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浙江省温州市2015届高三第二次适应性测试(二模)数学(理)试题


2015 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
2015.4
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在 答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱

体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ?

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( A. y ? ? ▲ ) D. y ? 2 x ▲ )

2 x

B. y ? 2 x

C. y ? log 2 x

2 2.命题“任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立”的否定是( 2 A.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立

2 B.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立

2 ? 0 成立 C.存在 x0 ? R ,使得 x0

2 ? 0 成立 D.存在 x0 ? R ,使得 x0

3.要得到函数 y ? 3sin 2 x ? cos 2 x 的图像,只需将函数 y ? 2sin 2 x 的图象(





? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移 的体积是( ▲ )

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移

4.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体
3 A. (18? ? 20) cm 3 C. (18? ? 28) cm 3 B. (24? ? 20) cm 3 D. (24? ? 28) cm

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? m ? 0 ,且 z ? y ? 2 x 的最小值等于 ?2 ,则 ? y?0 ?
实数 m 的值等于( A. ?1 6.已知 f ( x) ? ? A.3 个 ▲ ) C. ?2 D.

(第 4 题图)

B. 1

2

?2 x

( x ? 0) ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( ▲ ) ?| log 2 x | ( x ? 0)
B.4 个 C.5 个 D.6 个

7.在 VABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 VABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 VABC 的形状是(

uuu r uuu r





A.锐角三角形 C.直角三角形

B.钝角三角形 D.上述三种情况都有可能

8.如图所示, A, B, C 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的三个点, AB a 2 b2

经过原点 O , AC 经过右焦点 F ,若 BF ? AC 且 | BF |?| CF | ,则该双曲线的离心 率是( A. ▲ ) B. 10 C.

10 2

3 2

D. 3
(第 8 题图)

非选择题部分( 共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分。 9.集合 A ? ?0,| x |? , B ? ?1,0, ?1? ,若 A ? B ,则 A I B ? ▲ ; AUB ? ▲ ; CB A ? ▲ ▲ . ▲ .
[来

10.设两直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 ,若 l1 // l2 ,则 m ?

uu u r 11.已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 AB ? ( 3, ?1) ,则 DC ? DE ?
源:学*科*网 Z*X*X*K]

;若 l1 ? l 2 ,则 m ?



; EC ? FE ?

▲ (用坐标表示) .

12.设数列 {

an } 是公差为 d 的等差数列,若 a3 ? 2, a9 ? 12 ,则 d ? n



; a12

?

▲ .

13.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , P 为抛物线上一点(在第一象限内) ,若以 PF 为直径的圆的圆心在直线 x ? y ? 2 上,则此圆的半径为 ▲ . ▲ .
C1 D1 C A1 B E D F A B1

14.若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的范围是

15. 如图所示的一块长方体木料中, 已知 AB ? BC ? 4, AA 设E 1 ?1 ,

1 为底面 ABCD的中心, 且 AF ? ? AD, (0 ? ? ? ) , 则该长方体中 2
经过点 A1 , E , F 的截 面面积的最小值为 ▲ .

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题 15 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 8 sin4 (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 y ? f (2 x ?

x . 2

?
3

) 在 x ? [?

? ?

, ] 上的值域. 6 4

17 . (本小题 15 分)如图所示,在三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? CD ? 1, AC ? 3 ,平面 ACD ⊥平面 ABC ,

?BCD ? 90o .
(I)求证: CD ? 平面 ABC ; (II)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
[来源:Zxxk.Com]

(第 17 题图)

18. (本小题 15 分)如图所示,椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 AB : y ? x ? 1 相切于点 A . 2 2 a b

(I)求 a , b 满足的关系式,并用 a , b 表示点 A 的坐标; (II)设 F 是椭圆的右焦点,若 VAFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角 三角形,求椭圆 C 的标准方程.

(第 18 题图)

19. (本小题 15 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 4? x ? 3 ? a . (I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,存在 x0 ? ?0,2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围.

20. (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 (I)设

? 2an ? 3an?1 (n ? 2, n ? N? ) .

bn ? an?1 ? an (n ? N? ) ,求证 ?bn ? 是等比数列;
1 1 1 1 7 ? ?? ? ? ? 成立. a1 a2 a2 n ?1 a2 n 4

(II) (i)求数列 ?an ? 的通项公式; (ii)求证:对于任意 n ? N? 都有

2015 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
题号 答案
9. ?0,1?? ; 1,0,?1?? ; ? 1?

2015.4 7 B 8 A

一、选 择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1 B

2 D
10. ? 7;?

3 C

4 D

5 A

6 C

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分.

13 3

11. 2

3; (2 3,?2)
12 5 5

12.

1 ;20 9

13.1

14. [?2,0]

15.

