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2012


广东省东莞市 2012 届高三理科数学模拟试题(一)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分。满分 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是 符合题目要求的.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 P ? x | x ? 1 ,那么 CU P ?

?

?

D D. ?

??, ?1?

A. ? ??, ?1?

B. ?1, ?? ?

C. ? ?1,1?

?1, ???

2.设 i 为虚数单位,复数 A.- 1

a?i 是纯虚数,则实数 a 等于 A 1? i
C. 2 D B.“ a ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 D.“x<2”是“|x|<2”的充分非必要条件 D. ?

B.1

2

3.下列命题中的假命题 是 ... A. ?x ? R, x 3 ? 0 C. ?x ? R,2 ? 0
x

4.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形, 其正视图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为 A. 8 B. 4 C. 4 3 D. 3 1 1 C

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ? 1) ? 0.5 , 则实数 a 的值为 A A. 1 B. 3 C. 2 D.4
开始 S=0 i=2

正视图

6.右图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序 ? ? ??? 2 4 6 100

框图,则判断框中应该填入的条件是 A. i>98 B i?98.
2

C. i?100

D. i>100
Y S=S+1/i i=i+2 图2

N

7.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的 距离与到直线 x ? ?1 的距离和的最小值是 A. 5 B. 3 C.2 D. 2
·1 ·

输出S 结束

8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120 个 B.80 个 C.40 个 D. 20 个

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

? e x , x ? 0. 1 9. 设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? _________. 2 ?lnx, x ? 0.
10.从圆(x-1) +(y-1) =1 外一点 P(2,3)向这个圆引切线,则切线长为________. 11.命题: “若空间两条直线 a , b 分别垂直平面 ? ,则 a // b ”学生小夏这样证明: 设 a , b 与面 ? 分别相交于 A 、 B ,连结 A 、 B ,
2 2

? a ? ? , b ? ? , AB ? ? ?①
∴ a ? AB, b ? AB ∴ a // b ????②

?????????③

这里的证明有两个推理,即:① ? ②和② ? ③. 老师评改认为 小夏的证明推理不正确,这两个推理中不正确的是 .

12 . 设 ?lg an ? 成 等 差 数 列 , 公 差 d ? lg3 , 且 ?lg an ? 的 前 三 项 和 为 6 lg 3 , 则 ?an ? 的 通 项 为 ___________.

13.若不等式组

? y ? x, ? ? y ? ? x, ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

表示的平面区域 M , x ? y ? 1所表示的平面的区域为 N,现随机
2 2

向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为_____________. 14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ?

? x ? 2t ? 2a ( t 为参数) , ? y ? ?t

曲 线 C2 : ?

? ? x ? 2 cos ( ? 为 参 数) .若 曲线 C1 、 C2 有 公 共点 ,则 实数 a 的 取 值范 围 ? ? y ? 2 ? 2 sin

__________. 15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 8 , C 为圆周上一点,
·2 ·

BC ? 4 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作直线 l 的垂线 AD , D
为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 AE 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关 系式为:p=24200-0.2x2,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元).问该厂每月生产多少吨产 品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(注:利润=收入─成本)

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3 (其中 ? ? 0 ) ,直线 x ? x1 、 x ? x2 是

y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
⑴求 ? 的值; ⑵若 f (a ) ?

? . 2

2 5? ? 4a) 的值. ,求 sin( 3 6

·3 ·

18. (本小题满分 14 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ?

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二 2

局比赛结束时比赛停止的概率为 (1)求 p 的值;

5 . 9

(2)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

19. (本小题满分 14 分) 已知斜三棱柱 ABC ? A 1 B 1C 1 的底面是直角三角形, ?ACB ? 90 ,侧棱与底面所成角为 ? ,点

B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上.
(1)求证: AC ? 平面 B B1C1C ; (2)若 cos ? ? ,且当 AC ? BC ? AA 1? 3 时, 求二面角 C ? AB ? C1 的大小.

1 3

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ?1? , 焦点在 x 轴上, 中心在原点. 若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的 取值范围.

·4 ·

21. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , a2 ? 5 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? , 令

bn ?

1 . an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 f ? x ? ? 2x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ?

1 . ? bn f ? n ? ? ( n ≥1 ) 6

·5 ·

东莞市 2012 届高三理科数学模拟试题(一) 参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 1 D 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C

1 ; 2

10.2 ;

11.② ? ③;

12. a n ? 3 ;
n

3? 13. 64 ;
三、解答题

14. [2 ? 5,2 ? 5 ] ;

15 .4

16. (本小题满分 12 分) 解:每月生产 x 吨时的利润为
f ( x) ? (24200 ? 1 2 x ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x3 ? 24000 x ? 50000 5
5 5

( x ? 0)

5分 7分

由 f ?( x) ? ? 3 x 2 ? 24000 ? ? 3 ( x ? 200 )( x ? 200 ) 得当 当 0 ? x ? 200 时, f ?( x) ? 0,

x ? 200 时, f ?( x) ? 0,
10 分

∴ f ( x) 在(0,200)单调递增,在(200,+∞)单调递减,

1 故 f ( x) 的最大值为 f (200 ) ? ? (200 ) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:⑴ f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
3

) ??2 分,

T ? 2?

?
2

? ? ??3 分,
·6 ·

T ?

2? ? ? , 2? ?

所以 ? ? 1 ??4 分, ⑵ f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由 f (a) ?

?
3

),

2 ? 1 得 sin( 2? ? ) ? ??8 分, 3 3 3

sin(

? 5? 3? ? ? ? 4? ) ? sin[ ? 2(2? ? )] ? ? cos 2(2? ? ) (或设 ? ? 2? ? , 3 6 2 3 3 ?
3


则 2? ? ? ? 从而 sin(

5? 3? ? 4? ? ? 2? , 6 2

5? ? 4? ) ? ? cos 2 ? )??10 分 6
? 2 sin 2 (2? ?
??

?
3

) ? 1 ?11 分,

7 ??12 分 9

18. (本小题满分 14 分) 解 (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p ? (1 ? p) ?
2 2

5 , 9

解得 p ? 又p?

1 2 或p? . 3 3

1 2 ,所以 p ? .???????6 分 2 3

(2)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

5 P (? ? 2) ? , 9

5 5 20 P (? ? 4) ? (1 ? ) ? ? , 9 9 81 5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81
所以随机变量 ? 的分布列为:
·7 ·

?

2
5 9

4
20 81

6

P

16 81

所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? .??????12 分 9 81 81 81

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴ B1D ? 平面 ABC ,

AC ? 平面 ABC ,∴ B1 D ? AC 又∵ ?ACB ? 90 ∴ BC ? AC , B1 D I BC ? D ,
∴ AC ? 平面 BB1C1C .????4 分 (2)以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为 y 轴,过 C 点且垂直于 平面 ABC 的直线为 z 轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A(3, 0, 0) , B(0,3, 0) ,

C1 (0, ?1,2 2) , AB ? (?3,3,0) ,

uu u r

uuu r BC1 ? (0, ?4,2 2) .显然,平面 ABC
的法向量 n ? (0,0,1) .????7 分 设平面 ABC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

uuu r ? ? ?m ? AB ? 0 ??3x ? 3 y ? 0 由 ? uuu ,即 ? , r ? 4 y ? 2 2 z ? 0 ? m ? BC ? 0 ? ? 1 ?

m ? ( 2, 2,2)
∴ cos ? n, m ??

