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2013届高三理科数学二轮专题课件4-28几何证明选讲(选修4-1)


第四部分

选考内容

第二十八讲 几何证明选讲(选修4-1)

考纲要求

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1.利用平行线等分线段定理和平行线分 线段成比例定理进行相关推理和计算. 2.相似三角形的判定及有关性质,直 角三角形的射影定理的应用. 3.

应用圆心角、圆周角、弦切角定理 说明角之间的关系.

考纲要求

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4.应用圆内接四边形的性质进行推 理. 5.利用圆的切线的性质和判定进行推 理和证明. 6.利用圆中的比例线段进行计算和推 理.

要点串讲
1.平行线分线段成比例定理及推论 (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线 段成比例. (2)推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定

①预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似. 如图,若 EF∥ BC,则△AEF∽△ABC.

②判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似. ③判定定理 2:两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似. ④判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似. (2)直角三角形相似的判定 ①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角 三角形.

②定理 1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相 等,那么它们相似. ③定理 2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成 比例,那么它们相似. ④定理 3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这 两个直角三角形相似.

(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比. (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比. (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方. ②相似三角形的性质(二)

(ⅰ)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比. (ⅱ)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方.

? ? ?

3.圆周角定理 (1)圆周角定理及其推论
①定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半. ②推论 (ⅰ)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧也相 等.

? ?

(ⅱ)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的弦是直径. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 4.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1:圆内接四边形的对角互补. ②定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对 角.

(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理: 如果一个四边形的对角互补, 那么这个 四边形的四个顶点共圆. ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

5.圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论: ①推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点. ②推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心.

6.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

7.与圆有关的比例线段 定理 名称 相交 弦定 理 基本 图形 条件 结论 (1)PA· PB PC· PD 应用 = (1)在 PA、PB、 PC、 四线段 PD

弦 AB、 CD 相交于圆 内点 P

(2) △ ACP ∽ 中知三求一 △BDP (2)求弦长及角

(1)求线段 PA、 (1)PA· PB 割线 定理 PD PAB、 PCD 是 =PC· ⊙O 的割线 (2)△PAC ∽△PDB (1)PA2 = PB· PC (2)△PAB ∽△PCA PB、PC、PD 及 AB、CD(2)应用 相似比求 AC、 BD 切割 线定 理 PA 切⊙O 于 A,PBC 是⊙ O 的割线 (1)已知 PA、 PB、 PC 知二可求一 (2)求解 AB、CA

切线 长定 理

PA、PB 是 (1)PA=PB

(1) 证 线 段 相

⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA = 等,已知 PA 线 ∠OPB 求 PB(2)求角

高频考点
类型一 【例 1】 平行线(等)分线段成比例定理的应用 如图,F 为? ABCD 边上一点,连 DF

交 AC 于 G,延长 DF 交 CB 的延长线于 E.

求证:DG· DE=DF· EG. [分析] 由于条件中有平行线,考虑平行线(等)分线

段定理及推论,利用相等线段(平行四边形对边相等),经 中间比代换,证明线段成比例,得出等积式.

[证明] ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥DC,AD=BC, DG AD ∵AD∥BC,∴ = , EG EC DF BC AD DG DF 又∵AB∥DC,∴ = = ,∴ = , DE EC EC EG DE 即 DG· DE=DF· EG.

类型二

相似三角形判定定理、性质定理的应用

【例 2】 如图,BD、CE 是△ABC 的高,求证:△ ADE∽△ABC.

[分析]

易证△AEC ∽△ADB, 可得

[证明] ∵BD、CE 是△ABC 的高, ∴∠AEC=∠ADB=90° , AD AE 又∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB,∴ = , AB AC 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.

类型三 【例 3】

直角三角形射影定理的应用 如图,在 Rt△ABC 中,

∠BAC=90° ,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE⊥ AB 于 E,求证:AD3=BC· CF. BE·

[分析]

题目中有直角三角形和斜边上的高符合直

角三角形射影定理的两个条件, 选择合适的直角三角形是 解决问题的关键.