三、解答题 16. (本小题 15 分) (I)解法 1:由已知得 f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? 2(1 ? cos x) ? 4 cos x ? 3 ……………………………………………5 分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ; ……………………………………………………7 分
2 2
[来源:Z。xx。k.Com]

解法 2: f ( x) ? cos2x ? 2(1 ? cos x) ? cos2x ? 2 ? 4 cos x ? 2 cos x ? 4 cos x ? 3 ,……………………………………5 分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ; ……………………………………………………7 分
2 2

x x x x ? 2(1 ? 2 sin 2 ) 2 ? 1 ? 8 sin 4 ? 1 ? 8 sin 2 2 2 2 2 ? 1 ? 4(1 ? cos x) ? 4 cos x ? 3 ………………………………5 分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ; ……………………………………………………7 分
解法 3: f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? 8 sin
2 4

(II)由(I)得 f (2 x ? 设 t ? 2x ?

?
3

) ? 4 cos( 2 x ?

?
3

)?3

………………………………8 分

? ? ? 2? ? ?t ? ,当 x ? [ ? , ] 时 ? ………………………………10 分 3 3 6 6 4 ? 2? ,0] 上为增函数,在 [ 0, ] 上为减函数, ………………………12 分 又函数 y ? cos t 在 [ ? 6 3 2? 1 则当 t ? ? 时 cost 有最小值 ? ;当 t ? 0 时 cost 有最大值 1 , ……………………14 分 3 2 ? 故 y ? f (2 x ? ) 的值域为 [ ?5,1] ………………………………15 分 3 17. (本小题 15 分)解: (I)解法 1:过 B 做 BH ⊥ AC 于 H ………………………………2 分 Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ,平面 ACD I 平面 ABC ? AC ? BH ⊥平面 ACD …………………………………………………………………………4 分
[来源:Zxxk.Com]

? BH ⊥ CD B HI B C ? B 又 Q CD ⊥ BC ? CD ? 平面 ABC ……7 分 (II)解法 1:过 C 做 CK ⊥ AB 交 AB 延长线于点 K ,连结 DK 由(I)可知 CD ? 平面 ABC ? CD ⊥ AB 又 Q CD I CK ? C ? AB ⊥平面 DCK 过 C 做 CL ⊥ DK 于 L ? AB ⊥ CL ABD 又 Q AB I CK ? K ? CL ⊥平面 连结 BL ,则 ?CBL 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角……11 分

Q AB ? BC ? 1 , AC ? 3
? ?CAB ? 30o
又 Q ?CKA ? 90
o

? CK ?

3 2

Q CD ? 1

? DK ?

7 2

? CL ?

DC ? CK 21 ? DK 7

? sin ?CBL ?

CL 21 ………………………………15 分 ? BC 7

(I) 解法 2: 取 AC 中点 M , 连结 BM , 过 M 在平面 ACD 上作 MN ? AC , ACD ABC MN ? 平面 ABC , ⊥平面 ? Q 平面 ?B M ? A C 又 Q AB ? BC 分别以 MB, MC , MN 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系……3 分

则有 B( , 0, 0), C (0,

1 2

uuu r uuu r 3 1 3 3 , 0) ,设 D(0, y, z ) , BC ? (? , ,0) , CD ? (0, y ? , z) 2 2 2 2
得y?

Q ?BCD ? 90o

uuu r uuu r ? B C? C D ?0

3 ……………………………6 分 2

又 Q CD ? 1 ,? D(0,

uuu r 3 ,1) ? CD ? (0,0,1) ? CD ? 平面 ABC ……7 分 2

(II)解法 2: A(0, ?

r 3 , 0) ,设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) 2
uu u r 1 3 , 0) ,得: 2 2
取 n ? (? 3,1, ? 3) ………………………………12 分

由 AD ? (0, 3,1) , AB ? ( ,

uuu r

uuu r r ? AD ? n ? 3 y ? z ? 0 ? r r 1 ? uuu 3 y?0 ? AB ? n ? x ? ? 2 2
又 Q BC ? (? ,

r

uuu r

1 3 ,0) 2 2

uuu r r 3 21 ……………15 分 ?sin ? ? | c oB sC n ,? | ? 7 7 ?1

解法 3:过 B 在平面 ABC 中作 l ? AB ,过 B 作 m ? 平面 ABC ,如图, 分 别 以 直 线 AB, l , m 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 有 :

