海淀区高二年级第一学期期末练习试卷答案2014.1数学(理)

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科）
参考答案及评分标准
一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 题号 答案 （1） C （2） D （3） B （4） A （5） D （6） B （7） C （ 8） B

2014．01

二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）

10 3

（10） y ? 1 ? 0

（11）

3 或1 2

（12） 3

（13）

3 3

（14）①②④

注： （11）题少一个答案扣2分. 三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 10 分） 解： （Ⅰ）设 M ( x, y ) ，则 N (0, y ) ， OM ? ( x, y ) ， NA ? (4, ? y ) .……………………2 分 因为 直线 MO ? NA ， 所以 OM ? NA ? 4 x ? y 2 ? 0 ，即 y ? 4 x .
2

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

………………………4 分 ………………………5 分

所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x（ x ? 0 ）.
2

（Ⅱ）当 ?MOA ?

π π 时，因为 MO ? NA ，所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 所以 直线 AN 的倾斜角为 或 . 3 3 π 当直线 AN 的倾斜角为 时，直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ； ……………8 分 3 2π 当直线 AN 的倾斜角为 时，直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . …………10 分 3

（16） （本小题满分 11 分） 解： （Ⅰ）原方程等价于

x2 y2 ? ? 1. 4 12

由方程可知： a 2 ? 12 ， b2 ? 4 ， c2 ? a 2 ? b2 ? 8 ， c ? 2 2 . ……………………3 分

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所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) ， (0, ?2 2) ，长轴长 2a 为 4 3 .……………5 分 （Ⅱ）由 ?

?3 x 2 ? y 2 ? 12， ? x ? y ? 2 ? 0，

可得: x ? x ? 2 ? 0 .
2

解得： x ? 2 或 x ? ?1 . 所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) ， (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) ， | AB |? ………………………7 分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 . ……………9 分

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ，半径为 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

3 2

3 2 . 2

1 2

3 2

9 . …………………11 分 2

（17） （本小题满分 11 分） （Ⅰ）证明：在正方形 ABCD 中， CD ? AD . 因为 CD ? PD ， AD ? PD ? D ， 所以 CD ? 平面 PAD ． 因为 PA ? 平面 PAD ， 所以 CD ? PA ． 同理， BC ? PA ． 因为 ………………………2 分 ………………………1 分

BC ? CD ? C ，
………………………3 分

所以 PA ? 平面 ABCD ． （Ⅱ）解：连接 AC ，由（Ⅰ）知 PA ? 平面 ABCD ． 因为 AC ? 平面 ABCD ， 所以 PA ? AC ． 因为 PC ?

………………………4 分

3 ， AC ? 2 ，

所以 PA ? 1 ． 分别以 AD ， AB ， AP 所在的直线分别为 x ， y ， z
z

轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由 题 意 可 得 ： B( 0, 1, 0)， D(1,0,0) ， C (1,1, 0) ，

P y B

P(0, 0,1) ．
所 以

???? DC ? (0,1, 0)

，

??? ? DP ? (?1, 0,1)

C D x

，

A

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??? ? ??? ? BD ? (1, ?1, 0) ， BP ? (0, ?1,1) ．
设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ，

???? ? ?n ? DC ? 0， ? y ? 0, 则 ? ??? 即? 令 x ? 1 ，得 z ? 1. ? ? ? n ? DP ? 0， ?? x ? z ? 0.
所以 n ? (1, 0,1) ． 同理可求：平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) ． 所以 cos ? n, m ?? ………………………6 分

n?m 1? 0 ?1 6 ? ? ． | n || m | 3 2? 3
6 ． 3
??? ?
………………………8 分

所以 二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 （Ⅲ）存在．理由如下：

若棱 PD 上存在点 E 满足条件，设 PE ? ? PD ? (? , 0, ?? ) ， ? ? [0,1] ． 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (? , 0, ?? ) ? (1 ? ? ,1, ? ? 1) ．…………………9 分 因为 平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) ．

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EC ? AP 所以 | cos ? EC , AP ?|? ??? ? ??? ? ? EC AP

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1

．

令

1 2 . ? sin 30? ? , 解得： ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? )2 ? 1
2 ? [0,1] ． 2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

所以 棱 PD 上存在点 E ，使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30? ，此时 PE 的长为

2 ?1 ．

………………………11 分

（18） （本小题满分 12 分）
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 12 1 2 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 知，P3 ( , ) 解： （Ⅰ） 由 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b 2 2 2 2 2

和P 5 (1,1) 不在椭圆 M 上，即椭圆 M 经过 P 1 ( ?1, ? 于是 a ? 2, b ? 1 .
2 2

2 2 ) ， P2 (0,1) ， P4 (1, ). 2 2

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所以 椭圆 M 的方程为：

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………2 分

（Ⅱ）①当 ?A ? 90? 时，设直线 BC : x ? ty ? m ，由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? x ? ty ? m,

得

(t 2 ? 2) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 2) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ， 则 ? ? 16 ? 8m2 ? 8t 2 ? 0 ，

2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 ? 2 ?y y ? m ? 2. 1 2 ? t2 ? 2 ?
所以 k AB k AC ?

y1

x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2

?

y2

?

y1 y2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2( m ? 2)

于是 m ? ?

2 2 16 ，此时 ? ? 16 ? . ? 8t 2 ? 0 ，所以 直线 BC : x ? ty ? 3 3 9

16 2 , 0) ，即原点在线段 AM 的延 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ，故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? 3 t ?2 长线上，即原点在 ?ABC 的外部，符合题设. ………………………6 分
所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 3 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 2 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2
? 16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
………………………9 分

8 . 9 ②当 ?A ? 90? 时，不妨设 ?B ? 90? .
当 t ? 0 时取到最大值

2 2 ? ? x ? 2 y ? 2, 2 2 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ，由 ? 得 (t ? 2) y ? 2 2ty ? 0 . ? ? x ? ty ? 2,

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所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 , ) ，由 ，可得直线 . BC : y ? ? tx ? AB ? BC t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? 由? ? 0. 2t 2 t ? 2 y ? ? tx ? , ? t2 ? 2 ?
所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)

所以 线段 BC 与 x 轴相交于 N (

2t 2 , 0) . t2 ? 2

显然原点在线段 AN 上，即原点在 ?ABC 的内部，不符合题设. 综上所述， 所求的 ?ABC 面积的最大值为

8 . 9

……………………12 分

注：对于其它正确解法，相应给分.

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