结果,调理清楚,顺理成章;第二种解法 是对第一种解法的抽象; 第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同, 该解法从位置角度入 手,分别确定排头、排尾的三类站法,进而相加求出结果;第四种解法采取逆向思维,先不考虑 题干具体要求,求出站法总数,然后再依据要求一一进行排除,从而得出结论。 四种解法入手点各有不同,前两者从人员入手,第三种从位置入手,最后一种从反面入手, 逆向思维。通过这种多角度解题方法的训练,可以培养学生思维的立体性,多面性,灵活性,避 免思维的单一和固化。在遇到实际问题时,若一种角度无法解决,可另辟蹊径多角度分析,也许 会收到更好的结果,正所谓“山重水复疑无路,柳暗花明又一村。 ” (三)培养发散思维及联想能力 通过一题多解的训练, 可以培养学生的发散性思维及联想能力, 学会用不同的知识解决同一 个问题,达到对多种知识的融会贯通。 例 3. 1 2 已知:a>0,b>0, + =1,求 ab 的最小值。 a b 解法一:利用不等关系

2 1 2 ∵a>0,b>0,1= + ≥2 , a b ab
1 2 1 ∴ab≥8(当且仅当 = = ,即 a=2,b=4 时取“=”号) , a b 2 ∴ab 的最小值是 8。 解法二:平方法 1 2 ∵a>0,b>0, + =1, a b ∴1=( 时取“=”号) 。 ∴ab 的最小值是 8。 解法三:利用三角恒等关系换元 1 2 1 4 4 + )?= 2 + 2 + ≥2 a b a b ab

4 1 2 1 4 8 + = (当且仅当 = = ,即 a=2,b=4 a b 2 a b ab ab
2 2

1 2 1 2 2 2 ∵a>0,b>0, + =1,可令 ? cos ? , ? sin ? 。 a b a b
∴a ?

1 2 ,b ? , 2 cos ? sin 2 ?

∴ ab ?

2 8 1 2 1 ? ? 8 (当且仅当 = = ,即 a=2,b=4 时取“=”号) 。 2 2 a b 2 cos ? ? sin ? sin 2?
2

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∴ab 的最小值是 8。 解法四:均值换元 1 2 ∵a>0,b>0, + =1, a b 1 1 2 1 1 1 可令 = +t, = -t,其中- <t< , a 2 b 2 2 2 ∴ab= 号) 解法五:导数求最值 1 2 ∵a>0,b>0, + =1, a b ∴b=

8 ? 8 ,﹙∵1-4t? ? (0,1],当 1-4t?=1,即 t=0,a=2,b=4 时,取“=” 1 - 4t2

2a >0,a>1, a -1

∴ab=

2a 2 。 a -1 2a 2 2a(a - 2) (a>1), ∴?ˊ(a)= 。令?ˊ(a)=0,解得 a=2>1 2 a -1 (a -1 )

令?(a)= 。

当 a ? (1,2)时,?ˊ(a)<0,此时?(a)是减函数, 当 a ? (2,+∞)时,?ˊ(a)>0,此时?(a)是增函数。 ∴当 a>1 时,? ?a ?最小值 =? ?a ?极小值 =?(2)=

2 ? 22 =8。 (此时 a=2,b=4)。 2 -1

五种解法, 第一种利用不等关系求解, 是解决类似问题最先想到的方法, 也是最直接的解法; 第二种的平方法,目的是通过对已知条件进行操作使之出现所求的量,进而求解;第三、第四种 都属于换元法,通过三角换元和均值换元,将所求的量变形为一元关系,即 2? 或 t 的关系,进 而求解;最后一种解法是通过导数求出函数单调性,进而求出最值,得出结果。从知识面的角度 来讲,这一道题目的五种解法,至少包含了五方面的知识,这不仅丰富了解法,同时也使一些知 识点得到了充分的展示,更体现了数学知识的前后连贯性。这种多知识点的解法,让学生真正体 会到了数学的魅力,更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意,对培养学生的发散思维能力起 到了积极的影响作用。 二、多题一解对学生思维能力的培养 用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解” 。在解题过程中,为强 化某一解题方法,我们可将一些不同内容的练习题批编在一起,让学生用同一种方法去解,达到

