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2015年浙江省高中数学竞赛试卷


三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 每题 18 分,共 52 分) 16. 设 a, b ? R ,函数 f ( x) ? ax ? b(x ? 1) ? 2 .若对任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 有两个
2

相异的实根,求实数 a 的取值范围. 参考答案: 因为方程 f ( x) ? x 有两个相异的实根

,即方程 ax ? (b ?1) x ? b ? 2 ? 0 有两个相异的实数
2

根,所以

?

a?0 , ? x ? (b ? 1)2 ? 4a (b ? 2) ? 0 ………………………………4 分
对任意实数 b 恒成立,所以



a?0 ?b ? 2(1 ? 2a )b ? 8a ? 1 ? 0
2

?

a?0 ? b ? 4(1 ? 2a )2 ? 4(8a ? 1) ? 0 ,…………………………………………………12 分

解得 0 ? a ? 1 .…………………………………………………………………………16 分

17 . 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 a 2 b2

3 , 右 焦 点 为 圆 2

C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 7 的圆心.
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐 标.

?c ? 3 ? a?2 参考答案: (Ⅰ)设椭圆 C1 的半焦距长为 c ,则 ? c 3 ,解得 b ? 1 ,所以椭圆方程为 ? ? 2 ?a

?

x2 ? y 2 ? 1.………………………………………………………………………………4 分 4
(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线 l 的率存在时,可设直线 l 的 方程为 y ? kx ? m(k , m ? R) ,点 A 的坐标为 ( xA , y A ) ,其中 y A ? ?

km ? 3 . 1? k2

? x2 2 ? 联立方程 ? ? y ? 1 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 …………(1) 4 ? ? y ? kx ? m
所以 ?1 ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0, 即

4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ……………………(2)……………………………………………8 分
联立方程 ?
2 2 ? ?( x ? 3) ? y ? 7 消去 y 得 y ? kx ? m ? ?

(1 ? k 2 ) x2 ? 2(km ? 3) x ? m2 ? 4 ? 0 ………………(3)
所以 ?2 ? 16(4k 2 ? m2 ? 2 3mk ? 7) ? 0, 即

4k 2 ? m2 ? 2 3mk ? 7 ? 0 ……………………………(4)…………………………12 分
(2)-(4)得 km ?

3 ……………………………… (5)

(5)代入(3)得 x A ? ?

km ? 3 ? 0 ………………(6)…………………………16 分 1? k2

(6)代入 C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 7 得 y A ? ?2 . 经检验 A(0,2), 或 A(0, ?2) 符合题意,这样点 A 的坐标为 (0, 2), (0, ?2) .…………18 分

1 ? a ? a ? , n ? 1 n ? ? bn , n ? N * .证明: a50 ? b50 ? 20 . 18.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 0, b1 ? 0, ? 1 ?bn ?1 ? bn ? an ? ?
参考答案: 证明:因为 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ?
2 2 2 2
49

a b 1 1 ? 2 ? 2( n ? n ) , 所以 2 an bn bn an

2 2 a50 ? b50 ? a12 ? b12 ? ? ( i ?1

49 a b 1 1 ? ) ? 2 ( i ? i) ? 2 2 ai bi ai i ?1 bi

? a12 ? b12 ?

1 1 ? ? 2 ? 2 ? 49 ? 4 ? 4 ? 49 ? 200. ……………………8 分 a12 b12

又 an ?1bn ?1 ? anbn ?

1 ?2, anbn

所以 a50b50 ? a1b1 ?
2

? a b ? 2 ? 49 ? 98 ? a b ? a b
i ?1 1 1 i i

49

1

1

? 100 .……………………16 分

1 1

所以 (a50 ? b50 ) ? a50 ? b50 ? 2a50b50 ? 200 ? 200 ? 400 .因此 a50 ? b50 ? 20 ……18 分
2 2

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 附加 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 , n ? N * .
2

(I) 证明: ?an ? 是正整数数列; (II) 是否存在 m ? N * ,使得 2015 am ,并说明理由. 参考答案: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 得
2

2 2 an ?1 ? 6an an?1 ? an ? 4 ? 0 ,……………………………… (1)

同理可得

2 2 an ?2 ? 6an?2 an?1 ? an?2 ? 4 ? 0 ,………………(2)……………………5 分 2 2

由( 1 ) ( 2 )可知, an , an ? 2 为方程 x ? 6an?1x ? an?1 ? 4 ? 0 的两根,又 an ? an?2 ,即有

an ? an?2 ? 6an?1 ,即 an?2 ? 6an?1 ? an .
因为 a1 ? 1, a2 ? 5, 所以 an 为正整数.……………………………………………………10 分 (Ⅱ)不存在 m ? N ,使得 2015 am .…………………………………………………15 分
*

假设存在 m ? N ,使得 2015 am ,则 31 am .
*

一方面, amam?2 ? am?1 ? 4 ,所以 31 am ?1 ? 4 ,即
2
2

30 15 30 2 am ?1 ? ?4(mod31) ,所以 am?1 ? ?4 ? ?2 (mod31) .

