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2015全国高中数学联赛预赛模拟题9


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 9
3 x2 2 1. 已知离心率为 的椭圆 C1 的顶点 A1、A2 恰好是双曲线 ?y =1 的左右焦点,点 P 是 2 3 椭圆不同于 A1、A2 的任意一点,设直线 P A1、PA2 的斜率分别为 k1、k2.. ⑴求椭圆 C1 的标准方程; ⑵试判断 k1· k2.的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论; 1 4 5

⑶当 k1= 时,圆 C1:x2+y2?2mx=0 被直线 PA2 截得弦长为 ,求实数 m 的值. 2 5

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 (?2,0) ,即 A1 , A2 的坐标分别为 (?2,0), (2,0) . 3 x2 y2 所以设椭圆 C1 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 a ? 2 , a b c 3 2 2 2 且e ? ? ,所以 c ? 3 ,从而 b ? a ? c ? 1, a 2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 . 若是竖放的,则: ? ?1 所以椭圆 C1 的标准方程为 4 1 4 16 2 2 2 2 x y x 4 ? x0 2 (2)设 P( x0 , y0 ) 则 0 ? 0 ? 1 ,即 y 0 ? 1 ? 0 ? 4 1 4 4 2 y ? 0 y0 ? 0 y 1 k1 ? k 2 ? 0 ? ? 20 ? ? . 所以 k1 ? k 2 的值与点 P 的位置无关, 4 x0 ? (?2) x0 ? 2 x0 ? 4
解: (1) 双曲线 恒为 ?

1 . 4
2 2 2 2 2

(3)由圆 C 2 : x ? y ? 2mx ? 0 得 ( x ? m) ? y ? m ,其圆心为 C 2 (m,0) ,半径 为m, 由 ( 2 ) 知 当 k1 ?

x ? 2y ? 2 ? 0,

1 1 1 时 , k 2 ? ? , 故 直 线 PA2 的 方 程 为 y ? ? ( x ? 2) 即 2 2 2

所以圆心为 C 2 (m,0) 到直线 PA2 的距离为 d ?
2 2

m ? 2?0 ? 2 12 ? 2 2

?

m?2 5



又由已知圆 C 2 : x ? y ? 2mx ? 0 被直线 PA2 截得弦长为 圆心 C 2 (m,0) 到直线 PA2 的距离 d ? 所以 m 2 ? (

4 5 及垂径定理得 5

m2 ? (

2 5 2 ) , 5

m?2 2 5 2 2 , 即 m ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 或 m ? 1 . ) ? 5 5 所以实数 m 的值为 1 或 ? 2 .
1

a ln x 为 f ( x ) 的 k 阶函数. xk (1)求一阶函数 f1 ( x ) 的单调区间;
2. 定义函数 f k ( x ) ? (2)讨论方程 f 2 ( x ) ? 1 的解的个数; (3)求证: 3ln n! ? 1 ? 23 e ? 33 e 2 ? 解:(1) f1 ( x) ?

? n3e n?1 (n ? N * ) .

a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2 令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e.
?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间;
当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) .



2

3. 如图, AD, BE, CF 分别是锐角 ?ABC 的三条高,垂足分别为 D, E, F .以 BC 为直 径的圆 O 和 AD 交于 G 点,过 G 的直径的另一端点为 K .若 EK, FK 和 BC 分别交于

M , N .求证: OM ? ON . 证明: ∵ AD, BE, CF 分别是锐角 ?ABC 的三条高
∴ 它们必相交于一点,记为 H ∴ H 为 ?ABC 的垂心 连结 GE, GM , DE
? ∵ GK 是⊙ O 的直径 ∴ ?GEM ? 90

A G F H E

∵ ?GDM ? 90 ,∴ G, D, M , E 四点共圆
?

∴ ?GME ? ?GDE H , D, C , E 四 点 共 圆 , 又 ∵

?GDE ? ?HDE ? ?HCE ∴ ?GME ? ?HCE ? ?FKE , ∴ GM ∥ FK ∴ ?OMG ? ?ONK , K ∵ ?GOM ? ?KON , GO ? KO , ∴ ?OMG ? ?ONK , ∴ OM ? ON 3 2 1 ?(b ?2) 4. 已知数列 {bn } 前 n 项和 S n ? n ? n .数列 {an } 满足 an3 ? 4 n (n ? N? ) , 数列 2 2 {cn } 满足 cn ? anbn .
(1)求数列 {an } 和数列 {bn } 的通项公式;(2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ;

∴ B

O D N M

C

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 解:(1)由已知得,当 n ? 2 时,
(3)若 cn ?

3 1 3 1 bn ? S n ? S n?1 ? ( n 2 ? n) ? ( (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) ? 3n ? 2 2 2 2 2 又 b1 ? 1 ? 3?1 ? 2 ,符合上式.故数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 3n ? 2
又∵ an3 ? 4
? (bn ? 2)

,∴ an ? 4

?

( bn ? 2) 3

?4

?

(3 n ? 2) ? 2 3

1 ? ( )n , 4

故数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ( ) ,
n

1 4

(2) cn ? an bn ? (3n ? 2) ? ( ) ,
n

1 4

1 1 1 1 Sn ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ,……① 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 1 Sn ? 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , ……② 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 ①-②得 S n ? ? 3 ? [( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 4
3

1 1 ( )2 [1 ? ( ) n?1 ] 1 1 1 1 4 ? ? 3? 4 ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 1 2 4 4 4 1? 4 2 12n ? 8 1 n ?1 ?( ) ∴ Sn ? ? 3 3 4 1 n (3)∵ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 1 n ?1 1 n 1 n 3n ? 1 ? (3n ? 2)] ∴ cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? ( ) ? [ 4 4 4 4 1 ? ?9 ? ( ) n ?1 (n ? 1) , 4 1 当 n ? 1 时, cn?1 ? cn ;当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,∴ (cn ) max ? c1 ? c2 ? 4 1 2 1 2 1 若 cn ? m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,则 m ? m ? 1 ? 即可, 4 4 4 2 ∴ m ? 4m ? 5 ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 1 .
x2 y2 3 5. 如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过点 a b 2 2 10 1 A(a,0)与 B(0,-b)的直线与原点的距离为 .又有直线 y= x 与椭圆 C 交于 5 2 D,E 两点,过 D 点作斜率为 k 的直线 l1.直线 l1 与椭圆 C 的另一个交点为 P,与直 线 x=4 的交点为 Q,过 Q 点作直线 EP 的垂 线 l2. Q (1)求椭圆的方程; y l1 (2)求证:直线 l2 恒过一定点. P E O D B A l2 x

4

5


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