????12 分

2 , ? n, m ?? 45? 2
????14 分

∴二面角 C ? AB ? C1 的大小是 45? .

20. (本小题满分 14 分)
·8 ·

解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F a2

?

a 2 ? 1,0

?,

a2 ?1 ? 2 2
由题设

2

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,…4 分

x2 ? y 2 ? 1 。……………5 分 故所求椭圆的方程为 3
设 P ? xP , yP ?、M ? xM , yM ?、N ? xN , yN ? ,P 为弦 MN 的中点,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3
直线与椭圆相交,

?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,① ………8 分
2

? xP ?

xM ? x N m 3mk ?? 2 ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 3k ? 1 , 2 3k ? 1

? k AP

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ,又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则: ? ?? xP 3mk
②………………………10 分

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , 3m k k

2 把②代入①得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , …………………………12 分

1 2m ? 1 ? 0 ,解得 m ? .…… ……………………………13 分 2 3 1 综上求得 m 的取值范围是 ? m ? 2 . ………………………………14 分 2
由②得 k ?
2

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? ∴ an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? -------2 分 -------3 分

? ? a3 ? a2 ? ? a2

·9 ·

? 2n?1 ? 2n?2 ?

? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ?

? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3? ----5 分
-------7 分

检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 . (2)由于 bn f ? n ? ?

n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 2 2 ? 1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ?

-------10 分 故 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ?
1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 23 ? 1 ?? ? 1 ?? n ? n?1 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

---------12 分

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? ? ? ? . 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6

---------14 分

·10·

广东省潮州市 2012 届高三第一次适应性测试

数学试题(理科)
命题者:潮州市教育局高考专项组 2012-2

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

V ?

1 Sh 3

P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 次的概率 棱台的体积公式
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k (k ? 0,1,2,?, n)

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高

球的表面积公式
S ? 4?R 球的体积公式
2

4 V 球 ? ?R 3 3
1.已知 i 是虚数单位,则

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1 1 ? ? 1? i 1? i A. i B. ?i 2.设集合 A, B ,则 A ? B 是 A I B ? A 成立的

( C. 1 D. ?1 (





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 r r r r r r r r r r 3.已知 i , j 是互相垂直的单位向量,设 a ? 4i ? 3 j, b ? 3i ? 4 j ,则 a ? b A.25 C.5 B.24 D.0
·11·





4.如图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个 ? ? ?L ? 2 4 6 2012


开 始

程序框图,则判断框内应填入的条件是( A. i ? 1005 B. i ? 1005 i ? 1006 C. D. i ? 1006
n

i=1, s=0
否 ) 是 输出 S 结 束

a 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 5, an an?1 ? 2 ,则 7 ? ( a3
A.2 C.5 B. 4

5 D. 2

s=s+

1 2i

?y ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足 ? y ? x ? 1 ? 0 ,若 z ? y ? ax ? y ? 2x ? 4 ? 0 ?
取得最大值时的最优解 ( x, y ) 有无数个,则 a 的值为 A.2 B.1 C.0

i=i+1

( D. ?1



7 . 若 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2my ? m ? 6 ? 0 与 y 轴 的 两 交 点 A, B 位 于 原 点 的 同 侧 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是

( ) A. m ? ? 6 B. m ? 3 或 ?6 ? m ? ?2 C. m ? 2 或 ? 6 ? m ? ? 1 D. m ? 3 或 m ? ? 1 8.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒 子中至少有 1 个小球,且每个盒子中的小球个数都不同 则共有( )种不同放法 A.15 B.18 C.19 D.21 9.一个直角三角形的周长为 l ,面积为 S,给出: ①(6,2) ; ②(25,5) ; ③(10,6) ; ④ 其中可作为 (l , S ) 取值的实数对的序号是 A.① ② B. ① ③ C.③ ④ D.② ④ 10.如图,直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱 长为 4, C 在平面 ? 内, B 是直线 l 上的动点,则当 O 到 AD 的 距离为最大时,正四面体在平面 ? 上的射影面积为 ( )
[来源:学_科_网]

? 2,3 ? 2 2 ? .

l A D B



?
O C

A. 4 ? 2 2 C. 4

B. 2 2 ? 2 D. 4 3

(第 10 题) ·12·

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知展开式 ( x ? 1)6 ? a0 ? a1 x ? L ? a6 x6 ,则 a0 ? a6 的值为 12.如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为 面积等于 2 的等腰直角三角形,则该几何体的体积为 . 13.函数 f ( x) ? sin x sin( x ? ) 的最小正周期为 .

?

3


(第 12 题)

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 的离心率为 2,则它的一焦点到其中一 4 b2 条渐近线的距离为 .
14.已知双曲线

15.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? e x ? a ,若 f ( x) 在 R 上是单调函数,则实数 a 的最

小值是 . 16.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分(每道题都必 须回答,但相互不影响) .设某学生对每道题答对的概率都为

2 ,则该学生在面试时得分的期望值为 3




17.若不等式 ?1 ? ax2 ? bx ? c ? 1 的解集为 (?1,3) ,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)如图,在 ?ABC 中, AD ? BC ,垂足为 D , A BD : DC : AD ? 2 : 3 : 6 . 且 (Ⅰ)求 ?BAC 的大小; (Ⅱ)设 E 为 AB 的中点,已知 ?ABC 的面积为 15, E 求 CE 的长.

[来源:学.科.网]

B
19. (本题满分 14 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 a1 ? 2 ? t , S5 ? S2 ? 24 ? 3t (t ? 0) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? aq n ? n ,若 b1 ? a1 , b5 ? a5 ,试比较 a 3 与 b3 的大小.
·13·

D
(第 18 题)

C

20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中,

A

?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3, BC ? CD ? 6 ,
设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA , 试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值.
B G

E

D

(第 20 题)
C

21. (本题满分 15 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 4, E , F , G, H 分别为四边的中点,且都在坐标轴 上,设 OP ? ?OF , CQ ? ?CF (? ? 0) . (Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) 上一点 N 作圆的切线与轨迹 ? 交于 S , T 两点, uur uuu r 若 NS ? NT ? r 2 ? 0 ,试求出 r 的值.
D H A

uu u r

uuu r uuu r

uu u r

y G M o E
(第 21 题)

C Q F B x

P

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? a ln x (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值;

(Ⅱ)设函数 g ( x) ? ? cos 2 x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 xi (i ? 1, 2,3) 使得 f ( xi ) ? g ( xi ) 的 值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?

·14·

广东省潮州市 2012 届高三第一次适应性测试

数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分) 题号 答案 1 A 2 C 13. ? 3 D 4 C 5 B 15. ?1 6 B 7 B 8 B 17. ? 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 2 12.

