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2015年高中数学人教a版选修2-3教学课件 (39)


第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1.4

生活中的优化问题举例

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第一章 导数及其应用

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第一章 导数及其应用

(选

修2-2)

能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

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第一章 导数及其应用

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本节重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题. 本节难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模

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型.

第一章 导数及其应用

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变
量转化成函数关系式,这需要通过分析、联想、抽象和转 化完成,函数的最值要由 极值 和 端点的函数值 确 定 , 当定义域是 开区间 且函数只有一个极值 时,这个 极值 也 就是它的 最值 .
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2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高
等问题,这些问题通常称为 优化问题 .通过 前 面的学 习,我们知道 导数 是求函数最大 ( 小 ) 值的有力工具,运 用 导数 可以解决一些生活中的 优化问题 .

第一章 导数及其应用

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第一章 导数及其应用

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[例1]

在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等
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的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底 箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积

是多少?

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[分析] 根据所给几何体的体积公式建模.
[解析] 设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则
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得箱子容积V是x的函数, V(x)=(60-2x)2·x(0<x<30) =4x3-240x2+3600x.

∴V′(x)=12x2-480x+3600,
令V′(x)=0,得x=10,或x=30(舍去) 当0<x<10时,V′(x)>0, 当10<x<30时,V′(x)<0.

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∴当x =10 时, V(x) 取极大值,这个极大值就是 V(x) 的
最大值. 答:当箱子的高为10cm,底面边长为40cm时,箱子的 体积最大. [点评] 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内
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只有一个极值点,那么只需根据实际意义判定是最大值还
是最小值.不必再与端点的函数值进行比较.

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[例2] 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸 边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B 处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂在此岸边合建
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一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为
每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管 费用最省?

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[分析] 根据题设条件作出图形,分析各已知条件之
间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系 方式,适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的 方法或其他方法求出函数的最小值,可确定点C的位置.
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[解析]

解法1:根据题意知,只有点C在线段AD上某

一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点xkm,则 ∵BD=40,AC=50-x,
∴BC= BD +CD = x +40 , 又设总的水管费用为 y 元,依题意有 y=3a(50-x)+5a x2+402 (0<x<50). 5ax y′=-3a+ 2 2, x +40 令y′=0,解得x=30.
2 2 2 2
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当0<x<30时,y′<0;当30<x<50时,y′>0.

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因此函数在x=30(km)处取得最小值,此时AC=50-x
=20(km). ∴ 供水站建在 A , D 之间距甲厂 20km 处,可使水管费 用最省.
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40 解法 2:设∠BCD=θ,则 BC=sinθ,
? π? CD=40· cotθ?0<θ<2?. ? ?

∴AC=50-40· cotθ.

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设总的水管费用为 f(θ) ,依题意,有 f(θ)=3a(50- 5-3cosθ 40 40· cotθ)+5a· sinθ=150a+40a· sinθ ∴f′(θ) (5-3cosθ)′· sinθ-(5-3cosθ)· (sinθ)′ =40a· sin2θ 3-5cosθ =40a· sin2θ . 3 令 f′(θ)=0,得 cosθ=5.

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3 根据问题的实际意义,当 cosθ=5时,函数取得最小 4 3 值, 此时 sinθ=5, ∴cotθ=4, ∴AC=50-40cotθ=20(km), 即供水站建在 A,D 之间距甲厂 20km 处,可使水管费用 最省.
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(选修2-2)

[点评] 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和 目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主 要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数

学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求
解.对于这类问题,学生往往忽视了数学语言和普通语言 的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障 碍.运算不过关,得不到正确的答案,对数学思想方法不 理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路,在此需要

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我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去
寻求有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行一番 选择.

第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[例 3]

某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量
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x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P=24200 1 2 -5x ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元.问该产 品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润 是多少?(利润=收入-成本).
[分析] 根据题意,月收入=月产量×单价=px,月 利润=月收入-成本=px-(50000+200x)(x≥0),列出函数 关系式建立数学模型后再利用导数求最大值.

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[解析]

每月生产 x 吨时的利润为

1 2 f(x)=(24200-5x )x-(50000+200x) 1 3 =-5x +24000x-50000 (x≥0). 3 2 由 f ′(x)=-5x +24000=0 解得 x1=200,x2=-200(舍去). 因 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f ′(x)=0, 1 故它就是最大值点,且最大值为: f(200) = - 5 ×2003 + 24000×200-50000=3150000(元)
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第一章 导数及其应用

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答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为
315万元. [ 点评 ] 建立数学模型后,注意找准函数的定义域,
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这是此类题解答过程中极易出错的地方.