[证明] ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90° , 在 Rt△ADB 中,∵DE⊥AB, 由射影定理得 BD2=BE· AB, 同理 CD2=CF· AC, ∴BD2· 2=BE· CF· CD AB· AC 又在 Rt△ABC 中,AD⊥BC,∴AD2=BD· DC ① ②

由①②得 AD4=BD2· 2=BE· AB· DC CF· AC =BE· AD· CF· BC, ∴AD3=BC· CF. BE·

类型四

圆内接四边形性质及判定定理的应用

【例 4】 如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠ PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.

(1)求证:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小. [分析] 要证 A、P、O、M 四点共圆,可考虑四边形 APOM 的对角互补;根据四点共圆,同弧所对的圆周角 相等, 进行等量代换, 进而求出∠OAM+∠APM 的大小.

[解]

(1)证明:连接 OP,OM,

∵AP 与⊙O 相切于点 P, ∴OP⊥AP, ∵M 是⊙O 的弦 BC 的中点, ∴OM⊥BC, 于是∠OPA+∠OMA=180° . 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角 互补,所以 A,P,O,M 四点共圆.

(2)由(1)得,A,P,O,M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM, 由(1)得 OP⊥AP,由圆心 O 在∠PAC 的内部, 可知∠OPM+∠APM=90° , ∴∠OAM+∠APM=90° .

类型五

圆的切线的性质及判定的应用

【例 5】 已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切 线,切点为 B,OC 平行于弦 AD(如图). 求证:DC 是⊙O 的切线.

[分析] 因为 DC 过⊙O 上的点 D,所以可连接 OD, 只要证明 DC⊥OD,因为 BC 和⊙O 切于 B,所以∠OBC =90° ,因此只需证∠ODC=∠OBC,而这两个角分别在 两个三角形中,只需证它们全等.

[证明] 连接 OD. ∵OA=OD,∴∠1=∠2, ∵AD∥OC,∴∠1=∠3,∠2=∠4, ∴∠3=∠4. 又∵OB=OD,OC=OC, ∴△OBC≌△ODC, ∴∠OBC=∠ODC.

∵BC 是⊙O 的切线, ∴∠OBC=90° ∴∠ODC=90° , ∴DC 是⊙O 的切线.

类型六

与圆有关的比例线段

【例 6】 如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两 圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相 交于点 P.

(1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线, PA=6, 且 PC=2, BD=9, 求 AD 的长. [分析] (1) 要证AD∥EC → 可证∠D=∠E → 寻找中间角,可连接AB

(2)

可由相交弦定 理和平行线分 线段成比例定 理求得

[解]

(1)证明:连接 AB,

∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E,∴AD∥EC.

(2)设 BP=x,PE=y. ∵PA=6,PC=2, ∴由相交弦定理得 PA· PC=BP· PE,xy=12 ∵AD∥ EC, 9+x 6 DP AP ∴ = ,∴ = PE PC y 2
?x=3 ? 由①②可得,? ?y=4 ? ?x=-12 ? 或? ?y=-1 ?





(舍去),

∴DE=9+x+y=16. ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线, ∴AD2=DB· DE=9×16,∴AD=12.

好方法好成绩
1.圆中关于角的三个定理 圆心角定理:圆心角等于它所对弧的度数;圆周角 定理:圆周角等于它所对弧的度数的一半;弦切角定理: 弦切角的度数等于所夹角弧度数的一半.这是三个相互 关联的定理, 这三个定理通过其所对的弧建立相互关系, 是解决圆的问题中所不可缺少的工具.

在解决与圆有关的问题时, 作圆的直径就可以利用直 径上的圆周角是直角, 往往能使问题找到突破口. 直径上 的圆周角是直角是圆周角定理的一个特殊情况, 这个定理 无论在几何证明中还是在高中数学的其他地方都有重要 应用,应熟练掌握.

