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2013江南十校联考理科数学试题及答案


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2013 年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. (1)A. (2)D. (3)C. (4)B. (6)A. (7)C. (8)A. (9)B. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (5)D. (10)D.

(11)相交. (12) 4? . (13) 4 3? . (14) 2500 . (15)①②④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可得 f ( x ) ? 4 sin( x ?

?
3

)

…………………………………………………2 分 ……………………………………………………3 分

? g ( x) ? 4 sin( x ?

?
3

) cos x ? 3

1 3 ? 4( sin x ? cos x) cos x ? 3 2 2 ? 2(sin x cos x ? 3 cos2 x) ? 3 ? ? 2 sin( 2 x ? ) ………………………………………………………………6 3
分 (Ⅱ)方法 1:? x ? ??

? ? ? ?? ? ? ? ,? 0 ? ,? 2 x ? ? ?? ,2?0 ? ? 3 ? 2 3? ? 12 ?

………………………8 分

要使函数 g (x) 在 ?? 解得 ? 0 ?

? ? ? ? ? ,? 0 ? 上的最大值为 2,当且仅当 2? 0 ? ? , 3 2 ? 12 ?
………………………………………………………………………11 分

5? 12

故 ?0 的 最 小 值 为 分 方法 2:设 2k? ?

5? 12

…………………………………………………………………12

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,解得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

得函数 g (x) 的增区间为 [k? ?

?
12

, k? ?

取 k ? 0 得 f (x ) 的一个增区间 [ ? 由题可得 ?0 的最小值为 分 (17) (本小题满分 12 分)

5? 12

, ] ,此时 f (x) 的从 ? 2 增加到 2 12 12

? 5?

5? ]( k ? Z ) 12

5? (k ? Z ) 12

………………………………8 分 ………10 分

…………………………………………………………12

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1 1 Cn ? 6C6 12(n ? 6) ? 2 Cn n(n ? 1)

解: (Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 ? 则 分

………3 分

12(n ? 6) 1 ? n(n ? 1) 2
2

…………………………………………………………………4

化简得 n ? 25n ? 144 ? 0 ,解得 9 ? n ? 16 ,故 n 的最大值为 16 (Ⅱ)由题意得, ? 的可能取值为 0 ,1 , 2 则 P(? ? 0) ?
2 6 2 12 1 6

…………… 6 分

…………………………………………7 分

?
P


C C2 5 5 C C1 6 ? , P(? ? 1) ? 2 6 ? , P(? ? 2) ? 6 ? 2 C12 11 22 C C12 22
0 1 2

5 22

6 11

5 22

………………………………………………………10

? E? ? 0 ?

5 6 5 ? 1? ? 2 ? ? 1 …………………………………………………12 分 22 11 22
z E D

(18) (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)? E、F 分别是 AD, BC 上的两点, AE ? BF ? 1

A ? 四边形 ABFE 为矩形 ? 折叠后 EF ? FC, EF ? BF ,即 EF ? 平面 BFC G 连接 GF ? AE ? 1, BF ? 1, AB ? 2 ? ?EGF ? 90? F C 由已知得 EG ? GC B x ? EG ? 平面 CFG …………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 FC ? EG ? FC ? EF ? FC ? 平面 ABFE ? FC ? BF ………………………………………7 分 方法一:如图建系 F ? xyz 则 A(1,0,2)C(0,2,0)D(0,1,2) 设 n1 = ?x, y, z ? 为平面 ACD 的法向量,? AD ? (?1,1,0),CD ? (0,?1,2) ?? x ? y ? 0 ?y ? x 得? .则令 z ? 1 得 n1 ? (2,2,1) …………………9 分 ?? ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ?

y

又 n2 ? (1,0,0) 为平面 CDEF 的法向量, 设二面角 A ? CD ? E 为 ? ,则 cos n1 , n2 ? 分 方法二:延长 CD 与 FE 的延长线交于 P 点,过 E 作 EH ? DP 垂足为 H 点, 连结 EH 、 AH ,则 ? EHA 为二面角 A ? CD ? E 的平面角, 设二面角 A ? CD ? E 为 ? ,
H E A G F D P

2 2 2 ? ,即 cos ? ? 3 4 ? 4 ?1 3

…12

3 2 由 DE =1,得 EP =2,则 EH = ,? AE ? 1,? AH ? 5 5 2 2 ? cos ?AHE ? 即 cos ? ? ……………12 分 3 3

C

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B

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(19) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题可知 f ?( ) ? 1 ,解得 a ? 1 ………1 分 故 f ( x) ? x ?

