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学案13 定积分与微积分基本定理-函数与导数 2012高考一轮数学精品课件


学案13 定积分与微积分基本定理
www.laomiaotan400315.com

1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯 形的面积的具体步骤 为 分割 、 近似代替 、 求和 、 取极限 .

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2.定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点


a=x0<x1<…<xi-1<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区 间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作 n n 和式

? f(ξ i ) Δx ? ?
i ?1

1 ? f(ξ i ) i ?1 b- a

.当n→+∞时,上述和式无限

接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a,b]上 的定积分, 记 作 =
b- a lim ? ? f(ξ i ) n ?? i ?1 n
n

?

f(x)dx , 即 a
,其中f(x)叫做 被积式

b

?

b

a

f(x)dx
,x叫

被积函数

做 积分变量 ,f(x)dx叫做

,区间[a,b]叫

做 积分区间 ,a叫做 积分下限 ,b叫做 积分上限 ,“∫” 称为积分号. 返回目录

3.

?

b

a

f(x)dx 的实质

(1)当f(x)在区间[a,b]上大于0时,

?

b

a

f(x)dx 表示由

直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形 的 面积 .这也是定积分

?

b

a

f(x)dx 的几何意义.

(2)当f(x)在区间[a,b]上小于0时,

?

b

a

f(x)dx 表示

由直线x=a, x=b (a≠b), y=0和曲线 y=f(x) 所围成的曲边 梯形的 面积的相反数 .

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(3)当f(x)在区间[a,b]上有正有负时,

?

b

a

f(x)dx 表

示介于x=a,x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形

的面积的代数和.
4.定积分的运算性质

. ? kf(x)dx f(x)dx ? ? g(x)dx . (2) ?f(x) ? g(x)?dx = ? ? (3) ? f(x)dx = ? f(x)dx ? ? g(x)dx (a ? c ? b) (1) =
a a b b b a a a b
c b

b

k ? f(x)dx

b

a

a

c

.

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5.微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且
F′(x)=f(x),那么

?

b

a

f(x)dx =F(b)-F(a).这个结论叫做微

积分基本定理,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)-F(a)
记为F(x)
b .即 a

|

?

b

a

=F(x) f(x)dx

=F(b)-F(a). |b a

6.利用微积分基本定理求定积分的关键是 求被积
函数的原函数 可将基本初等函数的导数公式逆向使用.

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考点一

利用微积分定理求定积分

计算下列定积分:

? 1 (2) ? (e + x )dx; (3) sin xdx. ∫
(1) x(x+1)dx;
2x

2

0

2

1

π

2

0

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【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进 行求解,计算

? f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数
a

b

F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到. 【解析】 ∴ =
2 0 2

(1)∵x(x+1)=x2+x且(
2

1 2 2 | ? x |0 0 0 2 1 1 14 =( ×23-0)+( ×22-0)= . 3 2 3
2

? ? 1 x dx+ xdx= x ? ? 3
x(x+1)dx=
0 2

1 3 x )′=x2,( 3

12 x )′=x, 2

(x2+x)dx
3 2 0

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(2)∵(lnx)′=

1 ,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x, x

得e2x=(

1 2x e )′, 2

所以

?

2

(e2x+

1

1 )dx= x

?

2

e2xdx+

1

?

21

1

x

dx

2 1 2x 2 |1 = e |1 +lnx 2 1 4 1 2 1 4 1 2 = e - e +ln2-ln1= e - e +ln2. 2 2 2 2

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(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得

1 cos2x=( sin2x)′, 2 ? 所以 sin2xdx=

1 1 ? = 0 dxcos2xdx 2 2 0 1 ? 1 1 = x |0 ( sin2x) |? 0 2 2 2 ? 1 1 =( -0) ( sin2π- 1sin0)= ? . 2 2 2 2 2

?

? ?

0

?

1 1 ( - cos2x)dx 0 2 2

?

?

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【评析】计算一些简单的定积分,解题的步骤是: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、 指数函数与常数的和或差;(2)把定积分用定积分性质 变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求

导公式找到一个相应的原函数;(4)利用微积分基本定
理求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.

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*对应演练*
求下列定积分: (1) (2)

?

3

? (3) ?

?

0

(2x-3x2)dx; sin2

2 0 2

1

1 (x+ )dx. x

x dx; 2

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(1)

?
?

