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11-2复数的概念与运算


11-2 复数的概念与运算 基础巩固强化 2-i 1.(2011· 安徽皖南八校联考)复数 z 满足 z= ,则-等于( z 1-i A.1+3i 3 1 C.2-2i [答案] C 2-i ?2-i??1+i? 3+i [解析] ∵z= = = 2 , 2 1-i 3 1 ∴-=2-2i,故选 C. z i 2.(2012· 哈三中二模)已知复数 z= ,则复平面内表示复数 z

2-3i 的点位于( ) B.第二象限 D.第四象限 B.3-i 1 3 D.2+2i )

A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 2 13). z=

i?2+3i? -3+2i i 3 = = 13 ,对应点为(-13 , 2-3i ?2-3i??2+3i?

3.(文)(2013· 武汉市部分学校 12 月联考)投掷两颗骰子,其向上 的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)2 为纯虚数的概率为( 1 A.3 [答案] C [解析] ∵(m+ni)2=m2-n2+2mni 为纯虚数, ∴m2-n2=0,∴m=n, 1 B.4 1 C.6 1 D.12 )

(m, n)的所有可能取法有 6×6=36 种, 其中满足 m=n 的取法有 6 种, 6 1 ∴所求概率 P=36=6. (理)(2012· 陕西理,3)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是 b “复数 a+ i 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] 由 ab=0 知 a=0 或 b=0,当 a=0 时,若 b≠0,则复 b b b 数 a+ i 为纯虚数,否则 a+ i 为实数,反之若 a+ i 为纯虚数,则 b≠0 b 且 a=0,则 ab=0,故“ab=0”是“a+ i 为纯虚数”的必要不充分 条件. 4 4.(2012· 东北三校模拟)已知 z=1-i(i 是虚数单位),则 z +z2= ( ) A.2 [答案] A [解析] ∵z=1-i, 4?1+i? 4 4 ∴ z +z2= +(1-i)2= -2i=2. 1-i ?1-i??1+i? - z 5.(2012· 洛阳市示范高中联考)已知 =2-i(-是 z 的共轭复 z 1+2i 数),则复数 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 ) B.2i C.2+4i D.2-4i ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.第二象限

C.第三象限 [答案] D [解析]

D.第四象限

∵-=(1+2i)(2-i)=2+4i-i+2=4+3i,∴z=4-3i z

在复平面内对应点(4,-3)位于第四象限. 2+i 6.(2011· 温州八校期末)若 i 为虚数单位,已知 a+bi= (a,b 1-i ∈R),则点(a,b)与圆 x2+y2=2 的关系为( A.在圆外 C.在圆内 [答案] A 2+i ?2+i??1+i? [解析] ∵a+bi= = 2 1-i 1 3 =2+2i(a,b∈R), )

B.在圆上 D.不能确定

?a=1 ? 2 ∴? 3 ?b=2 ?
? ? ? ?



?1? ?3? 5 ∵?2?2+?2?2=2>2, ?1 3? ∴点 P?2,2?在圆 x2+y2=2 外,故选 A. ? ?

7.(2011· 无为中学月考)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3 → → → -2i,它们所对应的点分别为 A、B、C.若OC=xOA+yOB,则 x+y 的值是________. [答案] 5 → → → [解析] ∵OC=xOA+yOB, ∴(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i),

?-x+y=3 ?x=1 ? ? ? ∴ ,解得? ,故 x+y=5. ? ? ?2x-y=-2 ?y=4

8. i 为虚数单位, 设 复数 z=(3+4i)(cosθ+isinθ), z∈R, 若 θ≠kπ π +2,则 tanθ 的值为________. 4 [答案] -3 [解析] ∵z=(3+4i)(cosθ+isinθ)=(3cosθ-4sinθ)+(4cosθ+

