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5.备课资料(2.2 函数的表示法)


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备课资料 [备选例题] 【例 1】2006 第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,8 区间[0,m]在映射 f:x→2x+m 所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大 5,则 m 等于( ) A.5 B.10 C.2.5 D.1 分

析:函数 f(x)=2x+m 在区间[0,m]上的值域是[m,3m], 则有[m,3m]=[a,b], 则 a=m,b=3m, 又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大 5, 则有 b-a=(m-0)+5, 即 b-a=m+5, 所以 3m-m=m+5, 解得 m=5. 答案: 答案:A 【例 2】2005 湖南数学竞赛,11 设 x∈R,对于函数 f(x)满足条件 f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有 的 x∈R,f(x2-1)=_________. 分析:(换元法)设 x2+1=t, 则 x2=t-1, 则 f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7, 即 f(x)=x2+3x-7. 所以 f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9. 答案: 答案:x4+x2-9 [知识总结] 1.函数与映射的知识记忆口诀: 函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连; 函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见; 对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集. 2.映射到底是什么?怎样理解映射的概念? 剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解:(1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、 解 点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不一 样的;(3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应,而这个与之对应 的元素是唯一的,这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射 的核心;(4)映射允许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应;(5)映射允许集合 A 中不同 的元素在集合 B 中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”;(6) 映射是特殊的对应,函数是特殊的映射. 3.函数与映射的关系 函数是特殊的映射,对于映射 f:A→B,当两个集合 A、B 均为非空数集时,则从 A 到 B 的映射 就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数. (设计者:林大华 设计者: 设计者 林大华)

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