2 3

2 ( x ? 1)( x ? 2) ? 3 ln x ,? f ?( x) ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 x x2 3 2 3 ( ,2) 2
2 0

………2 分

于是可得下表:

x
f ?(x) f (x)

(2,3)
+

3

?

1 ? 3 ln 2

?

………………………………………………………3 分 于是可得: f ( x)小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 ……………………………………………………4 分

2 3 ax2 ? 3x ? 2 ? ? ( x ? 0) ………5 分 x2 x x2 2 由题可得方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为 x1、x2 ,并令
解(Ⅱ)? f ?( x) ? a ?

h( x) ? ax2 ? 3x ? 2
? ?? ? 9 ? 8a ? 0 ?? ? 9 ? 8a ? 0 ? ? ?3 3 ? ? 则 ? x1 ? x 2 ? ? 0 (也可以 ?? ? 0 ? a ? 0 ) ………………………………7 分 a ? 2a ? 2 ?h(0) ? 0 ? ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ? 9 解得 0 ? a ? ………8 分 8 2 解 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ ) f ( x) ? x ? ? 3 ln x , 故 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x( x ? 0) , x 2 F ?( x) ? 3x ? 6x ? 2( x ? 0) …………9 分 设切点为 T ( x0 , y0 ) ,由于点 P 在函数 F (x) 的图像上, (1)当切点 T 不与点 P(1,?4) 重合,即当 x0 ? 1 时.
由于切线过点 P(1,?4) ,则

y0 ? 4 2 ? 3x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 1

3 2 2 所以 x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 4 ? ( x0 ? 1)(3x0 ? 6x0 ? 2) , 3 2 化简得 x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 ,即 ( x0 ? 1) 3 ? 0 ,解得 x0 ? 1 (舍去)……12 分

(2)当切点 T 与点 P(1,?4) 重合,即 x0 ? 1 时. 则切线的斜率 k ? F ?(1) ? ?5 ,于是切线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ……………13 分 (注:若没有分“点 T 是否与点 P 重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣 1 分) (20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)证明:由题可知 2a n ?1 ? a n ? 则 a n ?1 ?

1 2 n ?1

1 1 an ? n ………………………………………………………………2 分 2 2

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? 2 n an?1 ? 2 n?1 an ? 1
故数列 2n ?1 an 是首项和公差都为 1 的等差数列 ………………………………4 分

?

?

? 2n?1 an ? n ? a n ?
(Ⅱ)由 an ?

n 2 n ?1

………………………………………………………………6 分 ………………7 分

n 2
n ?1

可知,只需证: ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 2 n ? 1

证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ?

2 ? 1 ? 1 ,右边 ? ln e ? 1 ,则左边 ? 右边; a2
……………………………………………………………10 分 …………………………………11 分
n

2 (2)当 n ? 2 时,由题可知 bn?1 ? bn ? bn 和 bn ? 0 , 2 则 bn ?1 ? bn ,?ln bn ?1 ? 2 ln bn 2

则 ln bn ? 2 ln bn ?1 ? 2 ln bn ? 2 ? ? ? 2n ?1 ln b1 ? 2n ?1

? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 1 ? 2 ? ? ? 2n ?1 ?
综上所述,当 n ? N ? 时,原不等式成立 (21) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) (1)由题可知 c双 ?

1(1 ? 2 ) ? 2n ? 1 1? 2

………………………………………………13 分

m 2 ? 3 ? m 2 ? 3 ,故双曲线的焦点为
y P x O D Q C B

F1 (? 3,0)、F2 ( 3,0) ……………………………2 分 (2)设点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) , 设直线 l : ty ? x ? a ,代入 y 2 ? 2 x 并整理得 y 2 ? 2ty ? 2a ? 0 , A ? y1 ? y 2 ? 2t 所以 ? ……………………………………3 分 ? y1 y 2 ? ?2a
故OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? a)(ty2 ? a) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? at( y1 ? y2 ) ? a 2 ? (t 2 ? 1)(?2a) ? 2at2 ? a 2