4 3

14. 2 3

16. 15

1 1 ?a? 2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分14 分)

1 1 , tan ?CAD ? , ……………………………………2 分 3 2 1 1 ? 则 tan ?BAC ? tan(?BAD ? ?CAD) ? 3 2 ? 1 , …………………5 分 1 1 1? ? 3 2
解: (I)由已知得 tan ?BAD ? 又 ?BAC ? (0, ? ) ,故 ?BAC ?

?
4

. .…………………7 分

A

(II)设 BD ? 2t (t ? 0) ,则 DC ? 3t , AD ? 6t ,
2 由已知得 15t ? 15 ,则 t ? 1 ,

E
…………………………………10 分

故 BD ? 2 , DC ? 3, AD ? 6 , 则 AE ?

AB ? 10, AC ? 3 5 , …………………12 分 2 由余弦定理得 CE ? 5 . ……………………………………14 分
19. (本小题满分 14 分)

B

D

C

解: (I)方法一:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 S5 ? S2 ? 3a1 ? 9d ? 24 ? 3t .………2 分 又 a1 ? 2 ? t ,则 d ? 2 , …………………………………4 分
[来源:学科网 ZXXK]

故 an ? 2n ? t .…………………………………………………6 分 方法二: S5 ? S2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 24 ? 3t ,则 a4 ? 8 ? t 得 d ? 2 .
·15·

(II)方法一:由已知可得 aq ? 1 ? t ? 0, aq5 ? 5 ? t , ……………………………………8 分 相加得 3 ? t ?

1 (aq ? aq 5 ) , …………………………………………………10 分 2
……………13 分

又 aq5 ? aq ? aq(q 4 ?1) ? 4 ,则 q4 ? 1 ,得 q2 ? 1 则 a3 ? b3 ? 3 ? t ? aq ?
3

aq 2 (q ? 1) 2 ? 0 ,故 a3 ? b3 . ………………14 分 2

方法二:设 cn ? n ? t , dn ? aq n ,则 ?cn ? 为等差数列, ?dn ? 为等比数列, 由题意得 c1 ? d1 ? 0, c5 ? d5 ? 0 ,且 d1 ? d5 则 c3 ?

c1 ? c5 d1 ? d5 ? ? d1d5 ? d3 ,故 a3 ? b3 . 2 2

20. (本小题满分14 分) 证明: (I)方法一:由 AE ? 平面 BCD 得 AE ? CD , AD ? CD ,则 CD ? 平面 AED , 又 故 CD ? DE ,…………………………………………3 分 同理可得 CB ? BE ,则 BCDE 为矩形,又 BC ? CD , 则 BCDE 为正方形,故 CE ? BD .…………………6 分

方法二:由已知可得 AB ? BD ? AD ? 6 2 ,设 O 为 BD 的中点,则 AO ? BD, CO ? BD ,则 BD ? 平面

AOC ,故平面 BCD ? 平面 AOC ,则顶点 A 在底面 BCD 上的射影 E 必在 OC ,故 CE ? BD . (II)方法一:由(I)的证明过程知 OD ? 平面 AEC ,过 O 作 OF ? EG ,垂足为 F ,则易证得 DF ? EG 故 ?OFD 即为二面角 C ? EG ? D 的平面角,……………………………9 分 CG 2 ?2 3, 由已知可得 AE ? 6 ,则 AE ? AG ? AC ,故 EG ? AC ,则 OF ? 2
又 OD ? 3 2 , 则 DF ? 30 , ……………………………………………………………… 故 cos ?OFD ?

10 5

即二面 角 C ? EG ? D 的余弦值为

10 .………………………14 分 5

方法二: 由 (I)的证明过程知 BCDE 为正方形,如图建立坐 标系,则 E (0,0,0), D(0,6,0), A(0,0,6), B(6,0,0), C(6,6,0) , 可得 G(2, 2, 4) ,则 ED ? (0,6,0), EG ? (2, 2, 4) ,易知平面 CEG 的一个法向量为 BD ? (?6,6,0) ,设平面 DEG 的一个法向量为

uuu r

uuu r

uuu r

·16·

r uuu r ? r ?n ? ED ? 0 r 得 n ? (?2,0,1) , n ? ( x, y,1) ,则由 ? r uuu r n ? EG ? 0 ? ? uuu r r uuu r r 10 BD ? n 10 则 cos BD, n ? uuu ,即二面角 C ? EG ? D 的余弦值为 . r r ? 5 5 BD ? n
21. (本小题满分15 分) 解: (I)设 M ( x, y ) ,由已知得 P(4? , 0), Q(4, 2 ? 2? ) , 则直线 EP 的方程为 y ?

x ?x ? 2 ,直线 GQ 的方程为 y ? ? ? 2 , ………………………4 分 2? 2

消去 ? 即得 M 的轨迹 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) .………………… …………6 分 16 4
2

(II)方法一:由已知得 NS NT ? ON ,又 ON ? ST ,则 OS ? OT ,……………8 分 设直线 ST : y ? kx ? m(m ? ?2) 代入 设 S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

x2 y 2 ? ? 1 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 , 16 4
y D H A G S o E C T F B x

8km 4m2 ? 16 , x x ? .…10 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

N

由 OS ? OT 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 km( x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? m2 ? 0 , 则 5m ? 16(1 ? k ) , ……………………12 分
2 2

又 O 到直线 ST 的距离为 r ?

m 1? k
2 2
2

,故 r ?

4 5 ? (0, 2) . 5

经检验当直线 ST 的斜率不存在时也满足. …………………………………15 分 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? r ,且可得直线 ST 的方程为 x0 x ? y0 y ? r
2 2

代入

x2 y 2 ? ? 1 得 ( y02 ? 4x02 ) x2 ? 8r 2 x0 x ? 4r 4 ?16 y02 ? 0 , 16 4

·17·

由 NS NT ? ON 得 (1 ?

2

x02 )( x2 ? x0 )( x0 ? x1 ) ? r 2 ,即 x0 ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? r 2 , 2 y0

8r 2 x0 2 ? 4r 4 ? 16 y02 4 5 则 ? (0, 2) . ? r 2 ,故 r ? 2 2 5 y0 ? 4 x0
22. (本小题满分15 分) 解: (I)由已知得 f ( x) ? 4 x ?
'

4 4( x 2 ? 1) ? , …………………………………………2 分 x x

' 则当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数, ' 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数, …………………………5 分

故函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 2 . .……………………………………………6 分

(II)若存在,设 f ( xi ) ? g ( xi ) ? m(i ? 1, 2,3) ,则对于某一实数 m 方程 f ( x) ? g ( x) ? m 在 (0, ??) 上有三个 不等的实根, …………………………………………………………………8 分 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? m ? 2x ? a ln x ? cos 2 x ? m ,
2
[来源:学科网]

则 F ( x) ? 4 x ?
'

a ? 2sin 2 x( x ? 0) 有两个不同的零点. ………………………10 分 x
2 2

方法一: a ? 4x ? 2x sin 2x( x ? 0) 有两个不同的 解,设 G( x) ? 4x ? 2x sin 2 x( x ? 0) , 则 G ( x) ? 8x ? 2sin 2 x ? 4 x cos 2 x ? 2(2 x ? sin 2 x) ? 4 x(1 ? cos 2 x) ,
'

