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2015年高二数学椭圆双曲线专项练习含答案


高二数学椭圆双曲线专项练习
选择题: 1、双曲线 x2-ay2=1 的焦点坐标是( A.( 1 ? a , 0) , (- 1 ? a , 0) ) B.( 1 ? a , 0), (- 1 ? a , 0)

C.(-

a ?1 a ?1 , 0),( , 0) a a

D.(-

a

?1 a ?1 , 0), ( , 0) a a


2、设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ? A.5 B. 5 /2

1 x ,则该双曲线的离心率为( 2
D.5/4

C. 5

3.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则 | PF2 | = 4
) A. 3 /2 B. 3 C.4 了 D.7/2



4 .过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 °的直线交椭圆于 A, B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的离心率等于 ( ) A

2 3

B

2 2

C

1 2

D

2 3

5.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2 15 y 2
B.y=±

A.x=±

15 x 2

C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4

x2 2 6.设 F1 和 F2 为双曲线 ? y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积 4
是( ) A.1 B.

5 2

C.2

D.

5

7.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有( A. e1e2 ? 2 B. e1 ? e2 ? 4
2 2

) C. e1 ? e2 ? 2 2 D.

1 1 ? 2 ?2 2 e1 e2


y2 x2 8.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( | m | ?1 2 ? m
A.m<2 B.1<m<2 C.m<-1 或 1<m<2 D.m<-1 或 1<m<

3 2

9.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 - =1 和椭圆 + =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、b、m 为边长的三 a2 b2 m2 b2
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
2

角形是( )
2

10.椭圆

1 x y ? ? 1 上有 n 个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列{|PnF|}是公差大于 的 100 4 3
) A.198 B.199 C.200 D.201

等差数列, 则 n 的最大值是( 一、填空题:

11.对于曲线 C∶

x2 y2 ? =1,给出下面四个命题:①由线 C 不可能表示椭圆;② 4 ? k k ?1

当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆;③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴 上的椭圆,则 1<k<

5 2

其中所有正确命题的序号为_______ ______

12.设圆过双曲线

x2 y2 =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心距离__ ? 9 16

x2 y2 13.双曲线 =1 的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离____ ? 9 16
14.若 A(1,1),又 F1 是 5x2+9y2=45 椭圆的左焦点,点 P 是椭圆的动点,则|PA|+|P F1|的最小值_______ 15、已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sinB-sinC= 二、解答题: 16、设椭圆方程为 x ?
2

3 sinA,则顶点 A 的轨迹方程是 5

y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足 4

OP ?

?

? 1 ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

17、已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直 a2 b2

于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.



18、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好 a2 b2

通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量.(1)求椭圆的离心率 e;(2)设 Q 是椭圆上任意 一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。

(1) 求双曲线 C 的方程;(2) 若直

线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范 围。

20、已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . (1)求双 2 3 2 a b 曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心
的圆上,求 k 的值.

x2 8y2 3 21、设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 2 a b
到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的 动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的 两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2

参考答案:
1、双曲线 x2-ay2=1 的焦点坐标是( C ) A.( 1 ? a , 0) , (- 1 ? a , 0) B . ( 1 ? a , 0), ( -

1 ? a , 0)

C.(-

a ?1 a ?1 , 0),( , 0) a a

D.(-

a ?1 a ?1 , 0), ( , 0) a a

2、设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ? A.5 B. 5 /2

1 x ,则该双曲线的离心率 e( B ) 2
D.5/4

C. 5

3.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则 | PF2 | = 4



D ) A. 3 /2

B. 3

C.4

D.7/2

4 .过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 °的直线交椭圆于 A, B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的离心率等于 (D )A

2 3

B

2 2

C

1 2

D

2 3

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点, 那么双曲线的渐近线方程是 ( D ) A. x ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2 15 15 3 3 =± C.x=± D.y=± y B.y=± x y x 2 2 4 4
5. 已知椭圆 解:由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上,∴椭圆焦点(

3m2 ? 5n 2

,0),双曲线焦点(

2m2 ? 3n 2



0),∴3m2-5n2=2m2+3n2∴m2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=±

6? | n | ?x∴代入 m2=8n2,|m|=2 2 |n|,得 y= 2|m|

±

3 x. 4
x2 2 ? y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积 4
B.

6.设 F1 和 F2 为双曲线

是(A

)A.1

5 2

C.2

D.

5

解:由双曲线方程知|F1F2|=2

5 ,且双曲线是对称图形,假设 P(x,

x2 ? 1 ),由已知 F1P⊥F2 P,有 4

x2 x2 ?1 ?1 24 1 4 4 ? ? ?1 ,即 x 2 ? ,S ? ?2 5? 5 2 x? 5 x? 5

x2 ? 1 ? 1, 4

7.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有( D A. e1e2 ? 2
2 2 B. e1 ? e2 ?4



C. e1 ? e2 ? 2 2 D.

1 1 ? 2 ?2 2 e1 e2
( D )

y2 x2 8.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 | m | ?1 2 ? m
A.m<2 B.1<m<2 C.m<-1 或 1<m<2

D.m<-1 或 1<m<

3 2

9.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 - =1 和椭圆 + =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、b、m 为边长的三 a2 b2 m2 b2
)A.锐角三角形 B.直角三角形
2

角形是( B
2

C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形

10.椭圆

1 x y ? ? 1 上有 n 个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列{|PnF|}是公差大于 的 100 4 3
) A.198 B.199 C.200 D.201

