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10-电磁感应


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第 十 章

电 磁 感 应

电磁感应现象是电磁学中最重要的发现之一, 它揭示了电和磁相互联系和转化的重要方面。它的 发现在科学上和技术上都具有划时代的意义。它不 仅丰富了人类对电磁现象的认识,推动了电磁理论 的发展,而且在实践上开拓了广泛的应用前途。

名句赏析 溪回谷转愁无路 ,忽有梅花

一两 枝。









电磁感应定律
动生电动势和感生电动势 自感和互感 磁场的能量

位移电流

麦氏方程组

第一节 电磁感应定律
1820年奥斯特的发现,第一次揭示了电流能够产生磁。法拉第 精心的实验研究了十年,于1831年第一次发现了电磁感应现象, 并总结出了电磁感应规律。 一 电磁感应现象

1 磁铁相对闭合线圈运动
应感 电应 动电 势流 感

2 回路的部分导体在磁场内运动

? ? ? B ? ?

产生流与势

? V

3 线圈 A 中的电流变化在线圈 B中产生流和势。

A

B

结论:当穿过闭合回路的磁通量发生变化时,回路中就产生感 应电流,回路中一定有电动势存在,即感应电动势。

演示
电磁感应
N S N

046

S N S
闭合回路

ii,,?

检流计
i

当通过闭合回路的磁通量发生变化时,回路中产生感应电动 势,感应电流。

科学家法拉第的成功之路

法拉第:(1791--1861)出身铁匠之家,家境贫寒,14岁进 书店做装订工,借机会博览群书,自学成才。多次听化学家 戴维演讲,对化学产生了兴趣。后经戴维培养,在化学,物 理方面贡献颇多。由1821---1831,历经10年实验研究,总结 出著名的电磁感应定律。

二 法拉第电磁感应定律 精确的实验表明,导体回路中的感应电动势的大小与穿过回 路的磁通量的变化率成正比。

?? ?? ?t
或 若

t 的单位是秒: s ? 的单位是伏: V
则瞬时感应电动势为
i

? 的单位是韦伯: W
k ?1

d? ? ?k dt

d? ?? dt

d? ? ? dt

? ? B ?t ? n
闭合回路

? ? ? ? ?? B.ds ?0

?

i

d? ? 0 ,电动势 若磁通量增加,即 dt d? ? 0 ,电动势 若磁通量减小,即 dt

? ?

i与规定的正方向相反。 i与规定的正方向相同。

d? ? ?? dt



d? ? ? ?N dt

感应电流 (N匝时)

I ?? R
i

?0I d? ? Bds ? cdr 2?r 不能用此d? 与dt 相除求? 。为什麽?

例 10 —1 如图所示,若I ? I 0 sin?t ,其中 I 0 ,? 为恒量, 求矩形框中的电动势 。 解:物理思想:先求整个回路中的 磁通量;而后求磁通量的时变率。

?

I

dr

? ? ?? d? ?

a ?b ?a

? 0 IC a ?b a b Ln ? 2? a ? ? 0 I 0C a ?b ? d sin ?t d? ? ? ? ? ?? ? 2? Ln a ? dt ? dt ? ? ? ?t 若 I ? I0e ?为恒量 求 矩形框中电动势? ? ?

?0I cdr 2?r

r
c

第二节 动生电动势 和感生电动势
一 动生电动势

在稳恒磁场内运动着的导体内产生的感应电动势。

A L
D

? + B 均匀

导体

?

? V


电动势

? ? BVL

方 向:右手法则

动生电动势生成的内在原因

A

? + B 均匀
e

导体

? L
D

? f

电子
L

? e f

? V

当导体运动时,电子受洛仑兹力向下相对导体运动,结果,电 A 子在D 端积累, 出现正电荷。
当平衡时 而




f ? f
L

e

eVB ? eE

大小

E ? VB

E ? VB 为单位正电荷受的非静电场力。

电动势为

非静电场力的功(B ? A) 可见,动生电动势是由洛仑兹力引起的,注意,洛仑兹力的作用 只是传递能量,而不提供能量。

? ? E L ? BVL


? ? BVL ? ? ? ? 适合 B,V , L 三者相互垂直,且杆上的 B,V 处处相等。否则,须
把杆分割成许多小段,一小段内的电动势为

d? ? B V dl 杆上的电动势为 ? ? ? d? ? ? B V dl ? ? 动生电动势的方向为 V ? B 的方向。
? ? ?

?

?

?