设 h( x) ? 2 x ? sin 2 x ,则 h ( x) ? 2 ? 2cos 2 x ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
'

则当 x ? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 2 x ? sin 2 x ,…………………………………12 分 又 1 ? cos 2 x ? 0 ,则 G ( x) ? 0 故 G ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数, ……………………14 分
'

则 a ? 4x ? 2x sin 2x( x ? 0) 至多只有一个解,故不存在.………………………15 分
2

方法二:关于方程 0 ? 4 x ? 2sin 2 x ?

a ( x ? 0) 的解, x
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

当 a ? 0 时,由方法一知 2 x ? sin 2 x ,则此方程无解,当 a ? 0 时,可以证明

a H ( x) ? 4 x ? 2sin 2 x ? ( x ? 0) 是增函数,则此方程至多只有一个解,故不存在. x

·18·

广东省云浮 2012 届高三第一次模拟考试(数学理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

第 Ⅰ 卷 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 A, B 是非空集合,命题甲: A A.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的充要条件

B ? B ,命题乙: A ? ? B ,那么
B. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

( )

2.复数

2i ? i ?1 A . 1? i

( A ) B.

?1 ? i

C. 1 ? i

D. ?1 ? i

?x ? y ? 0 ? 3.已知点 N ( x, y) 在由不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域内,则 N ( x, y) 所在平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
( A.1 B.2 C. 4 D.8 )

4.等差数列{a n}中,已知 a3 ? 5 , a2 ? a5 ? 12 , an ? 29 ,则 n 为 A. 13 5. 函数 y ? log 2 B. 14 C. 15 D. 16

( )

1? x 的图像 1? x

( ) B. 关于主线 y ? ? x 对称 D. 关于直线 y ? x 对称
2 2 主视图 左视图

A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A. 4 2 B.

( )

2 2
2 2 3

C.

4 2 3

D.

2 俯视图
·19·

7.已知平面 ? , ? , ? ,直线 m , l ,点 A,有下面四个命题: A . 若l ? ? ,m

? ? A 则 l 与 m 必为异面直线;

B. 若 l ? , l m 则 m ? ; C. 若 l ? ? ,m ? ? ,l ? , m ? 则 ? D. 若 ? ? ? , ? 其中正确的命题是

?;

? ? m, ?

? ? l , l ? m ,则 l ? ? .
( )

8.某种游戏中, 黑、 黄两个 “电子狗” 从棱和为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 出发沿棱向前爬行, 每爬完一条棱称为“爬完一段” ,黑“电子狗”爬行的路线是 AA1→A1D1→?,黄“电子狗”爬行的 路线是 AB→BB1→?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须异面直线(其 中 i 是正整数).设黑“电子狗”爬完 2012 段、黄“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某 个 顶 点 处 , 这 时 黑 、 黄 “ 电 子 狗 ” 间 的 距 离 是 ( ) A. 0 B. 1 C.

2

D.

3

第 Ⅱ 卷 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.

?

0

?1

1 ? x 2 dx ?

.

10.函数 f ( x) ? sin x ? cos 2 x , x ? R 的最小正周期为
2

? ? 11.在直角 ?ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 30 , BC ? 1 ,

D 为斜边 AB 的中点,则 AB ? CD =
12.若双曲线

.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , 则以双曲 a2 9

线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________. 13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列:1,1,1,1,2, 1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,?, 右图所示程序框图用来输出此数列的 前若干项并求其和,若输入 m=4 则相应最后的输出 S 的值是__________.

·20·

(二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能从中选做一题.

?? 14 . (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 、 C2 的极坐标方程分别为 ? ? ?2 cos(
2 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 , 则 曲 线 C1 上 的 点 与 曲 线 C2 上 的 点 的 最 远 距 离 为 4
________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图,点 M 为 O 的弦 AB 上的一点,连接 MO . MN ? OM ,
N

?
2

),

?

O

MN 交圆于 N ,若 MA ? 2 , MB ? 4 ,则 MN ?

.

A M

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , S 是该三角形的面积,





B B cos B,sin B ?cos B) , b ? (sin B ? cos B, 2sin ) , a / / b ,求角 B 的度数; 2 2 2? (2)若 a ? 8 , B ? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3
(1)若 a ? (2sin

17(本小题满分 12 分) 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 假设两人射击是否击中目标,相互 3 4

之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 3 次,至少 1 次未击中 目标的概率; ... ⑵假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ... 多少? ⑶设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标时射击的次数,求 ? 的数学期望 E? . (结果可以用分数表示)

D
18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 中(图 1) , E 是 BC 的中点,

C
D

A C

DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 , AB ? AD ? 2. 将
·21·

A

E
E

B
图1

B 图2

(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 60 (如图 2)
0

(1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

19(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2

(1)设 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 极大值和极小值; (2) a ? R 时讨论函数 f ? x ? 的单调区间.

20.(本小题满分 l4 分)如图, P 是抛物线 C : y ?

1 2 x 上横坐标 2

Y Q

大于零的一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直,直线
l 与抛物线 C 相交于另一点 Q .

(1)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求过点 P, Q, O 的圆的方程.
O

P X

21. (本小题满分 l4 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,正数数列 ?bn ?中 b2 ? e, (e 为自然对数的底 ? 2.718 )且 ?n ? N * 总有 2 的等比中项. (1) 求证: ?n ? N * 有 an ? an?1 ? 2 n ; (2) 求证: ?n ? N * 有
n ?1

是 S n 与 an 的等差中项,

bn?1 是bn与bn ? 1

3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 . 2

·22·

高三数学(理科)试题答案
一.选择题: 1、B; 2、A; 3、C; 4、C; 5、A; 6、B; 7、D; 8、D

二、填空题:

9.

? ; 4

10.

?



11. -1 ;

12.

2 13 ; 13

13. 15;

选做题:14.

2 ?1

15.

2 2

三、解答题: 16.解: (1)

a / /b

? 4 cos B ? sin 2

? 4 cos B ?

1 ? cos B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 0 2

B ? cos 2 B ? 0 2
? cos B ? 1 2

?B ? (0,1800 )
(2)

??B ? 60 ????????6 分
1 ? ac sin B ? 8 3 ????????7 分 2 得 c ? 4 ????????8 分

S ?8 3

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 82 ? 42 ? 2 ? 8 ? 4cos1200 ????????10 分

?b ? 4 7 ????????12 分
17.解: (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次,相当于 3

2 3 19 3 27 19 答:甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为 ;????????4 分 27
次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A1 )=1- ( ) = (2) 记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立,

1 1 3 1 1 1 3 3 3 × × × + × × × = , 4 4 4 4 4 4 4 4 64 3 答:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ????????8 分 64
故 P(A2)=
·23·

2 ? 2 ????????12 分 3 1 3 1 2 1 6 0 1 p(? ? 1) ? C3 ? ( ) ? ( )2 ? (3)方法二: p (? ? 0) ? C3 ? ( ) ? 3 27 3 3 27 2 1 12 2 1 8 3 p (? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ( )1 ? p (? ? 1) ? C3 ? ( )3 ? ( ) 0 ? 3 3 27 3 3 27
(3)根据题意 ? 服从二项分布, E? ? 3 ?