3

(2x-3x2)dx=

0

x 2 (2) 2sin dx= ?0 2
=

?

?

3

2xdx(

0

?

?

?

3

0

3 3 3x2dx=x2 |0 -x3 |0 =-18.

2 0

1 - cosx ) dx 2

?

2 0

1 1 dx2 2
? 2
0

?

?

2 0

cosxdx
? 2
0

1 = x 2

1 - sinx 2

= ? ?1 . 4 2

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1 )dx= (3) ( x+ ?1 x
2

?

2

xdx+

1

?

2

1

1 dx x

1 2 2 2 = x |1 +lnx |1 2

3 = +ln2. 2

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考点二

分段函数的定积分

计算下列定积分: (1)

?

2?

|sinx|dx;

(2)

0

?

2

|x2-1|dx.

0

【分析】对于第(1)小题,应对在区间[0,2π]上 的正、负进行分情况计算;而对于第(2)小题,在 0≤x≤2的条件下,对x2-1的正、负情况进行讨论.

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【解析】 (1)∵(-cosx)′=sinx,


=

? |sinx|dx= ? |sinx|dx+ ?? ? ? ? sinxdx- ?? sinxdx
0 0 2 0

2?

?

2?

|sinx|dx

2 =-cosx |? +cosx |?? 0

=-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ) =4.

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(2)∵0≤x≤2, ∴|x2-1|= ∴

?

x2-1 (1≤x≤2) 1-x2 (0≤x≤1),

?

2

|x2-1|dx=

0

?

1

(1-x2)dx+

0

?

2

(x2-1)dx

1

1 3 1 1 2 x ) |0 + ( x3-x) |1 3 3 1 1 1 =(1- 3 )+( 3×23 -2)-( -1)=2. 3

=(x-

【评析】 (1)含绝对值的函数实际上就是分段函数. (2)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几段 定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准. 返回目录

*对应演练*

(1)求函数f(x)=

(2)计算:

?

?

?

x3 x∈[0,1] x2 x∈(1,2]

2x x∈(2,3]在区间[0,3]上的积分;

2 0

1 - sin2x dx.

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(1)由积分性质知

?

3

f(x)dx=
1

0

? f(x)dx+ ? f(x)dx+ ? f(x)dx
0 1 2

1

2

3

=

?

x3dx+
2 1 + 0

0

?

2

x2dx+
1 0

1

?

3

2xdx
3 2

2

x = 4

1 3 x 3

2x + ln 2

1 8 1 8 4 ? ? ? ? = 4 3 3 ln 2 ln 2
31 4 ? = 12 ln 2
. 返回目录

? (2)当x∈[0, ]时, 2 1 ? sin 2 x ? (sin x ? cos x )2 ? -sinx+cosx 0≤x≤ 4 = ? ? sinx-cosx ≤x≤ , 4 2

=|sinx-cosx|

?
? ?

∴ = =
?
4 0

?
?

?

2 0

1 ? sin 2 x dx =

?

?

2 0

|sinx-cosx|dx

|sinx-cosx|dx+ (-sinx+cosx)dx+

?

4 0

?

? 2 ? 4 ? 2 ? 4

|sinx-cosx|dx (sinx-cosx)dx

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=(cosx+sinx)

? 4
0

+(-sinx-cosx)

? 2 ? 4

? ? ? ? =cos +sin -(cos0+sin0)+(-sin -cos )- ( 4 4 2 2
sin

? ? -cos ) 4 4
2 )=2 2

2 2 2 = + -1+(-1)-(2 2 2

2 -2.

考点三 利用定积分几何意义求定积分 求定积分

?

1

0

1 ? x 2 dx .

【分析】当利用微积分基本定理不能奏效时,需 考虑用定积分的几何意义来进行解决. 【解析】设 y ? 1 ? x 2, 则x2+y2=1(y≥0), ∵?
1 0

1 ? x 2 dx表示由曲线 y ? 1 ? x 2 在[0,1]

上的一段与坐标轴所围成的面积,即在第一象限部

分的圆的面积,


?

1

0

1 ? x dx ?
2

?
4

. 返回目录

【评析】用定积分的几何意义求定积分,不仅简 捷可行,而且充分体现了初等数学与高等数学间的关 系.因而充分把握定积分的几何意义,也是学好本学 案内容的关键.

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*对应演练*
求定积分

?

2

?2

16 ? 6 x ? x 2 dx

.