计算动生电动势的一般式


? ? ? ? f ? e V ?B

?

?

非静电力沿导线 线元 dl 移动单位正电荷的元功为

? ? ? ? f ?E ? ? V ?B e?
非 非

?

?

? V
B
? ?

? ? ? d? ? V ? B ? dl

?

?

? dl

则沿整个导线的电动势为

? ? 即把非静电场 V ? B 沿切割磁场的线导体进行线积分。

? ??

?

? ? ? V ? B ? dl

?

例 10—2 如图,求该时刻矩形框中 的动生电动势, 为常数。 I 解:分析本题的特点
0I
1

? ? ? ?? ?

?0I I Vc Vc ? ? 2? ?a ?b? 2?a
2

A
c

B

若用

如求AD段的动生电动势,方法如下: ? 在AD段的任一处,选一线元dl ,方向 ? ? 任定。确定出该线元处的V ? B ,做点乘, 即该线元上的动生电动势。

? ? ? d? ? ?

?

? ? ? V ? B ? dl

?

? ?
1

V
2

D
a
b
? ?V ?B ? ? V ?B

C

? ? ? d? ? V ? B ? dl ? BVdl



? ? ? d?

?

?

在AB段上积分即可。

? dl

例10—13 如图示,求杆中的动生电动势。

解:因杆上各点的速度不同,故把杆分割成许多小段,则对任 ? ? ? ? 一小段而言,其上的 V 和 B 处处一样,且杆与 V 和 B三者垂直。 ? 取一小段,其电动势为 均匀 B

d? ? BVdr ? Br ?dr
? ? BVdl ? ?
L 0

? V
?

A

则杆上的动生电动势

? ? ? d?

Br ?dr
0

r

dr

方向如图 电势高低

1 ? B? L2 2
V ?V
O A

? L

?
C

? B
A

V ? V ??
A C

L

2

O

L

1

例 10—4 如图,求动生电动势。 解: 图一 因AB杆上磁场强度逐点 变化,故分割杆,

r
A

? V
dr

B B

dl

中的电动势为

a
A

b?
V

d? ? BVdl

杆中的电动势为

? ? ? BVdl I ?0I ?? Vdr 2?r
a ?b a

a

b
R

? V

?0I V a ?b ? Ln 2? A V ?V
A B

A

B

a

例 10—5 求AC杆中的电动势 解:dl 中的动生电动势为

?0I Vdr d? ? 2?x ?0I Vdxtg? ? 2?x

b I A a

x

dr ? ? dx V

dl

C

? ? ? d? ?

b ?a

?0I ?Vtg? ?dx 2?x

例 10—6 求AC杆中的电动势。

d? ? B Vdx ? ?0I ? ? ?0I ? ?Vdx ?? ? ? 2?x 2? ?x ? a ? ? I ? ?

解:

x
a bA
I

? ? ? d?
b

b ?c

? dx V c

C

略。

二 感生电动势 涡旋电场 导体在磁场中运动时产生动生电动势,其非静电力是洛仑兹力 。还有另一种情形。 变压器等。非静电力又是什么呢? 如

1

? B ?t ?
1

2

是什么力推动
电子运动?

i ?t ?
1

?

i ?t ?
2

?
R

麦克斯韦在分析了一些电磁现象之后指出:变化的磁场在其 ? 周围激发一种电场。称为感生电场或涡旋电场。 E i 表示。 用 它对导体里的电荷有力的作用,是另一种非静电力。 ? ? 它不是保守力场 ?l E i ?dl ? 0 涡旋电场与感生电动势的关系:将单位正电荷沿任意的闭合回 路移动一周,涡旋电场所作的功等于该回路的感生电动势。



? 涡旋电场 E i与物质存在与否无关。 ?
i

? ? ? i ? ? Ei ? dl d? d ? ? ?B ? ? ? ? ? ? ? B ? ds ? ? ? ? ds dt dt ?t ? ? ? d? ?B ? ? E ? dl ?? ??? ?ds dt ?t
i

? ? d? ?B ? ? E ? dl ? ? ? ? ?? ?ds dt ?t

例 如图 ,一随时间变化的均匀磁场,求涡旋电场的分布规律。 解:设磁场正在增加。由磁场的对称 ? ? 性可知,涡旋电场的力线是以O为中心的 Ei ? B t 一系列同心圆。 ? R?

??

0?r ? R
l i

R?r ?? 2 dB Ei 2?r ? ? R dt
R dB E? 2r dt
i

dB r dB E? E 2?r ? ? r 2 dt dt
2 i
i

? ? d? ? E ?dl ? ? dt

? ? ? 0 ? ? ??