? p

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ????????12 分 27 27 27 27

说明: (1) , (2)两问没有文字说明分别扣 1 分,没有答,分别扣 1 分。 第(3)问方法对,算错数的扣 2 分 18.解: (1) 如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。因 AB ? AD ?
2 2

2. ? AM ? BD 2 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , 1 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME // CD , 2 1 ? ME ? BD , ME ? 2 ? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角? ?AME = 60 0 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE 1 因 AB ? AD ? 2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ? BD 2 1 1 AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? 4 2 ? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME ? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC? AE ? 平面BDC

??1 分

?? 2 分 ??3 分 ??4 分

? 1,
3 3 ? AE ? 4 2
?? 6 分 ?? 7 分

(2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系,??.. 8 分 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) ,

1 2

1 3 A(0, , ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) 2 2 1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2 设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,

?? 9 分

·24·

则 cos? ? AB ? CD AB ? CD

??10 分

?

1 2 ? 2 ??11 分 2 2 ?1

由 AD ? (?1,? ,?

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
3 ?0? 3
2

?? 12 分

记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ??13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?

?

2

2 21 7

?? 14 分

(2) ,(3)解法二: 取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 ?ABD 的中位线,MN//AB,又 ME//CD 所以直线 AB 与 CD 所成角为 ? 等于 MN 与 ME 所成的角, 即 ?EMN 或其补角中较小之一 AE ? 面BCD, DE ? 面BCD ? AE ? DE ,N 为在 Rt ?AED 斜边中点 所以有 NE=

?? 8 分

1 1 2 1 2 ,MN= AB ? ,ME= , AD ? 2 2 2 2 2
MN 2 ? ME 2 ? NE 2 2 MN ? ME
??.9 分

? cos ? ? cos ?EMN ?

2 1 2 ? ? 2 = 4 4 4 ? 4 2 1 2? ? 2 2

??10 分

(3)记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 V B ? ACD ? 又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 BD ? CD ?VB ? ACD ? V A? BCD ?

1 d ? S ?ACD , 3

??11 分

1 AE ? S ?BCD ?..12 分 3 1 3 ?1 3 ? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 2 ?2 ? 6

E 为 BC 中点,AE ? BC? AC ? AB ?
2

2 又, DC ? 1, AD ? 2 , ?ACD为等腰?,

S ?ACD ?

1 1 ?1 ? ? CD ? AD 2 ? ? CD ? ? ? 1 ? 2 2 ?2 ?

? 2?

2

7 ?1? ?? ? ? 4 ?2?

2

??13 分

3V ? B 到平面 ACD 的距离 d ? B ? ACD ? S ?ACD

3?

3 6 ? 2 21 7 7 4
·25·

??14 分

2 2 2 解法三:(1) 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC , BD ? DC , 1 分 如图,以 D 为原点 DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,建立空间直角坐标系, ??.. 2 分

则条件可知 D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0), E (1, , 0) , A(a,b,c) (由图知 a>0,b>0,c>0) ??.3 分 得 AB ? AD ?

1 2

2. a2 ? b2 ? c2 ? (a ? 2)2 ? b2 ? c 2 ? 2 ? a ? 1, b2 ? c 2 ? 1 ?.. 4 分 u r 平面 BCD 的法向量可取 n1 ? (0,0,1) , uu u r uuu r u r 5分 DA ? (1, b, c), DB ? (2,0,0) ,所以平面 ABD 的一个法向量为 n1 ? (0, c, ?b) u r u u r u r u u r n1 ? n2 b 则锐二面角 A ? BD ? C 的余弦值 cos ? n1 , n2 ? ? u r u u r ? 2 2 ? cos 60? ?..6 分 b ?c n1 ? n2
从而有 b ?

? ?

2

r 1 3 1 3 uur 3 uuu , A(1, , ,c ? ), EA ? (0,0, ), DC ? (0,1,0) 2 2 2 2 2 uu r uuu r uu r uuu r EA? DC ? 0, EA ? DB ? 0 ? EA ? DC, EA ? DB 所以 AE ? 平面 BDC

7分 9分

(2)由(1) A(1, ,

1 3 1 3 ) ,D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0), AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2 2 2
??10 分

设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos? ? AB ? CD AB ? CD

?
(3)由 AD ? (?1,? ,?

1 2 ? 2 ??11 分 4 2 ?1

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
3 ?0? 3
2

?? 12 分

记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ??13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?

?

2

2 21 7

?? 14 分

19.(1)

a ? 1,? f ( x) ?

x2 5 1 ? 3x ? ln(2 x ? 1), x ? ? 2 2 2
5 (2 x ? 1)( x ? 3) ? 5 ? 2 x ? 1?? x ? 2 ? = = ,??????1 分 2x ?1 2x ?1 2x ?1 1 或 x =2????????2 分 2
·26·

f ?( x ) = x ? 3 ?

令 f ?( x ) =0,则 x =

x
f ?( x )

(?

1 1 , ) 2 2
+

1 2
0



1 ,2) 2 ?

2 0

(2,+ ? ) +

f ( x)

极大

极小 ????????4 分

1 5 11 f ? x ?极大 =f ( ) ? ln 2 ? , 2 2 8
(2) f ?( x ) = x ? (1+2 a )+ 令 f ?( x ) =0,则 x =

5 f ? x ?极小 =f (2) ? ln 5 ? 4 ????????5 分 2

4a ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 ? 2 x ? 1?? x ? 2a ? = = 2x ?1 2x ?1 2x ?1

1 或 x =2 a ?????6 分 2 1 1 i、当 2 a > ,即 a > 时, 2 4 x 1 1 1 1 (? , ) ( ,2 a ) 2 2 2 2 ? + 0 f ?( x )

2a 0

(2 a ,+ ? ) +

f ( x)
所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a )?????8 分 2 2 2
2

1 1 ? 2 x ? 1? ? 0 在( ? 1 ,+ ? )上恒成立, ii、当 2 a = ,即 a = 时, f ?( x ) = 2 4 2 2x ?1
所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 ,+ ? )?????10 分 2 1 1 1 1 iii、当 ? <2 a < ,即 ? < a < 时, 2 2 4 4 x 1 1 2a ( ? ,2 a ) (2 a , ) 2 2 ? + 0 f ?( x )

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

f ( x)
·27·

所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , )?????12 分 2 2 2

iv、当 2 a ? ?

x
f ?( x )

1 1 ,即 a ? ? 时, 2 4 1 1 (? , ) 2 2 ?

