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《正切函数的图像与性质》


正切函数的图象和性质

学习目标
1.能画出y=tanx的图像,借助图像理解正切函数的 ? ? ? 区间( 2 , 2 )上的性质。 ? 2.掌握正切函数的性质,会求正切函数定义域,值 域及周期,会利用函数图像与性质解决综合问题。
?

y tan ? ? x
要使得上式有意义,必须 x≠0; 即角α的终边不能落在 y 轴上 ? (即: ? ? ? k?,k ? Z )。
2

?

于正切函数 y ? tan x,只有x ?

?
2

? k? , k ?

能使得y ? tan x有意义。

4.10 正切函数的图像和性质 一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢?
1、用平移正弦线得 y ? sinx, x ?[0,2? ]图象.

2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .

类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

4.10 正切函数的图像和性质

二、探究用正切线作正切函数图象
问题1、正切函数 y

= tanx 是否为周期函数?

∵f ? x +π ? = tan ? x +π ? = tanx ? f ? x ?
∴ y 期.

= tanx

是周期函数,

? 是它的一个周

我们先来作一个周期内的图象。 想一想:先作哪个区间上的图象好呢?
ππ (- , ) 2 2

为什么?

? ? ?? y ? tan x 利用正切线画出函数 ,x ? ? ? , ? 的图像: ? 2 2?

4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像?

y?

? ? ?? tan x,x ? ? ? , ? ? 2 2?

角 的终边 3 T

?

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

类似于正弦余弦函数的五点作图法,正切函数的简图可 用三点两线法 ? ? ? k ? , 1 1) k ? Z k ? , 0 三点分别为( 4 )( )( 4 ? k?, ? ? x ? k ? ? x ? k ? ? k ?Z 两线为直线 和直线 2 2

4.10 正切函数的图像和性质

正切曲线

? 是被与 y 轴相互平行的直线 x ? k? ? , k ? Z 2 隔开的无穷多支曲线组成

渐 近 线

渐 近 线

正 切 函 数 图 像
性质 :

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑵ 值域: R ⑶ 周期性: 具有周期性 T ? ? ⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。 kπ (5)对称性: 对称中心 ( ,0) K ? Z
(6) 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) , k ? Z 内都是增函数。 2 2

2

问 题





问题:
正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?

A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

题型讲解
? 1.求定义域(例1)
? 2.求值域(当堂1) ? 3.求单调性、周期、对称中心(例2、例3、

课后3) ? 4.比较大小(当堂3)

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2、正切函数的简图常采用三点两线法

y ? tan x 性质: 3、
⑴ 定义域: {x | x ? ⑵ 值域: R

? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: 具有周期性 T ? ?

⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。 (5) 对称性:对称中心:

k ? Z 无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ), k ? Z 内都是增函数。 2 2


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