1 3 A(?1, 0, 0), B(0, 0, 0), C ( , , 0) ………………9 分 2 2

由(I)可知 CD ? 平面 ABC ,? D( ,

1 3 ,1) 2 2

设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 AB ? (1, 0, 0), BD ? ( ,

r

uu u r

uuu r

1 3 ,1) ,得 2 2

uuu r r ? AB ? n ? x ? 0 r ? 取 n ? (0, 2, ? 3) …………………………………12 分 r r 1 ? uuu 3 y?z ?0 ? BD ? n ? x ? ? 2 2
又 Q BC ? ( ,

uuu r

1 3 , 0) 2 2

uuu r r 3 21 ………………15 分 ?sin ? ? | c oB sC n ,? | ? 7 7 ?1

? x2 y 2 ? ?1 ? ? a 2 b2 18. (本小题 15 分)解: (I)联立方程组 ? 消元得: ? y ? 1 x ?1 ? ? 2
1 ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ①…………………………………………2 分 4

Q 相切

1 ?V? a 4 ? 4( a 2 ? b 2 )(a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 4
2 2

得:

a2 ? b 2 ? 1 ② …4 分 4 yA ? ? a2 ? 1 ? b2 4

将②代入①式得: x ? a x ?

a4 ?0 4

解得 xA ? ?

a2 2

? A(?

a2 2 , b ) ………………………………………………………………………………7 分 2 |c?2| , Q V ABF 是等腰直角三角形 5

(II)解法 1: Q F 到直线 AB 的距离 d ?
2

?| AF ? |

2d

2 ? a2 ? 2(c ? 2)2 ? ? c ? ? ? ? b2 ? ? …………………………………12 分 2 ? 5 ?

由②可得: a ?
2
2

4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 ,b ? 代入上式得: 5 5
2

? 2c 2 ? 5c ? 2 ? ? 4 ? c 2 ? 2(c ? 2) 2 2 ? ? 得 c ? 1 即 c ? 1 ……………………14 分 ? ? ? ? 5 5 ? ? ? 5 ?

4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 ,b ? 又Q a ? 5 5
2

? a2 ?

8 5

b2 ?

3 5

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………15 分 8 3
b2 ?2b 2 ? a2 a 2 ? 2c ? ?c 2

解法 2: Q F (c, 0) ? k AF ?

? kBF ? ? Q A F? B F

1 a 2 ? 2c ? k AF 2b2

? 直线 BF 的方程为 y ?

a 2 ? 2c ( x ? c) …………………………………………………9 分 2b2

? a 2 ? 2c y? ( x ? c) ? a 2 ? 2c 1 a 2 ? 2c ? b 2 2b 2 ? a 2c ? 2c 2 ? 2b 2 ? ( x ? c ) ? x ? 1 ? x ? 由? 2b 2 2 2b 2 2b 2 1 ? y ? x ?1 ? ? 2
解得: xB ?

a2 c

yB ?

a 2 ? 2c 2c

? B(

a 2 a 2 ? 2c , ) ………………………………12 分 c 2c
2

Q| AF |?| BF |

? a 2? 2c ? a2 a2 ? (? ? c )2 ? b 4 ? ( ? c )2? ? ? 2 c ? 2c ?

2 2 (a 2 ? 2 c )2 ? b 4 4 a( ? c2 ? ) b 44 ? 解得 c ? 1 ………………………………14 分 4 4c 2

又Q

a2 ? b2 ? 1 4

? a2 ?

8 5

b2 ?

3 5

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 …………………………………………………15 分 8 3

解法 3:由方法二得 B(

a 2 a 2 ? 2c , ) …………………………………………………………12 分 c 2c

分别过 A, B 做 x 轴的垂线,垂足分别为 A?, B?

?? | |F? B| Q V ABF 是等腰直角三角形 ? | A A
又 Q | FB? |? xB ? c ?

a2 b2 ? c ? , | AA? |? yA ? b2 c c

?

b2 ? b 2 得 c ? 1 ………………………………14 分 c a2 ? b2 ? 1 4
? a2 ? 8 5 b2 ? 3 5

又Q

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 …………15 分 8 3
a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ……5 分 2

19. (本小题 15 分) (I)解: 0 ? ? (II)解法 1: (i)当 0 ?

4?a ? 1 时,即 2 ? a ? 4 时, 2

? 4?a ? f? ? ? f ? x ? ? f ? 2? ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ? 2? ? a ?1 ? a ?1 , f ? ? ?? 4 4 ? 2 ?
2 ? 4 ? a ? ? a ? 8a ? 8 ? ? a ? 4 ? ? 8 f ? 2? ? f ? ? ? ?0 ? 4 4 ? 2 ? 2

所以 | f ? x ? |max ? a ?1 ……………………………………………9 分 (ii)当 1 ?

4?a ? 2 时,即 0 ? a ? 2 时, 2
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ?0? ? 3 ? a ? 3 ? a , f ? ? ?? 4 4 ? 2 ?

? 4?a ? 8?a f ? 0? ? f ? ? 0 , | f ? x ? |max ? 3 ? a , ……13 分 ?? 4 ? 2 ?
2

综上, | f ? x ? |max ? ?

