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2009年全国高中数学联赛江西省预赛[1].doc


2009 年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题( 每小题 10 分,共 80 分) 1. 某 人 在 将 2009 中 间 的 两 个 数 码 00 分 别 换 成 两 位 数 ab 与 cd 时 , 恰 好 都 得 到 完 全 平 方 数 :

2ab9 ? n2 , 2cd 9 ? m2 , (m ? n, m, n ? N ) ,则数组

m ? n, ab ? cd ?
2. 若 一 个 椭 圆 的 焦 点 和 顶 点 分 别 是 双 曲 线 为: . 3. 实数 x, y 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是 .

?

?



y 2 x2 ? ?1 的 顶 点 和 焦 点 , 则 椭 圆 的 方 程 9 16

4. 四面体 ABCD 中, CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC , AB ? BC ? 1 平面 BCD 与平面 ABC 成 45 的二面
0

角,则点 B 到平面 ACD 的距离为



5. 从 集 合 M ? ?1, 2, 3, , 2009 , 去 掉 所 有 3 的 倍 数 以 及 5 的 倍 数 后 , 则 M 中 剩 下 的 元 素 个 数 ? ?中 为 .

6 . 函数 f ( x) ? 7 . cos

x ? x3 的值域是 (1 ? x 2 )2
2? 4? 7? ? cos ? cos ? 15 15 15



?
15

? cos



8 . 九 个连续 正整数自 小到大 排成一 个数列 a1 , a2 ,?, a9 , 若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9的值 为一平 方数 ,

a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是
二、解答题( 共 70 分)



9 . (20 分)给定 Y 轴上的一点 A(0, a) ( a ? 1 ) ,对于曲线 y ?
点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .

1 2 x ? 1 上的动点 M ( x, y) ,试求 A, M 两 2

10 . ( 25 分)如图, AB 、 CD 、 EF 是一个圆中三条互不相交的弦,以其中每两条弦
为一组对边,各得到一个凸四边形,设这三个四边形的对角线的交点分别为 M , N , P ;证明:

A

E D

B

C F

M , N , P 三点共线.

11 . (25 分) n 项正整数列 x1 , x2 ,?, xn 的各项之和为 2009 ,如果这 n 个数既可分为和相等的 41 个组,又
可分为和相等的 49 个组,求 n 的最小值.
1

解 答
1. (100,100) 提示: 注意到,对于整数 k ,若 k 的末位数为 9 ,则 k 的末位数必为 3 或 7 ,易知 44 ? 2000? 2 9, ab
2

2

( 45 ? 2025 ) 5 , 5
2

2

?2 2 ? cd , 因 此 44 ? n ? m ? 55 , 于 是 , 若 要 m, n 满 足 条 件 , 只 可 能 是 , 35 0 9

n ? 47, m ? 53 , 由 于 472 ? 2209 , 532 ? 2809 , 所 以 ab ? 20, cd ? 80, n ? 47, m ? 53 ,

? m ? n, ab ? cd ? ? ?100,100? .
2.

x2 y 2 ? ?1 16 25

提示: 双曲线的两顶点为 ? 0, ? 3? , 两焦点为 ? 0, ? 5? , 故由条件, 椭圆的两焦点为 ? 0, ? 3? , 两顶点为 ? 0, ? 5? , 因此, c ? 3, a ? 5 , b ? a ? c ? 16 ,则椭圆的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 25

3. 1 ?

1 10 2
2

2 2 2 提示:令 x ? y ? t ,则 x ? t ? y ,由 2 ? t ? y ? ? 3 y ? 6 y ,得 5 y ? 2 ? 2t ? 3? y ? 2t ? 0 ,因 y 为实数,则判

2 别式 ? ? 4 ? 2 t ? 3 ? ? 4 ? 5 ? 2 t ? 0 ,得 2

2 ? 10 2 ? 10 . ?t ? 2 2

4.

3 3

提示: DC ? AC ?

2 ,作 DE ? 平面 ABC ,垂足为 E ,连 CE, AE ,由三垂线逆定理, EC ? BC ,所以
1 1 2 DC ?1 , VABCD ? DE ? S ABC ? ,又因 ABCE 为正方形, AE ? 1 ,则 3 6 2 1 1 3 3 ,设 B 到平面 ACD 的距离为 h ,由 h ? S ACD ? ,得 h ? 3 6 2 3

?DCE ? 450 ,故 CE ? DE ?