等差数列, 则 n 的最大值是( C 二、填空题: 11.对于曲线 C∶

x2 y2 ? =1,给出下面四个命题:①由线 C 不可能表示椭圆;②当 1<k<4 时,曲线 4 ? k k ?1
5 2


C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线, 则 k<1 或 k>4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 1<k<

中所有正确命题的序号为_______ ______③④;

x2 y2 12.设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦 ? 9 16
16 ? 7 c?a 5?3 x2 y2 ? =4,代入 =1,得 y02= , ? 2 2 9 9 16

点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是______16/3; 解:如图 8—15 所示,设圆心 P(x0,y0),则|x0|=

∴|OP|=

x0 ? y 0 ?
2 2

16 . 3

13. 双曲线

x2 y2 ? =1 的两个焦点为 F1、 F2, 点 P 在双曲线上, 9 16

若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离为

.16/5;

解:设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),a=3、b=4、c=5,∴m-n=6 m2+n2=4c2,m2+n2-(m-n)2=

m2+n2-(m2+n2-2mn)=2mn=4?25-36=64,mn=32. 又利用等面积法可得:2c?y=mn,∴y=16/5. 14.若 A 点坐标为(1,1),F1 是 5x2+9y2=45 椭圆的左焦点,点 P 是椭圆的动点,则|PA|+|P F1|的最小值是 _______ ___. 6 ?

2;
3 sinA,则顶点 A 的轨迹方程是 5

15、已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sinB-sinC=

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?3) 9 16
三、解答题: 16、设椭圆方程为 x ?
2

y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足 4

OP ?

?

? 1 ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2, y2),联立并消元得:(4+k2)x2+2kx-3=0, x1+x2=-
? ? 2k 8 1 ? , OP ? ( OA ? OB ) y + y = ,由 1 2 2 4? k2 4? k2

得:

x ? x2 k ? x? 1 ?? ? 1 ? 2 4? k2 (x,y)= (x1+x2,y1+y2),即: ? 2 ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ?
消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0. 图

x2 y2 17、已知 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直 a b
于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程. 解:(1)设 F2(c,0)(c>0),P(c,y0),则

b2 c 2 y0 =1 .解得 y = ± ? 0 a a2 b2

2

∴|PF2|=

b2 ,在直角三 a


b2 角形 PF2F1 中,∠PF1F2=30°解法一:|F1F2|= 3 |PF2|,即 2c= 3 ,将 c2=a2+b2 代入,解得 b2=2a2 a
法二:|PF1|=2|PF2|,由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a.

b2 b2 ∵|PF2|= ,∴2a= ,即 b2=2a2, a a



b ? 2 a

故所求双曲线的渐近线方程为 y=±

2 x.

18、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好 a2 b2

通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量.(1)求椭圆的离心率 e;(2)设 Q 是椭圆上任意 一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围; 解:( 1 )∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M

?

b2 b 2 ? ? ,∴b=c,故 e ? .(2)设 ac a 2 ? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

b2 b2 b ? , OM与 AB 是共线向量,∴ ,∴ k OM ? ? .∵ k AB ? ? a ac a F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r ?r 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( 1 2 )2 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] . 2 cos ? ?
19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) (1) 求双曲线 C 的方程;(2) 若直线 l:

y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
解: (Ⅰ) 设双曲线方程为 故双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0). 由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3 ?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 ??? ? ??? ? 6 2k ?9 xA ? xB ? , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2
?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? (k ? 1) ? 2k ?2? 2 . 于是 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ② 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 3 3 ? k 2 ? 1. 由①、②得 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). 3 3 3
2

x2 y2 2 3 3 . (1)求双 20、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 3 2 a b

曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心 的圆上,求 k 的值. ab ab 3 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 d ? a 2 ? b 2 ? c ? 2 . . 故所 a b a 3 ? b ? 1, a ? 3. 2 求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.
3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x2 15k 5 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ? x0 ? ky0 ? k ? 0, y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 .

x2 8y2 3 21、设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 2 a b
到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并 记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似 a2 b2

特性的性质,并加以证明. 解:(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.又点 A

( ) 3 x2 y2 1 (1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1.所以椭圆 C 的方程为 =1,焦点 F1(-1, ? 2 2 b 4 3 ? 1 ? x1 y ,y? 1 , 0) , F2 (1, 0) (2) 设椭圆 C 上的动点为 K (x1, y1) , 线段 F1K 的中点 Q (x, y) 满足: x ? 2 2
即 x1=2x+1,y1=2y. 因此

3

2

(2 x ? 1) 2 (2 y) 2 1 2 4y2 =1.即 ( x ? ) ? ? ? 1 为所求的轨迹方程.(3)类似的性质为:若 M、N 是双曲 4 3 2 3

x2 y2 线: 2 ? 2 =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并 a b
记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 设点 M 的坐标为(m,n),则点 N 的坐标

y?n y?n m2 n2 , k PN ? 为(- m ,- n ),其中 2 ? 2 =1. 又设点 P 的坐标为( x , y ),由 k PM ? ,得 x?m x?m a b

kPM?kPN=

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 2 b2 2 2 b2 2 2 2 ,将 m - b 代入得 k ? k = . ? ? 2 y ? x ? b , n ? PM PN a2 x ? m x ? m x ? m2 a2 a2


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