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

f ( x)
1 1 1 ,+ ? ) ,减区间为( ? , )?????14 分 2 2 2 1 1 1 1 综上述: a ? ? 时, f ( x) 的增区间为( ,+ ? ) ,减区间为( ? , ) 4 2 2 2 1 1 1 1 1 ? < a < 时, f ( x) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , ) 4 4 2 2 2 1 1 a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) 4 2 1 1 1 1 ,减区间为( ,2 a ) a > 时, f ( x) 的增区间为( ? , )和(2 a ,+ ? ) 4 2 2 2
所以 f ( x) 的增区间为( 说明:如果前面过程完整,最后没有综上述,可不扣分 20 解: (Ⅰ)把 x ? 2 代入 y ?

1 2 x ,得 y ? 2, 2
得 y? ? x ,

∴点坐 P 标为(2,2). ????????1 分 由 y?

1 2 x , ① 2

∴过点 P 的切线的斜率 k 切 ? 2,????????2 分 直线 l 的斜率 k1 ? ?

1 1 ?? , 2 k切

????????3 分

1 ( x ? 2) , 2 1 2 (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ), 则 y0 ? x0 . 2
∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

即 x ? 2 y ? 6 ? 0 ????????4 分

∵ 过点 P 的切线斜率 k 切 ? x0 ,因为 x0 ? 0.

·28·

∴ 直线 l 的斜率 k1 ? ?

1 1 ?? , x0 k切
②????????5 分

直线 l 的方程为 y ?

1 2 1 x0 ? ? ( x ? x0 ). 2 x0

设 Q( x1 , y1 ) ,且 M ( x, y ) 为 PQ 的中点, 因为 OP OQ ? 0 ,所以过点 P, Q, O 的圆的圆心为 M ( x, y ) 半径为 r ? PM ,????????6 分 且 x0 x1 ? y0 y1 ? x0 x1 ?

1 2 2 x0 x1 ? 0 ,????????8 分 4

所以 x0 x1 ? 0 (舍去)或 x0 x1 ? ?4 ????????9 分 联立①②消去 y ,得 x
2

2 ? x ? xo 2 ? 2 ? 0 x0

由题意知 x0 , x1 为方程的两根, 所以 x0 ?

所以 x0 x1 ? ? x0 2 ? 2 ? ?4 ,又因为 x0 ? 0 , 所以 x1 ? ?2

2 , y0 ? 1 ;

2 , y1 ? 4 ????????11 分

? 2 x?? , ? ? 2 ????????12 分 ∵ M 是 PQ 的中点,∴ ? ?y ? 5. ? ? 2

r 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ?

27 4

????????13 分

所以过点 P, Q, O 的圆的方程的方程为

(x ?

2 2 5 27 ) ? ( y ? )2 ? ????????14 分 2 2 4

n ?1 21 解:(1) 2 是 S n 与 an 的等差中项 ? S n ? 2 n ? an

·29·

? a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1 S n ? 2 n ? a n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 n ?1 ? a n ?1 ? (2 n ? a n ) ? 2 n ? a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 n ? a n

1分

2分
n ?1

法一 :? 2

a n?1 ? 4 ? 2 a n ? 2
n n

n ?1

a n ?1 ? 2 a n ? 4
n

n

? (2 n?1 a n ?1 ? 2 n a n ) ? (2 n a n ? 2 n ?1 a n?1 ) ? ? ? (2 2 a 2 ? 2a1 ) 4 n 4 (4 ? 1) ? 2 n?1 a n?1 ? 2 ? (4 n ? 1) 3 3 2 1 1 1 2 1 ? a n ?1 ? ? 2 n ? ? n , a n ? ? 2 n ? ? n 3 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 ? a n ?1 ? 2 n ? ? ( n ? 2 n ) ? 0, a n ?1 ? a n ? ? 2 n ? ? n ? 0, 3 2 3 3 2 n ? a n ? a n ?1 ? 2 1 n 2 1 (2)由(1)得 a n ? ? 2 ? ? n 3 3 2 3 1 3 2 (an ? 1) ? 2 n?1 ? n ? ? 2 n?1 ? 1, 3a n ? 1 ? 2 n ? n ? 1 ? 2 n ? 1 2 2 2 2 n ?1 n ? 只需证:2 ? 1 ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 2 ? 1 ? 4 n ? 4 n ?1 ? ? ? 4 ?
2 ? bn bn?1 是bn与bn ? 1 的等比中项 ? bn?1 ? bn ? b2 ? e, bn ? 0

3分

4分

5分

6分

n ? 1时, b12 ? b1 ? b2 ? e ? b1 ?

? 1 ? 1 ? 4e 2 ?1? 9 e ? 4e ? 8 ? b1 ? ? 1, b1 ? 1 ? ? e 2 b1

7分

ln b1 ? ln 1 ? 0 ? (21?1 ? 1) , ln b1 ? ln(b1 ? 1 ) ? 1 ? 21 ? 1 所证不等式成立

8分

n ? 2时
2 2 bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? ln bn ?1 ? 2 ln bn

? ln bn ? 2 ln bn ?1 ? ?. ? 2 n ? 2 ln b2 ? 2 n ? 2 3 (a n ? 1) 2 2 2 又 ln(bn ?1 ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1 ? bn ) ? ln(bn ? 1) 2 ? 2 ln(bn ? 1) ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? (2 n ?1 ? 1) ?
n ?1

9分 10分

11分 12分 13分

?ln(bn ? 1) ? 2 ln(bn ?1 ? 1) ? 2 ln(bn ?2 ? 1) ? ? 2
2 2 n ?1 n

ln(b1 ? 1) ? 2

n ?1

ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? ln(b1 ? 1) ? ln(b2 ? 1) ? ? ? ln(bn ? 1) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3a n ? 1 3 综上所述,总有 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成立 2
·30·

14 分

解法二:

S n ? 2 n ? a n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? a n ?1 a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2a n ?1 ? 2 n ? a n 1分

i)当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1, a 2 ?
k

2 ? a1 3 ? 2 2

? a1 ? a 2 ? 2成立

2分

2 k ?1 ? a k ?1 ii )假设n ? k时, a k ? a k ?1 ? 2 , 则n ? k ? 1时有a k ? 2 ? , 3分 2 a ? 2 k ?1 2 k ? 2 k ?1 2 k ?1 ? a k ?1 2 k ?1 ? 2 k a k ? 2 ? 2 k ?1 ? k ?1 ? ? 0; a k ? 2 ? a k ?1 ? ? ?0 2 2 2 2 a k ?1 ? a k ? 2 ? 2 k ?1 也成立 综合i ), ii )可知a n ? a n ?1 ? 2 n 成立
(2)

4分

1 1 1 1 2a n ?1 ? 2 n ? a n ? a n?1 ? 2 n ?1 ? a n ? a n ?1 ? ? 2 n ?1 ? (a n ? ? 2 n ) 2 3 2 3 1 1 ?1? ? a n ? ? 2 n ? (a1 ? ? 2)? ? 3 3 ?2?
n ?1

5分 6分

1 2 1 2 ? ? n ? a n ? (2 n ? n ) 3 2 3 2
? 1 ? 1 ? 4e 2

2 ? bn bn?1 是bn与bn ? 1 的等比中项 ? bn?1 ? bn

? b2 ? e, bn ? 0 i) 当n ? 1时b1 ?

b12 ? b1 ? b2 ? e ? b1 ?