AD ? 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为
5.

1072 .

提示: 集合 M 中,3 的倍数有 ?

? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? 15 ? 669 个,5 的倍数有 ? ? 401个, 的倍数有 ? ? 133 ? 5 ? ? ? 15 ? ? ? 3 ? ?

个,则剩下的元素个数为 2009 ? ? 669 ? 401 ?133? ? 1072 个.

1 1 6 . [? , ] 4 4
2

1 1 x 1 ? x2 提示: f ( x) ? ,令 x ? tan ? ,则 f ? sin 2? ? cos 2? ? sin 4? , ? 2 2 2 4 1? x 1? x
由此, ?

1 1 ? ? ? f ? ,当 x ? ? tan , tan 时两边分别取得等号. 4 4 8 8 1 7. ? . 2

提示:

? 7? ? ? 2? 4? ? ? 原式 ? ? cos ? cos ? cos ? ? ? cos ? 15 15 ? ? 15 15 ? ? 4? ? ? ? ? 2 cos cos ? 2 cos cos 15 5 15 5
? 2 cos

?? ?
5

4? ? ? ? cos ? ? cos 5? 15 15 ? sin
sin
0

? ?4 cos
? ?2 cos
0

?
6

sin

?
10

?
5

1 ?? . 10 2
0 0 0 0

?

(注:由 sin 72 ? 2sin 36 cos36 ? 4sin18 cos18 cos36 , 则 sin18 cos 36 ?
0 0

1 ? ? 1 ? . ,即 cos sin ) 4 5 10 4

2 3 8 . 18000 提示: 设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 , 则有,5a ? m ,4a ? n ,

S ? 9a ,则 a ?

m2 n2 ? ,得 5 4
4m2 ? 5n3


2 3 2 3 令 n ? 2n1 , m ? 5m1 ,得 100m1 ? 40n1 ,所以 5m1 ? 2n1 ,再取 m1 ? 2m2 , n1 ? 5n2 , 2 2 化为 2m2 ? 52 n2 ,取 m2 ? 10, n2 ? 2 ,可使左式成立,这时 n ? 20, m ? 100 , a ? 2000 ,

S ? 9a ? 18000 .

9 . 如图,易求得曲线上诸点的坐标为: E(? 2, 0), F ( 2, 0), D(0,1) ,当

Y

x2 x ? 2 ,即 ? 2 ? x ? 2 时,曲线方程为 y ? 1 ? ……① ; 2
2
E

A

D

M F X

o

x2 ?1 而当 x ?2 时,曲线方程为 y? 2
2

……②, 对 于 情 形 ①, 即

? 2 ? x ? 2 时,显然当 M 位于顶点 D 处时,距离 AM 取得最小值 a ? 1 ;
3

x2 对于情形② ,即在 x ? ? 2 或 x ? 2 时,设点 M ( x, ? 1) ,由于 2
AM ? x 2 ? (
2

x2 1 ? 1 ? a ) 2 ? ( x 2 ? 2 a ) 2 ? 2a ? 1 , 2 4

因 a ? 1 ,则 2a ? 2 , 2a ?

2 ,于是,当 x ? 2a 时, AM 取得最小值 2a ? 1 ;再比较 AD 与 AM :令
2 2

f (a ) ? AD ? AM ? (a ? 1) 2 ? (2a ? 1) ? a(a ? 4) ,
则当 1 ? a ? 4 时, f (a ) ? 0 , AD ? AM ,即最小值为 AD ? a ?1 ;而当 a ? 4 时, f (a ) ? 0 ,则最小值

AM ? 2a ? 1 .
10 . 如图,设 AB, CD, EF 为三条不相交的弦,其中 AC ? BD ? P , AF ? BE ? M , CE ? DF ? N ,
又设 BD ? CE ? H ,点 N , P, M 截 ?BEH 的三边,据梅涅劳斯逆定理,只要证
A E D
M H P N