令y= 16 ? 6 x ? x 2 ,则(x-3)2+y2=25(y≥0), ∵

?

2

?2

16 ? 6 x ? x 2 dx 表示由曲线y= 16 ? 6 x ? x 2

在[-2,3]上的一段与x轴和直线x=3所围成的面积, ∴ = ·π·52= π.

?

2

?2

16 ? 6 x ? x dx
2

1 4

25 4

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考点四

定积分的应用

求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积. 【分析】先求出抛物线y2=2x与直线y=4-x的交点, 将积分区间确定,再求定积分. 【解析】由方程组

?

y2=2x y=4-x

解出抛物线和直线的交点为(2,2) 及(8,-4). 解法一:选x作为积分变量, 由图可看出S=A1+A2, 返回目录

在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y= 下半支方程为y=-

2x ,

2 x,所以 1 2 2 S A1 = ? [ 2 x ? ( ? 2 x )]dx ? 2 2 ? x 2 dx 0 0

S A2 =

2 2 = 2 2 x 3
8 2

3

0 2

16 ? 3

,

3 ? 1 2 2 2 2 ? 0 38 x ?2? = ?4x ? x ? ? ? 2 3 3 ? ? 16 18 ? 于是:S= =18. 3 3

? [4 ? x ? ( ?

2 x )]dx

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解法二:选y作积分变量,

y2 将曲线方程写为x= 及x=4-y. 2 2 2
2

? y y y2 ? 2 ? ?4 S= ? [4 ? y ? ]dy ? ? 4 y ? ? ? ?4 2 2 6 ? ? ? =30-12=18.
【评析】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平 面图形的大概图形,然后根据图形的特点,选择相应的积 分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式,再 进行求解. 返回目录

*对应演练*
如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为 面积相等的两部分,求k的值.

抛物线y=x-x2与x轴两交点的 横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线 与x轴所围图形的面积
? x2 x3 ? 1 1 1 1 S ? ? ( x ? x )dx ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 0 3 ? 2 3 6 ? ?
1 2

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抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标

? x1 ? 0, x? ? 1 ? k 2
? 1 ? k 2 x 3 ? 1? k 1 S 1? k 所以 ? ? ( x ? x 2 ? kx )dx ? ? x ? ? 0 ? (1 ? k )3 ? 2 2 0 3? 6 ? ? 1 1 3= 又知S= , 所以(1-k) , 6 2 3 1 4 于是k= 1 ? 3 ? 1 ? . 2 2

考点五 定积分在物理中的应用 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这1 min内所行驶的路程. 【分析】由题意知,在t∈[0,10) 和t∈[40,60)物体做匀变速直线 运动,t∈[10,40)做匀速运动,∴v(t) 应为分段函数,应三段求积分.

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【解析】由速度—时间曲线易知, v(t)=

?

3t, t∈[0,10) 30, t∈[10,40) -1.5t+90, t∈[40,60],
40 60

由变速直线运动的路程公式可得

S ? ? 3tdt ? ? 30dt ? ? ( ?1.5t ? 90)dt
0 10 40

10

答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.

3 2 ? t 2

10 1

? 30t

40 10

? 3 2 ? ? ? ? t ? 90t ? 60 ? 1350 40 4 ? ?

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【评析】用定积分解决变速运动的位置与路程问题
时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的 速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性 质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案, 由于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因 此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误.

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*对应演练*
A,B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车 开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到 C点速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶, 从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.3t)m/s.在B点 恰好停车,试求: (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离;

(3)电车从A站到B站所需的时间.

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(1)设A到C经过t1s,由1.2t1=24得t1=20(s),所以
AC=

?

20

0

1.2tdt ? 0.6t 2

20 0

=240(m).

(2)设从D→B经过t2s,由24-1.2t2=0得t2=20(s),
所以DB=

?

20

0

( 24 ? 1.2t )dt

=240(m).

(3)CD=7 200-2×240=6 720(m).
6720 从C到D的时间为t3= =280(s). 24 于是所求时间为20+280+20=320(s).

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1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积

分.
2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁 是被积变量. 3.求曲边多边形的面积,其步骤为: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图象. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分 的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分. 返回目录

4.用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物
理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函 数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其

分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函
数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运 算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误. 5.若曲边梯形的面积易求,可以利用曲边梯形的面积 来求得定积分.

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