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高考数学第一轮复习 2函数及其性质单元试卷


第二单元
一.选择题 (1) f ( x) ?| x ? 1 | 的图象是

函数及其性质
( )

y 1 -1 O

y 1

y 1 -1 O 1 C x

y 1 -1 O 1 D x ( ) B. y ?

-1 O 1 1 x x

A B (2) 下列四组函数中,表示同一函数的是 A. y ? x ? 1与y ? ( x ? 1) 2

x ? 1与y ?

x ?1 x ?1

C. y ? 4 lg x与y ? 2 lg x 2

D. y ? lg x ? 2与 ? lg

x 100
( )

(3) 函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为 ?0,1,2,3? ,那么其值域为 A . ?? 1,0,3? D. y 0 ? y ? 3 B . ?0,1,2,3?

C . y ?1 ? y ? 3

?

?

?

?

(4) 设 函 数 f(x) (x ∈ R) 是 以 3 为 周 期 的 奇 函 数 , 且 f(1)>1, f(2)= a, 则 ( ) A. a>2 B. a<-2 C. a>1 D. a<-1 (5) 设 f(x) 为 奇 函 数 , 且 在 (- ∞ , 0) 内 是 减 函 数 , f(-2)= 0, 则 x f(x)<0 的 解 集 为 ( ) A. (-1, 0)∪(2, +∞) B. (-∞, -2)∪(0, 2 ) C. (-∞, -2)∪(2, +∞) D. (-2, 0)∪(0, 2 ) (6) ( 设 函 数 ) [ A. 0,??)

y ? ? x( x ? 2) ( x ? 0)
B.(??,0]

















C. (0, 1)

D. (??,1] ( )

(7) 下列各图象表示的函数中,存在反函数的只能是

A.

B.
2

C.

D.

(8)设函数 f(x)= ? x ? 4 x ? a , g ( x) ? 可 ( 能 ) 取

4 x ? 1, 当 x∈[-4, 0]时, 恒有 f(x)≤g(x), 则 a 3
一 个 值 是



用心

爱心

专心

-1-

A. -5

B. 5

C. -

5 3

D.

5 3

(9) 已 知 函 数 f(x) 对 任 意 x,y ∈ R 都 有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 f(2)=4, 则 f(-1)= ( ) A. -2 B. 1 C. 0.5 D. 2 (10) 已知 c ? 0 ,则下列不等式中成立的一个是 ( ) A.c ? 2
c

B.c ? ( )

1 2

c

C.2 ? ( )
c

1 2

c

D.2 ? ( )
c

1 2

c

二.填空题 (11) 奇函数 f (x) 定义域是 (t ,2t ? 3) ,则 t ?

.

x ( x ? 0) (12) 若 f ( x ) ? ? ?
x

,则 f (3) ? ____ ?1 ? 2 x ( x ? 0) (13) 函数 y ? 2 x 在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 .
2

.

(14) y ? (log1 a) 在 R 上为减函数,则 a ? 三.解答题

(15) 记函数 f ( x) ? log2 (2 x ? 3) 的定义域为集合 M, 函数 g ( x) ? ( x ? 3)(x ? 1) 的定义域为 集合 N.求: (Ⅰ)集合 M,N; (Ⅱ) 集合 M ? N , M ? N

2 (16) 设 f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数,并且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ,求 f (x)

用心

爱心

专心

-2-

(17) 有一批材料可以建成长为 200 m 的围墙,如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图) ,则围成的矩形的最大面积是多少?

(18) 已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直 线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (Ⅰ) 求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解.

参考答案 一选择题: 1.B [解析]: f ( x) ?| x ? 1 | = ? 2.D [解析]:∵ y ? ∵y?

?x ? 1 ?

( x ? 1)

?? x ? 1 ( x ? 1) ?

( x ? 1) 2 =|x -1|∴A 错

x ? 1 的定义域是 x ? 1, y ?
用心 爱心

x ?1 x ?1
专心

的定义域是 x>1 ∴B 错

-3-

∵ y ? 4 lg x 的定义域是 x>0 , y ? 2 lg x 2 的定义域是 x ? 0 ∴C 错 3.A [解析]:只需把 x=0,1,2,3 代入计算 y 就可以了 4.D [解析]: f (2) ? f (2 ? 3) ? f (?1) ? ? f (1), 又f (1) ? 1? f (2) ? ?1 5.C [解析]: xf ( x) ? 0 ? ? 6.B [解析]:函数 y ? ? x( x ? 2) ( x ? 0) 的反函数定义域 就是原函数 y ? ? x( x ? 2) ( x ? 0) 的值域 而 y ? ? x( x ? 2) ? ? x 2 ? 2x ? ?( x ? 1) 2 ? 1 当 x ? 0 时原函数是是减函数,故 y ? 0 7. D [解析]:根据反函数的定义,存在反函数的函数 x、y 是一一对应的。 8. A [解析]:排除法, 若 a=5,则 x=0 时 f(x)=5,g(x)=1, 故 A 错