?a ? 1, 2 ? a ? 4 , ?3 ? a , 0 ? a ? 2
……………………………………15 分
2

故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1

解法 2:解法 2: | f ? x ? |? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?

? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?
2

……………………………9 分

? 1? a ? 2

………………………………………………13 分

等号当且仅当 x ? 0 或 2 时成立, 又 1? a ? 2

?

?

min

? 1 ,所以 t ? 1

…………………15 分

解法 3: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ……9 分

Q x0 ?1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ?

……………13 分

且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1,所以 t ? 1 ……15 分

20. (本小题 14 分)解: (I)由已知得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ), (n ? 2, n ? N ? ) , … …2 分 则 bn ?1 ? 3bn , 又 b1 ? 3 ,则 ?bn ?是以 3 为首项、3 为公比的等比数列 ………………3 分 ………………4 分

(II) (i)解法 1:由(I)得 bn ? 3n ,即 an ?1 ? an ? 3n ,则 an ? an ?1 ? 3n ?1, (n ? 2) , 相减得 an ?1 ? an ?1 ? 2 ? 3n ?1, (n ? 2) , …………………5 分

则 a3 ? a1 ? 2 ? 31 , a5 ? a3 ? 2 ? 33 , ?? , a2n ?1 ? a2n ?3 ? 2 ? 32n ?3 , 相加得 a2 n ?1 ? a1 ?

3(9n ?1 ? 1) 32 n ?1 ? 1 ,则 a2 n ?1 ? , (n ? 2) 4 4 32 n ? 1 , 4

……………………7 分

当 n ? 1 时上式也成立 由 a2n ? a2n ?1 ? 32n ?1 得 a2 n ? 故 an ? ………………………8 分

3n ? (?1) n 4

………………………9 分 ………………………6 分
1

解法 2:由 an ?1 ? an ? 3n 得 (?1)n ?1 an ?1 ? (?1)n an ? ?(?3)n ,
2 1

则 (?1)n an ? (?1)n ?1 an ?1 ? ?(?3)n ?1 , ?? , (?1) a2 ? (?1) a1 ? ?(?3) , 相加得 an ?

3n ? (?1) n 4
an ?1 1 an 1 ? ? ? , 3n ?1 3 3n 3

………………………9 分

解法 3:由 an ?1 ? an ? 3n 得 设 cn ? 又 c1 ?

………………………5 分

an 1 1 1 1 1 ,则 cn ?1 ? cn ? ,可得 cn ?1 ? ? ? (cn ? ) , n 3 3 3 4 3 4
1 1 1 1 ? (? ) n ?1 , ,故 cn ? ? 3 4 12 3
………………………8 分

3n ? (?1) n 则 an ? 4
(ii)证法 1:易证

………………………9 分

4 3
2 n ?1

?1

?

1 7 n?1



4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 ? ? ?? ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1
1 1 7 1 7 ? ?? ? n?1 ? (1 ? n ) ? 1 6 7 6 7 7
………………………11 分

? 1?

同理可得

4 1 ? 3 ? 1 2 ? 7 n?1
2n



4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n ? ? ?? ? 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 1 1 1 7 1 7 ? (1 ? n ) ? ? ? ?? ? 1 n ?1 12 12 2 2?7 7 2?7
7 7 7 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 12 4
………………………13 分

?


………………………14 分

证法 2:

1 a2 n ?1

?

1 4 4 4(32 n ?1 ? 32 n ) ? 2 n ?1 ? 2n ? 2 n ?1 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1)(32 n ? 1)
………………………11 分

?


4 4 4(32 n ?1 ? 32 n ) ? 2 n ?1 ? 2 n 2 n ?1 2n 3 3 3 ?3

1 4 4 4 4 1 1 1 1 ? 1 ? ? 3 ? 4 ? ?? ? 2 n ?1 ? 2 n ? ? ?? ? ? 2 3 3 3 3 a1 a2 a2 n ?1 a2 n
3 2 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) 2 9 3
………………………13 分

?

?

3 2 31 62 63 7 ? ? ? ? ? 2 9 18 36 36 4

………………………14 分

证法 3:

4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 ? ? ?? ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1

?1?

4 4 4 ? 5 ? ?? ? 2 n ?1 3 3 3 3
………………………11 分

1 1 7 ? 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 6 3 6
易证

4 4 ?1 5 ? 2n ? 2n 3 ?1 3 ?1?1 3
2n



4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n ? ? ?? ? 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 1 5 5 5 ? 4 ? 6 ? ?? ? 2 n 2 3 3 3
1 5 1 41 ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 2 72 3 72 7 41 125 126 7 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 72 4 a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 72 72
………………………13 分

?
?


………………………14 分

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]


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2016年4月温州市高三第二次适应性考试(二模)理科数学
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