3sinθ)i∈R,∴4cosθ+3sinθ=0, π 4 ∵θ≠kπ+2,∴cosθ≠0,∴tanθ=-3. 9.一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续 抛掷两次,记第一次向下的面上数字为 a,第二次向下的面上数字为 b,设复数 z=a+bi,则 z 的对应点在第二象限的概率为________. 1 [答案] 8 [解析] 若 z=a+bi 的对应点在第二象限,则 a<0,b>0,这样 的点有 2 个,即(-1,1),(-1,2),∴所求概率为 P= 2 1 =8. 4×4

a2-7a+10 10.已知复数 z= +(a2-5a+6)i(a∈R).试求实数 a a-2 分别为什么值时,z 分别为: (1)实数; [解析] (2)虚数; (3)纯虚数.

?a2-5a+6=0, ? (1)当 z 为实数时,? ∴a=3, ? ?a-2≠0.

∴当 a=3 时,z 为实数.
?a2-5a+6≠0, ? (2)当 z 为虚数时,? ∴a≠2 且 a≠3, ?a-2≠0. ?

故当 a∈R,a≠2 且 a≠3 时,z 为虚数.

?a -5a+6≠0, ?2 (3)当 z 为纯虚数时,?a -7a+10=0, ?a-2≠0. ?
2

∴a=5,故 a=5 时,z 为纯虚数. 能力拓展提升 11.(文)(2011· 东北四市统考)已知复数 z1=cos23° +isin23° 和复数 z2=cos37° +isin37° ,则 z1·2 为( z 1 3 A.2+ 2 i 1 3 C.2- 2 i [答案] A [解析] z1·2 = cos23° z cos37° sin23° - sin37° (sin37° + cos23° + ) 3 1 B. 2 +2i 3 1 D. 2 -2i

1 3 cos37° sin23° )i=cos60° sin60° 2+ 2 i,故选 A. +i· = (理)若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位), 则使 z2=-1 的 θ 值可能是 ( ) π A.6 π C.3 [答案] D
?cos2θ=-1 ? [解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴? . ? ?sin2θ=0

π B.4 π D.2

∴2θ=2kπ+π (k∈Z), π ∴θ=kπ+2.令 k=0 知,D 正确.

12.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数 m 等于( A.1 C. 2 [答案] B B.-1 D.- 2

)

[解析] ∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i 是实数,m∈R, ∴由 a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b=0, 得 m3+1=0,即 m=-1. 3+i 13.(2011· 南通调研)若复数 z 满足 z+i= i ,则|z|=________. [答案] 17

3+i [解析] ∵z= i -i=-3i+1-i=1-4i, ∴|z|= 17. 14.在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第______象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π<10< 2 ,∴cos10<0,sin10<0, ∴z 的对应点在第三象限. 15.(文)设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当实数 m 取 何值时. (1)z 是纯虚数. (2)z 是实数. (3)z 对应的点位于复平面的第二象限. [解析]
?lg?m2-2m-2?=0, ? (1)由题意知? 2 ?m +3m+2≠0. ?

解得 m=3.所以当 m=3 时,z 是纯虚数. (2)由 m2+3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2,

又 m=-1 或 m=-2 时,m2-2m-2>0, 所以当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数.
?lg?m2-2m-2?<0, ? (3)由? 2 ? ?m +3m+2>0.

解得:-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3. 1 (理)设 z 是虚数,ω=z+ z 是实数,且-1<ω<2. (1)求 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,那么 u 是不是纯虚数?并说明理由. 1+z [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0),
? a ? ? b ? 1 ω=a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i, a+bi ? ? ? ?

b ∵ω 是实数,∴b- 2 2=0. a +b 又 b≠0,∴a2+b2=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴-2<a<1,
? 1 ? 即 z 的实部的取值范围是?-2,1?. ? ?

1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = i, 2 2 =- 1+z 1+a+bi ?1+a? +b a+1 1 ∵-2<a<1,b≠0,∴u 是纯虚数. 16 . 将 一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ( 六 个 面 的 点 数 分 别 为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的 点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概 率;

(2)求点

?a-b+2≥0 ? P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4 ?b≥0 ?

