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2018高三数学 求数列前n项和的8种常用方法


2018 高三数学 求数列前 n 项和的 8 种常用方法 一.公式法(定义法) : 1.等差数列求和公式: n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2 特别地,当前 n 项的个数为奇数时, S2k ?1 ? (2k ? 1) ? ak ?1 ,即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公 式在很多时候可以简化运算; 2.等比数列求和公式: (1) q ? 1 , Sn ? na1 ; (2) q ? 1 , Sn ? a1 1 ? q n ? 1? q 3.可转化为等差、等比数列的数列; 4.常用公式: n ? ,特别要注意对公比的讨论; 1 (1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ? L ? n ? n(n ? 1) ; k ?1 n 2 (2) ? k 2 ? 12 ? 22 ? 32 ? L ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ?? n(n ? )(n ? 1) ; k ?1 n 1 1 6 3 1 2 (3) ? k 3 ? 13 ? 23 ? 33 ? L ? n3 ? [ k ?1 n k ?1 n(n ? 1) 2 ]2 ; (4) ? (2k ? 1) ? 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ?1) ? n2 . ?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? x n 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 解:由 log3 x ? ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2 例 1 已知 log3 x ? Sn ? x ? x2 ? x3 ? L ? xn 1 1 (1 ? n ) n x (1 ? x ) 2 = =2 1 1? x 1? 2 1 =1- n 2 Sn 例 2 设 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , n ? N * ,求 f (n) ? 的最大值. (n ? 32) S n ?1 1 1 解:易知 S n ? n(n ? 1) , S n ?1 ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2 n Sn ∴ f ( n) ? = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64 1 1 1 ? = = 64 8 2 50 n ? 34 ? ( n? ) ? 50 n n 1 8 ∴ 当 n? ,即 n ? 8 时, f (n) max ? . 50 8 二.倒序相加法:如果一个数列 ?an ? ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那 由等比数列求和公式得 1 么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前 n 项和即是用此法推导的,就是 将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 例 3 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? ????① 将①式右边反序得 S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ????② (反序) ? 2 2 又因为 sin x ? cos(90 ? x),sin x ? cos x ? 1 ①+②得 (反序相加) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2


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