2.证明四点共圆常用的方法 一是利用圆内接四边形的判定定理, 去证明四点组成 的四边形的对角互补; 二是证明四点到某一点的距离都相 等. 通过四点共圆就可以在圆上使用圆周角定理, 实现角 相等的转化, 把分散的条件集中起来, 这是进行几何推理 证明的一个重要技巧.

高考陪练
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,CD⊥AB 于 D,已知 AC=4. (1)若 AD=2,则 BD=________; (2)若 BC=4 3,则 CD=________.

解析:方法一:(1)由直角三角形的射影定理得 AC2=AD· AB, AC2 42 ∴AB= = =8, AD 2 ∴BD=AB-AD=8-2=6. (2)AB= AC2+BC2 = 42+?4 3?2=8, AC2 42 ∵AC2=AD· AB,∴AD= = =2. AB 8 ∴BD=AB-AD=8-2=6.

∵CD2=AD· DB,∴CD= AD· DB= 2×6=2 3.

方法二:(1)如图,在 Rt△CAD 和 Rt△BAC 中,∠A 为公共角,∠ACB=∠ADC=90° ,

∴Rt△BAC∽Rt△CAD, AC AD ∴ = ,∴AC2=AD· AB, AB AC AC2 42 ∴AB= = =8,∴BD=AB-AD=8-2=6. AD 2 (2)由勾股定理得 AB= 42+?4 3?2=8. 由三角形的面积相等得 CD· AB=AC· BC,即 AC· BC 4×4 3 CD= = =2 3. AB 8
答案:(1)6 (2)2 3

2.如图,D、E 两点分别在 AC、AB 上,且 DE 与 BC 不平行,请填上一个你认为适合的条件:________,使得 △ADE∽△ABC.

解析:∵∠A=∠A,由两角对应相等,两三角形相 似,可添加∠1=∠B 或∠2=∠C;由两边对应成比例且 AE AD 夹角相等,两三角形相似,可添加 = . AC AB
? AE AD ? 答案:∠1=∠B?或∠2=∠C或 = ? AC AB ? ?

3.已知如图,⊙O 和⊙O′相交于 A、B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D.若 BC=2,BD=4,则 AB 的长为________.

解析:∵AC、AD 分别是两圆的切线, ∴∠C=∠2,∠1=∠D, ∴△ACB∽△DAB. BC AB ∴ = , AB BD ∴AB2=BC· BD=2×4=8.

∴AB= 8=2 2(舍去负值).

答案:2 2

4.(2011· 广东模拟)如图所示,AB 是圆 O 的直径, CB 切圆 O 于 B 点,CD 切圆 O 于 D 点,交 BA 的延长线 于 E 点,若 AB=3,ED=2,则 BC 的长为________.

解析:由切割线定理得 ED2=EA· EB, ∴22=EA(EA+3), 即 EA2+3EA-4=0, 解得 EA=1(舍去负值), ∴EB=4. ∵CB 切圆 O 于 B 点, 切圆 O 于 D 点, 是圆 O CD AB 的直径, ∴CD=CB,∠CBE=90° ,

由勾股定理得 CB2+EB2=CE2, 即 CB2+42=(2+CB)2,解得 CB=3. ∴BC 的长为 3.
答案:3

5.(2011· 广东)如图所示,过圆 O 外一点 P 分别作圆 的切线和割线交圆于 A,B 且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________.

解析:∵PA 与⊙O 切于点 A, ∴∠PAB=∠BCA(弦切角等于同弧上的圆周角), 又∠BAC=∠APB, ∴△PAB∽△ACB, PB AB ∴ = , AB BC ∴AB2=PB· BC, ∵PB=7,BC=5,∴AB= 7×5= 35.

答案: 35

高考专题训练二十八


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