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强化训练的目的,提高学生解题技巧技能,收到举一反三、触类旁通的效果。 例 4. 根据题意,完成下列填空:如图 1,l 1 和 l 2 是同一平面内的两条相交直线,它们有 1 个 交点。如果在这个平面内再画第三条直线 l 3,那么这三条直线最多有_个交点;如果在这个平 面内再画第四条直线 l 4,那么这四条直线最多可有_个交点。由此,我们可以猜想:在同一平 面内的 6 条直线最多可有_个交点,n(n 为大于 1 的整数)条直线最多可有_个交点(用含 n 的代数式表示) 。

分析: “两条直线相交,有且只有一个交点。 ”平面内有 n 条直线,若全过同一点,则它们 只有一个交点;若 n 条直线两两相交,且交点各不相同,则其中一条与其他直线的交点有(n-1) 个,故共有 n(n-1)个交点。但 l i 与 l j 的交点即为 l j 与 l i 的交点(其中 i、j 均为不大 于 n 的正整数) ,故最多共有

n?n - 1? 个交点。 2

解:若同一平面有 3 条直线,都两两相交,且交点各不相同,则最多有 3 个交点(如图 2)

若同一平面有 4 条直线,都两两相交,且交点各不相同,则最多有 6 个交点(如图 3)

我们可以猜想:在同一平面内的 6 条直线最多可有 15 个交点,n(n 为大于 1 的整数)条直

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线最多可有

n?n - 1? 个交点。 2 n?n - 1? ,这个式子有着广泛的应用。 2

在解这道题的过程中,我们得到了一个很有用的式子

我们只要掌握它的实际含义, 在很多相似问题的解法中, 注意对比联想, 会收到意想不到的效果。 相似 :在抗击“非典”的斗争中,某市根据疫情的发展状况,决定让全市中小学放假两周, 以切实保障广大中小学生的安全。育英中学初二(1)班的全体同学在自主完成学习任务的同时, 互相关心,两周内全班每个同学都通过一次电话,彼此问候。如果该班有 45 名同学,那么同学 们之间共通了多少次电话?如果该班有 n 名同学,那么共通了多少次电话? 分析:由例 4 可知,选择其中任一个人,如甲,他与其他人共通了(n-1)次电话,因而如 果该班有 n 名同学,那么共通了

n?n - 1? 45? ?45 -1? 次电话。45 人共通了 =990(次)电话。 2 2

这两道题目,一道是几何题,一道是代数题,看似毫不相关,但通过上述的分析以后都可以 用同一个公式

n?n - 1? 进行解答。经过这种多题一解的训练,可以达到强化训练的目的,收到举 2

一反三、 触类旁通的效果。 同时, 这种训练也可加深学生的思维深度, 分析事物时学会由表及里, 抓住事物的本质,找出事物间内在的联系。 例 5.1 如果 7 个人中有 4 男 3 女,要求站成一排是男女相间,共有多少种不同的站法。 分析:在这个问题中要求男女相间地站成一排,包含两层意思,即 4 名男的不能相邻,3 名 女的也不能相邻。因此,我们可以设想 3 名女的已经站好如图, ▁○▁○▁○▁,这样恰好形成 4 个空位,我们再将 4 个男的逐一插在这 4 个空位上,就得 到了如图所示的队形△○△○△○△。这样我们不难得到这个题目的答案,为 A3 3A4 4=144 种 不同的站法。 例 5.2 4 男 3 女站成一排,女的不站排头,也不相邻有多少种站法? 分析: 这个题目与上个题目类似, 所不同的是这个题目只要求女的不能相邻而男的可以相邻, 也就是说每一名女的左、右两边只能站男的,不能站女的,而男的两边既可以站男的有可以站女 的。这样,我们可以设想 4 名男的已经站好如图, ▁△▁△▁△▁△▁ 这样就形成了 5 个空位(包括排头) ,但女的不能站排头,因此可将 3 名女 的插在除排头以外的 4 个位置上,如图: △○△○△○△或△○△△○△○或△△○△○△○或△○△○△△○ 显然,这个题目的答案 为 A4 4A3 4=576 种。 上述两道题目其实都用了同一种方法——插空法,这是解决排列组合问题最经典的一种方