表示的平面区域内

(含边界)的概率. [解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i =a+(b-3)i 为实数,则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,故 b=3 的概率为6. 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为6. (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果.

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界). 由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、

(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、 (4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a, b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P=36=2.

1.(2011· 罗源一中月考)已知复数 z1 =cosα+isinα,z2=sinβ+ - icosβ,(α,β∈R),复数 z=z1· 2 的对应点在第二象限,则角 α+β z 所在象限为( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析]

∵z=(cosα+isinα)· (sinβ-icosβ)=sin(α+β)-icos(α+β)

的对应点在第二象限,
?sin?α+β?<0 ? ∴? ,∴角 α+β 的终边在第三象限. ? ?-cos?α+β?>0

2.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若 a 复数b∈R,则实数 x 的值为( A.-6 8 C.3 [答案] C [解析] a 3+2i ?3+2i??4-xi? 12+2x ? 8-3x ? ?· = +? i∈R,∴ b = 4+xi = 16+x2 16+x2 ?16+x2? ) B.6 8 D.-3

8-3x 8 2=0,∴x= . 3 16+x

2+ai 3. 若复数 (a∈R)是纯虚数(i 是虚数单位), a 的值为( 则 1-i A.-2 C.1 [答案] D [解析] B.-1 D.2

)

2+ai ?2+ai??1+i? ?a+2?i+?2-a? = = 为纯虚数,∴ 2 1-i ?1-i??1+i?

?2-a=0 ? ? ,∴a=2. ? ?a+2≠0

4.若 i 是虚数单位,则满足(p+qi)2=q+pi 的实数 p、q 一共有 ( ) A.1 对 C.3 对 [答案] D [解析] 由 (p+ qi)2 = q+ pi 得 (p2 - q2)+ 2pqi= q+ pi,所 以 B.2 对 D.4 对

?p2-q2=q, ?p=0 ?p=0 ? ? ? ? ? 解得 ,或? , ?2pq=p. ?q=0 ?q=-1 ? ? ?

?p= 23 或? 1 q=2, ?
4 对.

?p=- 23 或? 1 q=2, ?

因此满足条件的实数 p、q 一共有

3+4i - 5.(2012· 昆明第一中学检测)已知复数 z= , z 是 z 的共轭 1-2i 复数,则|-|为( z 5 5 A. 3 ) 221 B. 5

C. 5 [答案] C [解析] ∵z=

D.5

3+4i ?3+4i??1+2i? -5+10i = = =-1+2i,∴- z 5 1-2i ?1-2i??1+2i?

=-1-2i,∴|-|= 5. z 6.(2012· 山西联考)设复数 z 的共轭复数为-,若 z=1-i(i 为虚 z - z 数单位),则 z +z2 的值为( A.-3i C.i [答案] D [解析] i,选 D. 7.关于 x 的不等式 mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(- 5 3,2),则复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第________象限. [答案] 三 5 [解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-3,2), - 1+i ?1+i?2 z 2 2 依题意得 z +z = +(1-i) = 2 -2i=i-2i=- 1-i ) B.-2i D.-i

?m<0, n ??-5?+2= >0, m ∴? 3 p ??-5?×2=m<0. ? 3

∵m<0,∴p>0,n<0.

故复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第三象限. 8.(2011· 上海文,19)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚

数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·2 是实数,求 z2. z [解析] 设 z1=(a+2)+bi,a,b∈R, ∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴a-b+(b+a)i=1-i.
? ? ?a-b=1, ?a=0, ∴? ∴? ∴z1=2-i. ?a+b=-1, ?b=-1. ? ?

又设 z2=c+2i,c∈R,则 z1z2=(2-i)(c+2i)=(2c+2)+(4-c)i, ∵z1z2∈R,∴4-c=0,c=4,∴z2=4+2i.


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