? r? ? ?

沿力线选 一回路

2

例 如图,求一段金属杆AB中的电动势。
解:解法同上(略)。 若AB无限长,结果如何?

?? ? ? ?R ? ? ?? ? ? ? ?? ?

? B?t ?

A

B

例 若

I

?

I sin ?t
0

求该时刻矩形框中 电动势。 解: (动,感生电动势共存) 思路

I

r
c
a b

dr

关键求任一时刻整个回路的磁通 量,再求时变率。

d? d? ? ? ? ? ? ? dt

? V

例 如图, ? 0 时AC与BD重合, B t

? 3e

?2 t

,求电动势。

D

? ? ? ? ? V ? ? ?l ? ? ? ? ?

C

B
解:(动,感生电动势共存)

t 时刻

A

思路

d? ? ? BS ? 3e lVt ? ? ? ? dt
? 2t

例 求矩形线圈由位置(1)平动到位置(2)过程中流过的电量。 其中矩形线圈电阻为R 。

I
A
B

(1)

(2)

A
C

C

c a
解:解题分析与思路。

D B

D

b

? q ? ? idt ? ? dt ? ? R

? d?

dtdt ? 1 ? 2 ? d? ? 1 ?? ? ? 1? 2 ??1 R R R

第 三 节 自感和互感 磁场的能量
一 自感 1 自感现象 返回

演示

自感现象

046

?

i 阻止电流变化

i ?t ?
AC

i ?t ?

当电流增加时,产生自感电动势。 当电流减小时,自感电动势反向,仍阻止电流变化。 可见,自感电动势有时与电流的方向相同,而有时相反。

? ?t ?
? 磁通匝链数。

d? d? ? L ? ? N dt ? ? dt

自感电动势阻止电流的变化 2 自感系数



I ?t ? ? B?t ? ? ? ?t ? ? N? ?t ? ?? ?t ? ? I ?t ? ? ? ?t ? ? ? ?t ? ? LI ?t ? 或 L ?
电流 自感电动势的通常表示

L称为自感系数。

I d? dI ? ?? ? ?L dt dt
L

3 自感系数的计算

? L? I

例如,计算单层密绕长直螺线管的L。 设电流I。 计算 ?

l

N
?r

? ? N? ? NBS ? N ? 0 ? r nIS 2 N N I ? N ? 0 ? r IS ? ? 0 ? r SI l l

S

掌握
2 ? N L ? ? ?0 ?r S I l

解释:自感系数与哪些量有关。并由此理解其特征。 另一种方法

L??

?L

d? dt

科学家亨利

Herry

二 互感 1 互感现象

? B1 ?t ?
I 1 ?t ?

? 12 (1)
I 2 ?t ?

? 21 (2)
? B 2 ?t ?

互感电动势

d ? 12 ? 12 ? ? dt d ? 21 ? 21 ? ? dt

第二个线圈中的电流变化在 第一个线圈中产生的电动势 第一个线圈中的电流变化在 第二个线圈中产生的电动势

2 互感系数M

? 12 ? M 12 I 2

? 21 ? M 21 I 1
互感电动势表示为

? M 12 ? M 21 ? M M :互感系数
d I2 d I1 ? 12 ? ? M ? 21 ? ? M dt dt

互感系数M的计 算 关键求互感通量。

M?

? 12
I2



M?

? 21
I1

例如,如图示,求互感系数。 (1) N1

(2)

N2
S

?r

I
解: 设电流 I

l
?
?

计算?

21

N ? ?N B S ? N ? ? N IS
2 21
0

2

21

1

2

r

l

则互感系数为

? 21 N1 N 2 M? ? ?0 ?r S I l

例 求互感系数 解:(略)

c a
若矩形框内的电流为I

b

? I sin ?t , 0 , ?为恒量,则 I
0

长直线内的感生电动势为多少?(略)


三 磁场的能量 如图。 由欧姆定律

R

di ? ? L ? Ri dt 两边同乘 idt

?idt ? Lidi ? Ri dt
2

?
i
K

L

L



电感储能

?idt ? Lidi ? Ri 2 dt
dt时间内电源 dt时间内电阻

?

释放的能量

释放的能量

当电感上的电流为I时,电感储能为

1 W ? ? Lidi ? LI 2
I m 0

2

1 W ? LI 2 适合各种载流线圈。

2

上式适合任何形状的线圈。 终态电流为

I ?