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法,也是适用面最广的一种方法。运用插空法,要求学生对题目中各个量,谁先放置,谁后插空 有正确的分析,之后问题就会迎刃而解。 三、一题多解与多题一解实施的步骤及注意事项 (一)一题多解实施的步骤与注意事项 1、笔者在结合做家教经验和文献资料的基础上,总结了在一题多解的过程中培养学生的思 维能力分以下几个步骤进行。 (1)选题。针对所学知识,选择具有代表性的题目,能包容大部分所学知识点,不能过于 复杂,但也不能过于简单。过于复杂会挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣。这 一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。 (2)审题。引导学生研究题目,在认识题设条件和结论之间的客观规律的同时,复习总结 整合所学知识。 (3)一般解题。充分运用所学知识,和学生共同完成题目的一般解法,夯实数学基础知识。 (4)重读题目。创造愉悦的课堂气氛,重新读题,发现题目隐含的特征,从不同的角度去 探究可能隐含的规律, 鼓励学生合作, 由被动变主动, 教师在这个时候的作用仅仅是启发、 引导, 甚至是旁观者的角色。 (5)创新思维形成。挖掘学生潜在的思维能力,引发最大的创新积极性和研究兴趣,形成 “赏心悦目”的“另类”解法。 (6)教师总结。发挥指挥官的作用,总结学生的解题思路和思维方法,解答处理学生思维 上的障碍,整合数学知识。 (7)质疑问难,留给学生思考总结的空间。 2、在一题多解的教学实际中,教师一味地追求多解法的新、奇、巧和深、广、透,造成学 生数学问题解决活动的失度和失控, 会损失一题多解的解题过程对培养学生优秀思维品质的应有 效能。因此,笔者认为,在一题多解的训练过程中,有以下几点值得教师注意。 (1)在学生的接受程度之内控制多样性。 在一题多解的教学活动中, 学生是以认知活动的主体角色参与其中的。 学生对多样性解法的 主动接受程度是影响学生参与程度的重要因素。 脱离学生接受的一题多解, 既不可能培养学生的 思维能力,也是缺乏实效的失控之举。学生已有的认知能力、认知水平和认知结构决定着学生对 一题多解的主动接受程度。 在学生主动接受程度之内自觉控制一题多解中解法的多样性, 应是一 题多解训练中的合理选择。 (2)在学生的可操作中控制深难度。 一味追求问题和问题解法的深度和难度, 并不有利于发挥范例教学对学生数学问题解决的引 导、导向功能。在一题多解的教学活动中,引发学生积极思维,应是在学生思维发展和知识发展 的最近区当中启动的。一旦其深难度失控,超越了学生的最近发展区,学生难免陷入思维被动的

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境地。因此,一题多解的设计和实施都应以合理的思维价值引导为标准,选择学生较易发现而又 难于全部完成的范例,通过学生充分思维和独立思维,在教师引导之中完成其思维的突破,达到 优化思维品质的目的。 (3)在学生的自我认知中控制关节点。 在一题多解的教学活动中, 教师流于列举解法, 对学生在一题多解中思维受阻的关键性因素 视而不见的做法,削弱了学生思维变通目的的实现。在教学活动中,应重视学生思维受阻的知识 性因素和策略性因素。学生面对数学问题的解决,其思维的具体过程是:将问题有效纳入已有解 题模式中,实现解题模式与现实问题的灵活结合,顺利设立子目标、分解子模式,实现解题过程 自动化。这说明学生思维过程的实质是若干思维关节点的连续突破。但是这些关节点的突破,仅 有教师的有效控制是不够的,还应有学生的自我认知参与其中,才能获得实质性的效果。教师在 控制一题多解中思维关节点的同时,调动学生自我认知对思维过程受阻关节点的分析、评价,把 学生引向知识性策略和思维策略的形成、提高上来,对学生思维能力的培养和优化有重要价值。 (二)多题一解的实施步骤和注意事项 1、多题一解在训练思维能力的过程中,可分为以下几个步骤实施。 (1)选题。选题时要注意题目与题目之间的关联性,要做到在形式上不同,在实质上相同。 (2)解决一般题目。先要引导学生解决多道题目中最为一般、最为基础的题目。 (3)分析总结。通过对一般题目的解决,让学生总结出最基础的解决方法,并上升为一种 通式。 (4)审题并解决。和学生阅读其他题目,由表及里,分析与已解决题目之间内在的、实质 上的联系,并应用已有通式解决之。 (5)反思。总结学生的解题思路和思维方法,反思学生的思维节点,并予以点拨。 2、在多题一解的训练过程中,有几点值得教师注意。 (1)各个题目之间的关联性。多题一解是建立在“相同要素说”基础上的,这就要求各个 题目之间要有相同的要素,而且是在实质上的相同。若是在形式上也相同,那各个题目间就缺少 区分度,不能达到由此及彼的效果;若是在实质上相去甚远,则训练也就毫无意义。 (2)对实质的描述上要做到简洁一般。多题一解中的一般解法是作为一个通式,甚至一个 规律出现的,对它的描述必然是简约的、抽象的,这样才能抓住各个题目之间解法的普遍性。 四、一题多解与多题一解的联系 在数学解题教学中不能只顾其一,要两者兼顾,使学生的思维既可发散,又可回归,做到收 放自如,这不仅对学生学习数学有重要作用,对完善学生的人格也大有裨益。 一题多解注重学生思维能力的广度, 而多题一解更善于挖掘学生思维能力的深度, 两者并不 矛盾,甚至还相互依托,但训练时若只注重一方面,就有失偏颇了。如在训练“一题多解”时让 学生的思维无限发散,而不注意及时归纳总结,那将不利于学生对数学思想方法的掌握和运用。