由费马小定理知 230 ? 1(mod31) ,所以 am?1 ? ?1(mod31) …………………………20 分
30

另一方面, 假设 (am?1,31) ? d ? 1 , 则 d 31 , 即 d ? 31 , 所以 31 am?1 , (am?1,31) ? 1 .事实上, 而 31 am ?1 ? 4 ,这样得到 31 4 .矛盾.
2
30 所以,由费马小定理得 am ?1 ? 1(mod31) .

这样得到 1 ? ?1(mod 31) .矛盾.所以不存在 m ? N ,使得 2015 am .………………25 分
*

附加 2 设 k 为正整数,称数字 1 ~ 3k ? 1 的排列 x1 , x2 ,?, x3k ?1 为“N 型”的,如果这些数满足 (1) x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ; (2) xk ?1 ? xk ?2 ? ? ? x2k ?1 ; (3) x2k ?1 ? x2k ?2 ? ? ? x3k ?1 . 记 dk 为所有“N 型”排列的个数. (I)求 d1 , d2 的值; (II)证明:对任意正整数 k, dk 均为奇数. 参考答案: 首先注意到 xk ?1 的值只能取 3k ? 1,3k ,?, 2k ? 1 这些数字, 因为必须有 2k 个值比它小, 而 x2 k ?1 的值只能取 1, 2,?, k ? 1 这些数字,因为必须有 2k 个值比它大。
(i , j ) 记 xk ?1 ? 3k ? 2 ? j, x2k ?1 ? i ( i, j ? 1, 2,?, k ? 1 )时的 N 型排列个数为 dk ,则

k ?1?i k ?1? j (i , j ) . dk(i, j ) ? C3 k ?1?(i ? j )C3k ?1?(i ? j )?( k ?1?i ) , d k ? ? d k
i , j ?1

k ?1

化简得

d k(i , j ) ?

(3k ? 1 ? i ? j )! .………………………………………………………10 分 (k ? 1)!(k ? 1 ? i)!(k ? 1 ? j )!

(1) 计算可得

d1 ? 5, d2 ? 71 ………………………………………………………………15 分
( i ,i )

(i , j ) (2) 易知 dk ? dk( j ,i ) , d k

?

(3k ? 1 ? 2i)! ,1 )? 1 ( i ? 1, 2,?, k ) , dk( k (k ? 1)!(k ? 1 ? i)!(k ? 1 ? i)!

k?

? 1.

(i ,i ) 当 k ? 1 时,对于所有 i ? 1, 2,?, k , dk 是偶数。事实上对于 x2k ?1 ? i , xk ?1 ? 3k ? 2 ? i

( i ? 1, 2,?, k )时的任何一个 N 型排列,此时数字 1, 2,?, i ?1 只能放在 x1 , x2 ,?, xi ?1 的 位置,数字 3k ? 2 ? (i ? 1),3k ? 2 ? (i ? 2),?,3k ? 2 ? 1 只能放在 (字母 N 的两头) , xi , xi ?1 ,?, xk 和 x3k ?2?i , x3k ?2?(i ?1) ,?, x2k ?2 x3k ?2?(i ?1) , x3k ?2?(i ?2) ,?, x3k ?1 上
(i ,i ) 的数字可以互换得到一个新的 N 型排列,于是 dk 是偶数( i ? 1, 2,?, k ).……25 分

(也可以从表达式说明

(m ? 2n)! 是偶数( n ? 1 ) ,它的组合意义就是将 m 个白球,n 个红 m !n !n !

球,n 个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。 于是 dk ?

i , j ?1

?d

k ?1

(i , j ) k

? ? dk(i , j ) ? dk( k ?1,k ?1) ?
i ?1

k

i ? j ,i , j ?1

?

k ?1

dk(i , j ) 为奇数!………………………25 分)


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