?
R

磁能本质上是电源反抗自感电动势所作的功,转换为磁场的能 量。

磁场能量密度 由特例长直螺线管讨论, 当通电流为I时,管内的场强为

而自感系数为 则管内的磁能为

B ? ? 0 ? r nI 2 N L ? ? 0 ? r S ? ? 0 ? r n2 V V 为管的体积 l ? B ? 1 1 ? W ? LI ? ? ? n V ? ?? ? n? 2 2 ? 0 r ? 2 1 B ? V 2 ?0 ?r
2 2 2 m 0 r

则单位体积内的能量——磁场能量密度为

W 1 B ??V ?2??
0

2

r

上述结论适合任何磁场。 或

1B ?? ? 2

2

??? ?
0
2

r

? 称为磁导率。
I
R

例10—10 求导体内的磁能。
解:解题思路。

I B2?r ? ? ?r ?R
0 2

dr

l

r

W ? ? ?dV R 1 B W ? ?0 ? 2?rdrl 2
2 0

第四节 位移电流
一 位移电流 稳恒电流的磁场

麦克斯韦方程组
非稳恒电流的磁场

? j

? H

s

I?
j

s

1

? H

I

S2

I

2

S1

? ? ? ? ? H ? dl ? I ? ?? j ? ds
环流的数值与以L为边界的 曲面S的选择无关。

? L ? 对 S 1 ? H ? dl ? I L ? ? 对S 2 ?L H ? dl ? 0
平行板电容器

可见,在非稳恒电流的情 况下,安培环路定律不再适用, 而应以新的规律来代替它。

矛盾的出现是因为电容器中断了电流。下面介绍如何解决该矛 盾。以电容器充放电为例。

?q
? I

? D

?q

? I

?? ? d? ?0 S ? dq d ??s ? ??0 ? ? d ?E 0 ? 0 S ? I? ? ? dt dt dt dt d ?DS ? d ? d ? ? dt dt
可见,板间的电位移通量的时变率与导线中的电流相当。

d? ?I dt
d

d

。板间电位移通量的时变率。 称为位移电流

麦克斯韦假设,位移电流和传导电流(即导线中运动电荷形成 的电流)一样在其周围空间产生磁场,并遵从安培环路定律。 考虑到二种电流,安培环路定律应修正为

? ? d? 传? ?LH ? dl ? I传 ? dt ? I全电流I 位 称为全电流安培环路定律。 ? ? ? 位移电流 ? ? ?D ? d? d d ? D ? ds ? ?? ? ds ? ?? j d ds Id ? dt dt ?t
位移电流密度

? j

d

? ?D ? ?t

空间一点电位移矢量的时变率, 是矢量。

演示
传导电流

位移电流
位移电流

046
– –– – – – – – – – –

? H

? + + + H + + + ++ + ? +

D

s
A?C? 当电容充电时, 位移电流和电位移矢量同向。 当电容器放电时, 位移电流和电位移矢量反向。 位移电流和传导电流均产生磁场

二 麦克斯韦方程组

电磁场

静电场和稳恒电流的磁场的性质 静 高斯定律 电 场 环流定律

? ? ?? D ? ds ? ? q
? ? E ?dl ? 0 ?

i

静 高斯定律 磁 场

? ? 安培环路定律? H ? dl ? ? I

? ? ?? B ?ds ? 0

i

考虑涡旋电场和位移电流,则有

? ? ?B ? E ?dl ? ? ?? ? ds ? ? ?t ? d ???B ?? s ? 0 ? ?D ? ? H ?dl ? ? I i ? ?? ? ds ?t
称为麦克斯韦方程组。从理论上预言了电磁波。经典电磁理论的 基础。

? ? ?? D?ds ? ? q?
i

例 10—11求位移电流密度和位移电流。

?q
I

? D

?q
I

dD dE j ? ?? ?? dt dt I ? ?R j H 2?r ? I
d 0
2 d d
d

? d ?
? ? ? ?
0

0

? ? ? ?

d ?

?q ? ? ?s ?

? ? ? ? ?

dt

dt

电磁场概念 变化的磁场产生电场

? ? ?B ?E ?t

变化的电场产生磁场

? ? ?D ?H ?t

电磁场在空间的交替激发,形成电磁波。

经典电磁理论的 典基人 麦克斯韦

芙蓉楼送辛渐 寒雨连江夜入吴, 平湖送月楚山孤。 洛阳朋友如相问, 一片冰心在玉壶。
(唐) 王昌龄

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