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第55届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三


第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2014 年 3 月 23 日上午 8:00-12:30
1、如图,设锐角三角形 ABC 的外心为 O ,点 A 在 BC 边上的射影为 H A , AO 的 延长线与三角形 BOC 的外接圆交于点 A ' , 点 A ' 在直线 AB 、AC 上的射影分别是 D 、

E ,

三角形 DEH A 的外心为 OA ,类似定义点 H B 、 OB 及 H C 、 OC .
求证: OA H A 、 OB H B 、 OC H C 三线共点.
A

O B C

HA

D

E

A'

2、设 A1 A2 ? A101 是正 101 边形.将每个顶点染上红、蓝两色之一,记 N 是满足如 下条件的钝角三角形的个数:三角形的三个顶点均为该 101 边形的顶点,两个锐角顶点 的颜色相同,且与钝角顶点的颜色不同. (1)求 N 的最大可能值 (2)求使得 N 取最大值的不同染色方法数(对于两种染色方法,只要有某个 Ai 上 的颜色不同,就认为是不同的染色方法).

3、 证明:不定方程

( x + 1)( x + 2)? ( x + 2014) = ( y + 1)( y + 2)? ( y + 4028)
没有正整数解 ( x, y ) .

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2014 年 3 月 24 日上午 8:00-12:30
4、 设 k 是给定的奇数, 证明: 存在无穷多个正奇数 n , 使得有两个正整数 d1 , d 2 , k > 3,

n2 + 1 满足 d1 , d 2 均整除 ,且 d1 + d 2 = n+k . 2

5 、 设 n 是 给 定 的 整 数 , n > 1 , 求 最 大 的 常 数 λ ( n) , 使 得 对 任 意 n 个 非 零 复 数

z1 , z2 ,? , zn ,有

∑z
k =1

n

2 k

?λ (n) ? min zk +1 ? z + k

{

2

},

其中 zn +1 = z1 .

6、对整数 k > 1 ,记 f (k ) 是将 k 分解为大于 1 的正整数之积的分解方法数(不计乘积中 因子的次序,例如 f (12) = 4 ,因为 12 有如下四种分拆: 12 , 2 × 6 , 3 × 4 , 2 × 2 × 3 ). 证明:若 n 是大于 1 的整数, p 是 n 的素因子,则 f ( n) ≤

n . p


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