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笔者认为在一题多解的基础上通过变式训练, 将其解题的思想方法进行整理提炼, 升华为多题一 解,是最好的策略。

例 6. 已知数列{a n}和{b n}都是等差数列, S n 和 T n 分别是它们的前 n 项和, 的值。

Sn 4n ? 3 a = , 求 8 Tn 2n ? 5 b8

15 ?a1 ? a15 ? S a a 9 解法一:因为 8 = 2 = 15 ,所以 8 = 。 15 b8 T15 b8 5 ?b1 ? b15 ? 2
解法二: 因为

Sn 4n ? 3 = ,所以设 S n=kn(4n+3) ,T n=kn(2n+5) ,则由 Tn 2n ? 5 a 8 8 ? 8 -1 9 = = 。 b8 4 ? 8 ? 3 5 a8 b7

a n=S n-S n-1,得 a n=k(8n-1) ,b n=k(4n+3) ,故

解法一运用等差中项的性质, 解题巧妙, 但这不是一般方法, 只能作为一种技巧。 如要求

的值,此法就不灵了。解法二从函数的角度研究等差数列的前 n 项的和 S n 的特征,表面上看比 解法一稍繁,但此法可以解决一类问题,如下变式。 变式题:设等差数列{a n}的前 n 项和为 S n,若 m≠n, Sm ? n , Sn ? m ,则 S m ? n =___.
2 2

解:设 S n= ? n?+ ? n,则由 Sm ? n , Sn ? m 得
2 2

n?= ? m?+ ? m ① m?= ? n?+ ? n ②

将①﹣② ,得 ? =﹣ ? (m+n)﹣(m+n) (*) 因为 S m ? n = ? (m+n)?+ ? (m+n),将(*)代入,得

S m ? n = ? (m+n)?﹣ ? (m+n)?﹣(m+n)?=﹣(m+n)?。
可以看出, 解法一和解法二为一题多解, 解法二与变式题又是多题一解, 通过这种变形结合, 既培养了学生思维的广度,又训练了思维的深度,这才是数学解题过程真正的意义所在。

结束语 一题多解,可以开阔学生思路、发散学生思维,让学生学会多角度分析和解决问题;多题一

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解,能过加深学生的思维深度, 。 本文只是从一题多解和多题一解两个角度进行了简单的阐述, 还有很多解题过程可促进学 生的思维能力的发展,这就需要广大一线教师和科研工作者进行更为深入的研究和探讨。

引注 ?贾凤梅,中学数学教学要注重培养学生的数学思维能力,教育理论与实践,2009 年第 29 卷.

参考文献 1、王平,组织一题多解,培养学生发散思维,雁北十分学院学报,2001 年第 17 卷第 6 期. 2、贾凤梅,中学数学教学要注重培养学生的数学思维能力,教育理论与实践,2009 年第 29 卷. 3、杨玉东,徐文彬,数学解题中划归过程的心理学分析,浙江师范大学学报,2003 年第 26 卷 第 3 期. 4、张宏,从一道试题的多解性看思维的探究策略,中学数学研究,2004 年第 2 期. 5、董雪君,一题多解与发散性思维,滨州师专学报,1993 年第 9 卷第 2,4 期. 6、 张水芳,运用一题多解教学法 发展学生创造性思维能力,宜春学院学报, 2008 年第 30 卷.

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7、彭家寅,卿利,深入数学本质 培养发散思维,内江师范学院学报,2002 年第 17 卷第 2 期. 8、孙晓毅,例谈学生发散思维能力的培养,唐山师范学院学报,2003 年第 25 卷第 5 期. 9、龙新科,论数学课堂教学中发散思维能力的培养,岳阳职工高等专科学校学报,2003 年 06 月. 10、王岳庭,浅论数学思维的智力品质,杭州教育学院学报,1990 年第 4 期.

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