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2.2 三角形中的几何计算 课件(北师大版必修五)


1.用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些三角形几 何计算问题.(重点) 2.在理解题意的基础上将实际问题数学化.(难点) 3.利用正、余弦定理进行边角互化及正、余弦定理与有关 性质的综合应用是本节课的难点.(难点、易混点) 一、正、余弦定理可解决的问题 1.正弦定理可解决的两类问题: (1)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形. (2)已知三角形的两角和任一边解三角形. 2.余弦定理可解决的两类问题: (1)已知三角形的两边和它们的夹角解三角形. (2)已知三角形的三边解三角形. 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形,能 用余弦定理解决吗? 提示:可行.例如在△ABC中,已知a,b和A解三角形,可以 根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA列出关于c的一元二次方 程求c. 关于三角形中的几何计算: 三角形中几何计算问题,主要是利用正、余弦定理求三角 形的边长、面积、角度等问题,正弦定理和余弦定理的应 用并不是孤立的,解题时要根据题目条件合理选用,有时 还要交替使用,三角形中的几何计算问题有时还要和三角 函数联系起来. 二、三角形面积公式 1.S= 1 1 1 a h a ? b h b ? c h c (h a、hb、hc分别表示a、b、c边上 2 2 2 的高) 2.S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB 2 2 2 3.S= 1 r(a+b+c)(r为内切圆半径) 2 4.S= p ? p ? a ?? p ? b ? (p ? c) (p= a ? b ? c 为三角形的半周长) 2 三角形中与长度有关的问题 三角形中与长度有关的问题的求解思路 解决三角形中与长度有关的问题,若在一个三角形中,则 直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三 角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦 定理求解. 方程思想是求解长度问题常用的思想方法. 【例1】在△ABC中,AB=5,AC=4,D为BC中点,且AD=4,求 BC边长. 【审题指导】设BC边长为x,因为D为BC中点,则BD、DC可 表示为 x ,利用余弦定理建立关于x的方程,然后再利用互 2 补角的余弦互为相反数这一性质建立方程求解 . 【规范解答】设BC边长为x,则由D为BC中点,可得 BD=DC= x , 2 x 2 2 42 ? ( ) ?5 AD ? BD ? AB 2 在△ADB中,cos∠ADB= ? . x 2AD BD 2? 4? 2 x 2 42 ? ( ) ? 42 2 2 2 AD ? DC ? AC 2 在△ADC中,cos∠ADC= ? x 2AD DC 2? 4? 2 2 2 2 又∠ADB+∠ADC=180° ∴cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC. x 2 2 x 2 42 ? ( ) ?5 42 ? ( ) ? 42 2 2 ? ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2 解得,x= 3 2 所以,BC边长为 3 2 . 三角形中与面积有关的问题 三角形面积公式的应用 (1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求, 或三角形中哪个角的正弦值可求. (2)在解决三角形问题时,面积公式S= 1 absinC= 1 acsinB= 1 bcsinA最常用,因为公式中既有角又有边,容 2 2 2 易和正弦定理、余弦定理联系起来. 解题时要准确把握条件,合理选择面积公式 . 【例2】在△ABC中,已知ta


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