第一章 导数及其应用

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一、选择题
1.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短 距离为 ( )
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A. 5 C.3 5
[答案] A

B.2 5 D.0

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[解析]

设曲线在点 P(x0, y0)处的切线与 2x-y+3=0

平行,则切线与 2x-y+3=0 间的距离即为所求.由 y′ 2 2 =[ln(2x-1)]′= ,则 =2,x0=1,所以 P(1, 2x-1 2x0-1 5 0), 切线方程为 y=2(x-1), 即 2x-y-2=0, d= 2 = 2 +1 5,故选 A.
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2 .以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩
形面积的最大值为 A.10 C.25 [答案] C B.15 D.50
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(

)

[解析]

设矩形长为 2a,宽为 b,则 S=2ab,且 a2

+b2=25,∴S=2a 25-a2(0<a<5),
2 2 a ∴S′=2 25-a2- 25-a2

25 令 S′=0,得 a =b = 2
2 2

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5 2 当 0<a< 2 时,S′>0; 5 2 当 2 <a<5 时,S′<0, 25 因此当 a =b = 2 时,S 取得最大值,最大值为 2ab
2 2
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=25,故应选 C.

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3 .用总长为 6m的钢条制作一个长方体容器的框架,
如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为 3?4 ,那么容 器容积最大时,高为 A.0.5m C.0.8m B.1m D.1.5m ( )
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[答案] A

第一章 导数及其应用

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[解析]

设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm,则

? ?3 ? 6-12x-16x ?3 ? -7x?(m) ,容积 V = 3x· ? -7x? = 高为 = 4 x · 4 ?2 ? ?2 ? ? 3? 2 3 18x -84x ?0<x<14?,V′=36x-252x2, ? ? ? 1? 1 由 V′=0 得 x=7或 x=0(舍去). x∈?0,7?时, V′>0, ? ? ?1 3? x∈?7,14?时,V′<0,所以在 ? ?
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1 x=7处,V 有最大值,此

时高为 0.5m.

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二、填空题
4.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如 果窗户面积一定,窗户周长最小时,x与h的比为 ________.
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[答案] 1∶1

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[解析]

π 2 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S=2x +2hx,

S π π S h= - x, 所以窗户周长 L=πx+2x+2h= x+2x+ , L′ 2x 4 2 x π S =2+2-x2. 由 L′=0, 得 x=
? x∈ ? ? ? ? 2S 0, , x∈? ? π+4 ?
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2S ? ? 时, L′<0, ? π+4? 2S 时,L π+4

? 2S ,+∞? 时,L′>0,所以当 x= ? π+4 ?
2

h 2S-πx 2S π π+4 π 取最小值,此时 = = 2- = - =1. x 4x2 4x 4 4 4

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5.设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方 成正比,若银行以 10% 的年利率把总存款的 90% 贷出,同

时能获得最大利润,需要支付给存户的年利率定为
________. [答案] 6% [解析] 设支付给存户的年利率为x,银行获得的利润 y是贷出后的收入与支付给存户利息的差,即y=
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kx2×0.9×0.1-kx2·x=0.09kx2-kx3(x>0),y′=0.18kx-3kx2,
由y′=0,得x=0.06或x=0(舍去). 当 x∈(0,0.06) 时, y′>0 ,当 x∈(0.06 ,+ ∞ ) 时, y′<0 , 故当x=0.06时,y取最大值.

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三、解答题

6.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等
的左右两个矩形栏目 ( 即图中阴影部分 ) ,这两栏的面积之 和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝

空白的宽度为 5cm. 怎样确定广告的高与宽的尺寸 ( 单位:
cm),能使矩形广告面积最小?

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[解析] 设广告的高和宽分别为xcm,ycm,

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y-25 则每栏的高和宽分别为 x-20, 2 ,其中 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18000,
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18000 由此得 y= +25. x-20 广告的面积
?18000 ? 18000x ? S=xy=x?x-20+25? ?= x-20 +25x, ? ?

18000[(x-20)-x] -360000 ∴S′= +25= 2 2 +25. (x-20) (x-20)

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(选修2-2)

令S′>0得x>140,令S′<0得20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增,

在(20,140)上单调递减,
∴S(x)的最小值为S(140). 当x=140时,y=175.即当x=140,y=175时,S取得最 小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使 广告的面积最小.

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