? a 2 ? 2a ? 0 解得 a ? 2 ……………………………………………………………………………5 分 x2 ? y 2 ? 1 …………………………6 分 由(1)得 c ? 3 ,所以椭圆 E 的方程为 4 (Ⅱ)判断结果: PA ? PB 恒成立.................7 分 1 2 2 证明:设 P ( x0 , y0 ) ,则 A (? x0 ,? y0 ) ,D ( x0 ,? y 0 ) , x0 ? 4 y0 ? 4 …………8 分 2 y 将直线 AD 的方程 y ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 代入椭圆方程并整理得 4 x0
2 2 2 2 2 2 (4x0 ? y0 ) x2 ? 6x0 y0 x ? 9x0 y0 ? 16x0 ? 0 ,. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9 分

由题可知此方程必有一根为 ? x0 .于是解得 xB ? 所以 yB ?

2 6 x0 y0 ? x0 , 2 2 4 x0 ? y0

2 y0 6 x0 y0 y3 ? 2x2 y ( 2 ? 2 x0 ) ? y0 ? 0 2 0 2 0 2 4 x0 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

………………………11 分

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3 2 y0 ? 2 x0 y0 ? y0 2 2 2 ? 6 x0 y0 x 4 x0 ? y0 所以 k PB ? ………………………………12 分 ? ?? 0 2 2 6 x0 y0 6 x0 y0 y0 2 2 4 x0 ? y0 x y 故 k PAk PB ? ? 0 ? 0 ? ?1 ,即 PA ? PB ………………………………………13 分 y0 x0

解法 2:判断结果: PA ? PB 恒成立 只要证 A、D、 B? 三点共线.

………………………………………………7 分

证明:过点 P 作直线 AP 的垂线,得与椭圆的另一个交点为 B? ,所以,要证 PA ? PB , 设 P ( x0 , y0 ) ,则 A (? x0 ,? y0 ) , D ( x0 ,? 将直线 PB? 的方程 y ? ?

1 2 2 y 0 ) , x0 ? 4 y0 ? 4 ..................8 分 2

x0 ( x ? x0 ) ? y0 代入椭圆方程并整理得 y0
2 2 8x0 ( x0 ? y0 ) 4 x3 ? 7 x y 2 ? x0 ? 0 2 02 0 , 2 2 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

2 2 2 2 2 2 2 (4x0 ? y0 ) x2 ? 8x0 ( x0 ? y0 ) x ? 4( x0 ? y0 )2 ? 4 y0 ? 0 ............ ...... ................10 分

由题可知此方程的一根为 x0 ,解得 xB? ? 所以 yB? ? y0 ? 则

3 2 x0 4 x0 ? 7 x0 y0 y3 ? 2x2 y ?( ? x0 ) ? 0 2 0 2 0 2 2 y0 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

…………………………11 分

k AB?

3 2 2 2 3 2 y0 ? 2 x0 y0 8x0 ( x0 ? y0 ) 2 y0 ? 2 x0 y0 y ?( ? y0 ) ? ( ? x0 ? x0 ) ? ? 0 …………12 分 2 2 2 2 2 2 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0 8x0 ( x0 ? y0 ) 4 x0 1 ? y0 ? y0 y ? 0 ,所以 k AD ? k AB? ,故 A、D、B? 三点共线. 又 k AD ? 2 x0 ? x0 4 x0

∴ PA ? PB 分

……………………………………………………………………………13

解法 3:判断结果: PA ? PB 恒成立................7 分 证明:设 B( x1 , y1 )、P( x0 , y0 ) ,则 A(? x0 ,? y0 ) ,

2 y12 ? y0 1 ? ? ,故 kBA ? kBP 2 2 x1 ? x0 4 1 ? y0 ? y0 y 1 y x ? 0 ,代入上式可得 k PB ? ? ? 0 ? ? 0 又 k AB ? k AD ? 2 x0 ? x0 4 x0 4 4 x0 y0

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 0 ? y0 ? 1 ,两式相减得 4 4 2 y ? y0 y1 ? y0 y12 ? y0 1 ……………………10 分 ? 1 ? ? 2 ?? 2 x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0 4
…12 分

所以 k PAk PB ?

y0 x0 (? ) ? ?1,即 PA? PB ………………………………………13 分 x0 y0

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