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 或? ?? 或? ? x ? 2或x ? ?2 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? x ? 2 ? x ? ?2

5 5 12 ,则 x= - 4 时 f(x)= ? ,g(x)= ? , 故C错 3 3 3 5 5 若 a= ,则 x=0 时 f(x)= ,g(x)=1, 故 D 错 3 3
若 a= ? 9.A [ 解 析 ] : 因 为 函 数 f(x) 对 任 意 x,y ∈ R 都 有 f(x+y)=f(x)+f(y), 所 以

f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0)



f (0) ? 0



f (1) ? f (1) ? f (1 ? 1) ? f (2) ? 4 ? f (1) ? 2

? f (?1) ? f (1) ? f (?1 ? 1) ? f (0) ? 0 ? f (?1) ? ?2
10.D [解析]: ( ) ? 2
c

1 2

?c

? c ? 0 ? ?c ? c ? 2 ? c ? 2 c

故2 ? ( )
c

1 2

c

二填空题:

用心

爱心

专心

-4-

11. -1 [解析]:∵ f (x) 是奇函数 ∴定义域 (t ,2t ? 3) 关于原点对称 即 ? t ? 2t ? 3 ∴ t ? ?1 12.-5 [解析]: f (3) ? 1 – 2 ? 3= - 5 13. 3 [解析]:函数 y ? 2 x 在 [0,1] 上是增函数,所以最大值为 2,最小值为 1,它们之和为 3 14. ( ,1) [解析]:∵ y ? (log1 a) x 在 R 上为减函数
2

1 2

∴ 0 ? log 1 a ? 1?
2

1 ? a ?1 2

三解答题 (15)解: (Ⅰ) M ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ? {x | x ? };

3 2

N ? {x | ( x ? 3)(x ? 1) ? 0} ? {x | x ? 3或x ? 1}
(Ⅱ) M ? N ? {x | x ? 3};

3 M ? N ? {x | x ? 1或x ? } . 2
(16) f (x) 为奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x)

g (x) 为偶函数

? g ( ? x) ? ? g ( x )

f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x
2

? f (? x) ? g (? x) ? x 2 ? x
2

从而 ? f ( x) ? g ( x) ? x ? x, f ( x) ? g ( x) ? ? x ? x

? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? f ( x) ? ? x ? f ( x) ? g ( x) ? ? x 2 ? x ? ? g ( x) ? ? x 2 ? ?
(17)设每个小矩形长为 x,宽为 y,则

4x ? 3 y ? 200, S ? 3xy ? x(200? 4x) ? ?4x 2 ? 200x ? ?4( x ? 25) 2 ? 2500

? x ? 25 , S max ? 2500 m2 ) 时 (
(18) (Ⅰ)由已知,设 f1(x)=ax ,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x .设 f2(x)= 与直线 y=x 的交点分别为 A( k , k ),B(- k ,-
2 2

k (k>0),它的图象 x k)

8 2 8 .故 f(x)=x + . x x 2 8 2 8 (Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得 x + =a + , x a 8 8 2 2 8 即 =-x +a + .在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x a x
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)=
用心 爱心 专心 -5-

f3(x)= -x +a +

2

2

8 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐 a
2

标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a +

8 )为顶点,开口向 a

下的抛物线.因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a +
2

8 2 8 ,当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a + -8>0,当 a>3 时,在第一象 a a

限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方.f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两 个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. (证法二)由 f(x)=f(a),得 x + x+a - x3=
2

8 2 8 8 =a + ,即(x-a)(x+a- )=0,得方程的一个解 x1=a.方程 x a ax

8 ? a 2 ? a 4 ? 32a 2 2 4 =0 化 为 ax +a x - 8=0, 由 a>3, △ =a +32a>0, 得 x2= , ax 2a

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a ,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且 x2≠ x3.若 x1= x3,即 a= , 2a 2a
2 4

则 3a = a 4 ? 32a , a =4a,得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾,∴x1≠ x3.故原方程 f(x)=f(a)有 三个实数解.

用心

爱心

专心

-6-


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