7分

?1? 9 e ? 1, b1 ? 1 ? ? e 2 b1

3 (a1 ? 1) , ln b1 ? ln(b1 ? 1 ) ? 1 ? 2 ? 3a1 ? 1 8分 2 3 ii)假设 n ? k , k ? N * 时不等式 (a k ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bk ? 3a k ? 1 成立, 2 3 则 n=k+1 时要证明 (a k ?1 ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bk ? ln bk ?1 ? 3a k ?1 ? 1 2 3 3 只需证明: (a k ?1 ? 1) ? (a k ? 1) ? ln bk ?1 ? 3a k ?1 ? 1 ? (3a k ? 1) 2 2 1 1 k ?1 k 即只需证明: 2 ? k ?1 ? ln bk ?1 ? 2 ? k ?.9 分 2 2 ? bk ?1 ? bk2 ? bk ? bk2 ? ln bk ?1 ? 2 ln bk ? ln b1 ? ln 1 ? 0 ?

? ln bk ?1 ? 2 ln bk ? 2 2 ln bk ?1 ? ?. ? 2 k ?1 ln b2 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ?
又 ln(bk ?1 ? 1) ? ln(bk2 ? bk ? 1) ? ln(bk ? 1) 2 ? 2 ln(bk ? 1)

1 2 k ?1

??..10 分

11分 12分

? lnbk ?1 ? ln(bk ?1 ? 1) ? 2ln(bk ? 1) ? 2 2 ln(bk ?1 ? 1) ? ? 2 k ?1 ln(b2 ? 1) 1 1 1 1 k ?1 k 只需证明 2 ln(b2 ? 1) ? 2 ? k ? ln(e ? 1) ? 1 ? ? 1 ? k 2 4 2 4
·31·

3 ? (e ? 1) 2 ? e 3 2 由 (1 ? e) 2 ? 16 ? 8.1? 8.1? 0.3 ? 2.7 3 ? e 3 可知上面结论都成立 3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成立 综合(i)(ii)可知 ?n ? N * , 2
只需证明 ln(e ? 1) ? 法三: n=1 时同法一: n ? 2 时左边证明同法一 当 n ? 2 时,证明右边如下: 10 分

13 分

?..14 分

lnbn?1 ? ln bn ? ln(bn ? 1) ? ln(bn ? 1) ? lnbn?1 ? ln bn ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? ln(b1 ? 1) ? ln(b2 ? 1) ? ? ? ln(bn ? 1) ? ln b2 ? ln b1 ? lnb3 ? ln b2 ? ? ? lnbn?1 ? ln bn ? lnbn?1 ? ln b1 ? lnbn?1
只需证明 lnbn?1 ? 2n ? 1 ? 3an ? 1(n ? 2) 11 分
2

又 ln(bn ?1 ? 1) ? ln(b ? bn ? 1) ? ln(b ? bn ? 1 ? bn ) ? ln(bn ? 1) ? 2 ln(bn ? 1)
2 n 2 n

12分

? lnbn ?1 ? ln(bn ?1 ? 1) ? 2 ln(bn ? 1) ? 2 2 ln(bn ?1 ? 1) ? ? ? 2 n ?1 ln(b2 ? 1) ? 2 n ?1 ln(1 ? e) 1 n ?1 n 只需证明 2 ln(e ? 1) ? 2 ? 1 ? ln(e ? 1) ? 2 ? n ?1 (n ? 2) 2 1 3 3 ? 2 ? n ?1 ? (n ? 2) ? 只需证明 ln(e ? 1) ? ? (e ? 1) 2 ? e 3 13 分 2 2 2 2 3 3 由 (1 ? e) ? 16 ? 8.1? 8.1? 0.3 ? 2.7 ? e 可知上面结论都成立 3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成立 综上所述 ?n ? N * , ?..14 分 2 1 n n 注 1: 若证 ln bn ?1 ? 2 ln(b1 ? 1) ? 2 ? 1 ? ln(b1 ? 1) ? 1 ? n 必须 n ? 3 才行 2 1 当n ? 1,2时 ln(b1 ? 1) ? 1 ? n 不成立 2 1 1 实际上 ln(b1 ? 1) ? 0.79,当n ? 3时, 才有 ln(b1 ? 1) ? 1 ? ? 1 ? n 成立 8 2
注2 : 设a n ?1 ? ? ? 2 n ?1 ? 1 1 1 1 1 (a n ? ? ? 2 n )则 (? ? 2 n ) ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? (? ?) ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3

·32·

2012 届增城市高中毕业班调研测试

理科数学
试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。 参考公式: S球 ? 4?R 2 , V柱 ? Sh, V锥 ?

1 1 4 Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 P ? {x 2 ? x ? 4}, 集合Q ? {x 3x ? 7 ? 8 ? 2x}, 则 P ? Q ? (A) { x 3 ? x ? 4 } 2.计算 ? (B) { x 3 ? x ? 4 } (C) { x 2 ? x ? 4 } (D) { x x ? 2 }

1 i

i i ? (B) 2 2 x ?2 3.函数 f ( x) ? 3 的值域为
(A) (A) [ 2, ??) (B) [1, ??)

(C)

i

(D)

?i

(C)

(0, ??)

(D)

(0,1]

4.下列命题中正确的个数是 (1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? . (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. (4)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5.已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 平行,则实数 m 的值为 (A) -7 6.若 log a (B) -1 (C) -1 或-7 (D)

13 3

3 ? 1(a ? 0, a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是 4
·33·

3 3 (D) ( ,1) ? (1, ??) 4 4 7.设等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 ?
(A) (0,1) (B) ( 1, ?? ) (C) (0, ) ? (1, ??) (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D)

2 ? log 3 5

8.已知点 P 是椭圆 16x2 ? 25 y 2 ? 400 上一点,且在 x 轴上方, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点, 直线 PF2 的斜率为 ?4 3 ,则 ?PF1 F2 的面积是 (A)

24 3

(B)

12 3

(C)

6 3

(D)

3 3

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题 全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知向量 a ? (2,3), b ? ( x, ?6) 共线,则 x ? 10.有一问题的算法是 第一步,令 i ? 1, S ? 0. 第二步,若 i ? 100 成立,则执行第三步;否则,输出 S ,结束算法. 第三步, S ? S ? i. 第四步, i ? i ? 1 ,返回第二步. 则输出的结果是 11.二项式 (2 x ?
3

.

. . )为 v ? 40 ?10 t ,则该物

1 10 ) 的展开式中的常数项是 2 x3

12.以初速度 40 m

s

,垂直向上抛一物体, ts 时刻的速度( v 的单位是 m .

s

体达到最大高度为

13.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数 如下表所示: 规格类型 A 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 B 1 2 C 1 3

今需要 A,B,C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,要使所用钢板张数最少,第一、第二种钢 板的张数各是 .
·34·

(二)选做题(14、15 题) 14(几何证明选讲选做题)已知圆的直径 AB ? 13cm , C 为圆上一点, CD ? AB ,垂足为 D ,且

CD ? 6cm ,则 AD ?

cm .

