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海淀区高二年级第一学期期末练习试卷答案2014.1数学(理)


海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) D (6) B (7) C ( 8) B

2014.01

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

10 3

(10) y ? 1 ? 0

(11)

3 或1 2

(12) 3

(13)

3 3

(14)①②④

注: (11)题少一个答案扣2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 N (0, y ) , OM ? ( x, y ) , NA ? (4, ? y ) .……………………2 分 因为 直线 MO ? NA , 所以 OM ? NA ? 4 x ? y 2 ? 0 ,即 y ? 4 x .
2

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

………………………4 分 ………………………5 分

所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x( x ? 0 ).
2

(Ⅱ)当 ?MOA ?

π π 时,因为 MO ? NA ,所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 所以 直线 AN 的倾斜角为 或 . 3 3 π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ; ……………8 分 3 2π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . …………10 分 3

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)原方程等价于

x2 y2 ? ? 1. 4 12

由方程可知: a 2 ? 12 , b2 ? 4 , c2 ? a 2 ? b2 ? 8 , c ? 2 2 . ……………………3 分

数学参考答案第 1 页,共 5 页

所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 2a 为 4 3 .……………5 分 (Ⅱ)由 ?

?3 x 2 ? y 2 ? 12, ? x ? y ? 2 ? 0,

可得: x ? x ? 2 ? 0 .
2

解得: x ? 2 或 x ? ?1 . 所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) , (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) , | AB |? ………………………7 分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 . ……………9 分

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ,半径为 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

3 2

3 2 . 2

1 2

3 2

9 . …………………11 分 2

(17) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 因为 CD ? PD , AD ? PD ? D , 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA . 同理, BC ? PA . 因为 ………………………2 分 ………………………1 分

BC ? CD ? C ,
………………………3 分

所以 PA ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD . 因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AC . 因为 PC ?

………………………4 分

3 , AC ? 2 ,

所以 PA ? 1 . 分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z
z

轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由 题 意 可 得 : B( 0, 1, 0), D(1,0,0) , C (1,1, 0) ,

P y B

P(0, 0,1) .
所 以

???? DC ? (0,1, 0)



??? ? DP ? (?1, 0,1)

C D x



A

数学参考答案第 2 页,共 5 页

??? ? ??? ? BD ? (1, ?1, 0) , BP ? (0, ?1,1) .
设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 则 ? ??? 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1. ? ? ? n ? DP ? 0, ?? x ? z ? 0.
所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . 所以 cos ? n, m ?? ………………………6 分

n?m 1? 0 ?1 6 ? ? . | n || m | 3 2? 3
6 . 3
??? ?
………………………8 分

所以 二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)存在.理由如下:

若棱 PD 上存在点 E 满足条件,设 PE ? ? PD ? (? , 0, ?? ) , ? ? [0,1] . 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (? , 0, ?? ) ? (1 ? ? ,1, ? ? 1) .…………………9 分 因为 平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EC ? AP 所以 | cos ? EC , AP ?|? ??? ? ??? ? ? EC AP

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1





1 2 . ? sin 30? ? , 解得: ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? )2 ? 1
2 ? [0,1] . 2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

所以 棱 PD 上存在点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30? ,此时 PE 的长为

2 ?1 .

………………………11 分

(18) (本小题满分 12 分)
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 12 1 2 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 知,P3 ( , ) 解: (Ⅰ) 由 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b 2 2 2 2 2

和P 5 (1,1) 不在椭圆 M 上,即椭圆 M 经过 P 1 ( ?1, ? 于是 a ? 2, b ? 1 .
2 2

2 2 ) , P2 (0,1) , P4 (1, ). 2 2

数学参考答案第 3 页,共 5 页

所以 椭圆 M 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………2 分

(Ⅱ)①当 ?A ? 90? 时,设直线 BC : x ? ty ? m ,由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? x ? ty ? m,



(t 2 ? 2) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 2) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 则 ? ? 16 ? 8m2 ? 8t 2 ? 0 ,

2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 ? 2 ?y y ? m ? 2. 1 2 ? t2 ? 2 ?
所以 k AB k AC ?

y1

x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2

?

y2

?

y1 y2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2( m ? 2)

于是 m ? ?

2 2 16 ,此时 ? ? 16 ? . ? 8t 2 ? 0 ,所以 直线 BC : x ? ty ? 3 3 9

16 2 , 0) ,即原点在线段 AM 的延 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ,故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? 3 t ?2 长线上,即原点在 ?ABC 的外部,符合题设. ………………………6 分
所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 3 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 2 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2
? 16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
………………………9 分

8 . 9 ②当 ?A ? 90? 时,不妨设 ?B ? 90? .
当 t ? 0 时取到最大值

2 2 ? ? x ? 2 y ? 2, 2 2 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ,由 ? 得 (t ? 2) y ? 2 2ty ? 0 . ? ? x ? ty ? 2,

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所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 , ) ,由 ,可得直线 . BC : y ? ? tx ? AB ? BC t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? 由? ? 0. 2t 2 t ? 2 y ? ? tx ? , ? t2 ? 2 ?
所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)

所以 线段 BC 与 x 轴相交于 N (

2t 2 , 0) . t2 ? 2

显然原点在线段 AN 上,即原点在 ?ABC 的内部,不符合题设. 综上所述, 所求的 ?ABC 面积的最大值为

8 . 9

……………………12 分

注:对于其它正确解法,相应给分.

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