HP BM EN ? ? ?1 PB ME NH
用记号 ? 表示三角形面积,则由

① ,

B F

BM ?BAF BA ? BF ? ? ME ?EAF EA ? EF



C

HP ?HAC ?HAC ?EAC CH EA ? EC CH ? EA ? ? ? ? ? ? PB ?BAC ?EAC ?BAC CE BA ? BC BA ? BC
由此得



HP BM CH ? BF ? ? , PB ME BC ? EF
因此只要证,

EN ? BF CH ?1, EF ? BC NH
注意



EN DN ? , ?BFD ? ?BCD ,则 EF DC

NH ?NBD ?FBD ? ?FBN ? ? CH ?CBD ?CBD
FB ? FD ? FB ? FN CB ? CD FB ? ND FB EN ? ? ? CB ? CD CB EF ?
所以

EN ? BF CH ? 1 ,即④ 成立,从而① 成立,故结论得证. EF ? BC NH
4

11 . 设分成的 41 个组为 A1 , A 2 ,?, A 41 ,每组中的各数和皆为 49 ,称这种组为 A 类组;而分成的 49 个组
为 B1 , B2 ,?, B49 ,每组中的各数和皆为 41 ,称这种组为 B 类组. 显然,每个项 xk 恰好属于一个 A 类组和一个 B 类组,即同类组之间没有公共项,如果两个组 Ai , B j 中有两 个公共项 xr , xt ,则可以将这两个数合并为一个项 xr ? xt ,这样可使 n 值减少,故不妨设,每对 Ai , B j 至多有一 个公共项. 今用点 u1 , u2 ,?, u41 分别表示 A1 , A 2 ,?, A 41 ,而点 v1 , v2 ,?, v49 表示组 B1 , B2 ,?, B49 , 如果组 Ai , B j 有公共项,则在相应的点 ui , v j 之间连一条边,于是得二部图 G ,它恰有 n 条边和 90 个顶点.下 面证明 G 是连通图. 如果图 G 的最大连通分支为 G ? ,其顶点数少于 90 ,设在分支 G ? 中,有 a 个 A 类顶点 uk1 , uk2 ,?, uka 和 b 个

B 类顶点 vs1 , vs2 ,?, vsb ,其中 a ? b ? 90 ,则在相应的 A 类组 Ak1 , Ak2 ,?, Aka 和 B 类组 Bs , Bs ,?, Bs 中, A 类 1 2 b
组 Aki 中的每个数 xi 都要在某个 B 类组 Bs 中出现;而 B 类组 Bs i 中的每个数 x j 也都要在某个 A 类组 A r 中出
j j

现, (否则将有边与分支外的顶点连接,发生矛盾) ,因此 a 个 A 类组 Ak1 , Ak2 ,?, Aka 中各数的和应等于 b 个 B 类 组 Bs , Bs ,?, Bs 中各数的和,即有 49a ? 41b ,由此得 41 a , 49 b ,所以 a ? b ? 41 ? 49 ? 90 ,矛盾!因此 1 2 b

G 是连通图.于是图 G 至少有 90 ? 1 ? 89 条边,即 n ? 89 ;
另 一 方 面 , 我 们 可 实 际 构 造 一 个 具 有 89 项 的 数 列 x1 , x2 ,?, x89 , 满 足 本 题 条 件 . 例 如 取

x1 ? ? ? x41 ? 41, x42 ? ? ? x75 ? 8, x76 ? ? ? x79 ? 7, x80 ? ? ? x83 ? 1, x84 ? x85 ? 6,
(该数列有 41 个取值为 41 的项;34 个取值为 8 的项; 另将其余七个 8 拆成七对, x86 ? x87 ? 2 ,x88 ? 5, x89 ? 3 , 其中四对 ?7,1? ,两对 ?6, 2? ,一对 ?5,3? ,又得到 14 个项) ,于是,每个 A 类组可由一个 41 ,一个 8 ,或者由 一个 41 , 添加一对和为 8 的项组成; 这样共得 41 个 A 类组, 每组各数的和皆为 49 ; 为了获得和为 41 的 49 个 B 类组,可使 x1 , x2 ,?, x41 各成一组,其余的数可以拼成八个 B 类组:?8,8,8,8,8,1 的组四个,?8,8,8,8,7, 2? 的组两个,?8,8,8,8,6,3? 的 ? 组一个, ?8,8,7,7,6,5? 的组一个.故 n 的最小值为 89 .

5


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