15(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 直线的距离是 .

?
4

)?

2 ,则点(0,0)到这条 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(14 分)已知 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x -2 (1)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值; (2)当 ? ? (0,

?
2

) 时,已知 f (

?

? 3 2 ,求 f (? ) 的值. ? )? 2 8 5

17(14 分)从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛. (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率; (2)设 ? 为参加辩论比赛的女生人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, AB ? 2 3

V

VC ? 1,VA ? VB ? AC ? BC ? 2
(1)求证: AB ? VC ; (2)求 VV ? ABC A C

B

19(12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n ? 1 时, 2an ? an?1 ? an?1 恒成立. (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 Sn ? a1 ? a2 ? 20(14 分)设 f ( x) ? ln x ?

? an ,求证

1 1 ? ? S1 S2

?

1 ? 2. Sn

a (a为常数) x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)判断 f ( x) 在定义域内是否有零点?若有,有几个?

·35·

21(12 分)已知点 A(?1,0), B(1,0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 BM 的斜率与直线 AM 的 斜率的差为 1. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 若过点 F (0, 0) 作直线交轨迹 C 于 P, Q 两点, 证明以 PQ 为直径的圆与直线 l : y ? ?1 相切.

·36·

广东省湛江市 2012 届普通高考测试(一)

数学试题(理科)
本试卷共 21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

第I卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。 1.设全集 I ? R, T ? {x | x2 ? x}, M ? {x | x ? T } ,则 M 等于 A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} ( D. {x | x ? 1或x ? 0} ( D. ?i ( D.14 ) ) )

2.已知复数 z 为纯虚数,且 z ? A.1 B.i

2 是实数,则 z 等于 1? i
C. 2i

3.已知向量 a ? (2,3), b ? (k ,1), 若a ? 2b与a ? b 平行,则 k 的值是 A.—6 B. ?

2 3

C.

2 3

4.已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ), 则 x1 ? ? x2 ③在区间 [ ? ② f ( x) 的最小正周期是 2? ④ f ( x) 的图象关于直线 x ?

? ?

, ] 上是增函数; 4 4

3? 4
( ) )

其中真命题是 A.①②④ B.①③ 5.对两条不相交的空间直线 a 和 b,则 A.必定存在平面α ,使得 a ? ? , b ? ? C.必定存在直线 c,使得 a / / c, b / / c

C.②③

D.③④ (

B.必定存在平面α ,使得 a ? ? , b / /? D.必定存在直线 c,使得 a / / c, b ? c )

6.甲乙两人从 4 门课程中各选 2 门,则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有( A.6 种 B.12 种 C.30 种
·37·

D.36 种

7.设 p: “3”q: “ f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1在(0,2)上有唯一零点” ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





8.设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在[0,1]上的值域为[—2,5], 则 f ( x) 在区间[0,3]上的值域为 A.[-2,7] B.[-2,5] C.[0,8] D.[-3,7] ( )

第 II 卷
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 9.

?

2e

2

1 dx = x
2

(其中 e 为自然对数的底) 。

10.抛物线 y ? ax 上一点 M(m,3)到焦点距离为 5,则 a=

11.一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆, 侧视图为矩形,则其表面积为 。

?x ? 1 ? , 则( x ? 3) 2 ? y 2 的最小值是 12.已知实数 x,y 满足: ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?
13.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示 的数据:



在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中 a 是这 8 个数据的平均数) ,则输出的 S 的值是 。

14. (几何证明选讲选做题)如图,已知圆 O 内接△ABC 的∠C 的平分 线 CD 延长后交圆于点 E,连接 BE,已知 BD=3,CE=7,BC=5, 则线段 BE= 。 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆心为 ( 2, ? ) 且过极点 的圆的极坐标方程是 。
·38·

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 某校从参加高三年级调研测式物理成绩 40 分以上(含 40 分)的学生中随机抽取 60 名,将 其成绩分在 [40,50),[50,60),

,[90,100] 六段后得到如下频率分布表。

(1)求表中数据 x、y、z 的值; (2)用分层抽样的方法在分数段为 [60,80) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一 个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段 [70,80) 的概率。

17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2sin(

?

x ? ) ,集合 M ? {x || f ( x) ? 2, x ? 0} ,把 M 中的元素从小到大依 3 6
*

?

次排成一列,得到数列 {an }.(n ? N ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn }满足 : b1 ? 1, bn?1 ? bn ? a2n , 求{bn } 的通项公式。

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径,A 是半圆周上不同于 B,C 的点,又 DC⊥面 ABC,四边形 ACDE 为梯形,DE//AC,且 AC=2DE,DC=2,二面角 B—DE—C 的大小为θ ,
·39·

3 tan ? ? . 4
(1)证明:面 ABE⊥面 ACDE; (2)求四棱锥 B—ACDE 的体积。

19. (本小题满分 14 分) 下图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄 CB 绕点 C 旋转时,通过连杆 AB 的传递,活塞作直 线往复运动。当曲柄在 CB0 位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点 A 在 A0 处,设连杆 AB 长为 lmm ,曲柄 CB 长为 rmm , l ? r . (1)若 l ? 300mm, r ? 80mm ,当曲柄 CB 按顺时针方向旋转角为 ? 时,连杆的端点 A 此时离 A0 的距离为 A0 A ? 110mm ,求 cos ? 的值; (2)当曲柄 CB 按顺时针方向旋转角 ? 为任意角时,试用 l , r 和 ? 表示活塞移动的距离(即连 杆的端点 A 移动的距离 A0 A )

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一焦点为 F1(-1,0) ,长轴长为 2 2 ,过原点的直 a 2 b2

线 y ? kx(k ? 0) 与 C 相交于 A、B 两点(B 在第一象限) ,BH 垂直 x 轴,垂足为 H。
·40·

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当 k 变化时,求 ?ABH 面积的最大值; (3)过 B 作直线 l 垂直于 AB,已知 l 与直线 AH 交于点 M,判断点 M 是否在椭圆 C 上,证明 你的结论。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的图象是在[a,b]上连续不断的曲线,定义:

f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x},( x ?[a, b]) f2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x},( x ?[a, b])
其中,min{ f (t ) | t ? D} 表示函数 f (t ) 在 D 上的最小值,max{ f (t ) | t ? D} 表示函数 f (t ) 在 D 上的最大值。若存在最小正整数 k,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ? [a, b] 成立,则称 函数 f ( x)为[a, b] 上的“k 队收缩函数” 。 ( 1 )已知函数 f ( x) ? 2sin x(0 ? x ?

?
2

), 试写出 f1 ( x), f2 ( x) 的表达式,并判断 f ( x) 是否为

[0, ] 上的“k 阶收缩函数” ,如果是,请求对应的 k 的值;如果不是,请说明理由; 2
(2)已知 b ? 0 ,函数 g ( x) ? ? x ? 3x 是[0,b]上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围。
3 2

?

·41·

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