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简单的复合函数求导法则学案


§1.2.3 简单的复合函数求导法则
【学习目标】 1、理解复合函数的概念,了解简单复合函数的求导法则; 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点:简单复合函数的求导法则; 难点:复合函数的导数。 一.课前预习 1.复合函数 一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成______的函数,那 么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 y ? g (x) 的复合函数,记作,_________。其中_______为变量. 2.写出下列函数的复合过程: ①函数 y ? sin?2 x ? 3? 是由函数 y ? __________ __ 及 _________ 复合而成。 ② 函数 y ? x 2 ? 2x 是由函数 y ? __________ __ 及 _________ ③函数 y ? ln?4 x ? 3? 是由函数 y ? __________ __ 及 _________

?

?

3

复合而成。 复合而成。

3.思考:下列函数(1)用基本初等函数求导公式如何求导?(2) (3)能用学过的公式求导吗?(1)

y ? (2x ? 3) 2 (2) y ? ln(x ? 2) (3) y ? e ?005 x?1
二.新知探究 复合函数的导数求解法则: 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u ) , u ? g (x) 的导数间的关系为: 二.典例分析 例 1:写出函数 y ? (?4 x ? 3) 的中间变量,并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。
10

例 2:求下列函数的导数 (1) y ? ln(x ? 2) (2) y ? e
?005 x ?1

(3) y ? sin(?x ? 4)

(4) y ?

2x ? 1

1

例 3:已知函数 f ( x) ? ln( x ? 2) ?

x2 , a 为常数。 2a

(1)求 f ?(3) 的值;

(2)当 x ? 3 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (3,y0 ) 处的切线经过点 (?1 ? 1) ,求 a 的值。 ,

三.反思小结: 四.当堂检测 1. 下列函数求导数,正确的是 ① e .

? ?? ? e
2x

2x

; ② x2 ? 3

??

? ? ? 8( x
8

?

2

? x ? 2 ? 3) 7 ? 2 x ; ③ ?ln 2 x ? ? ; ④ ?a 2 x ? ? 2a 2 . x
. ; e

2. 设 f ?x ? ? ln?2 ? 3x ? ,则 f ?? ? = 3. 若 y ? ?1 ? 2 x ? ,则 y ? ?
2

?1? ?3?

?

? 2 x ?1

?? ?
1 x

.

4. 求下列函数的导数: (1) y ? (1 ? 3x)
3

(2) y ? e

2x

(3) y ? ln

(4)y=

1 (3x ? 1) 2

2

§1.2.3 简单的复合函数求导法则作业纸
1.函数 y=(1+sin3x)3 是由___________、 2.曲线 y=sin3x 在点 P(

班级

姓名

两个函数复合而成.

? ,0)处切线的斜率为___________. 3 ? ? 3.函数 y=xsin(2x- )cos(2x+ )的导数是 . 2 2
4.函数 y= cos(2 x ?

?
3

) 的导数为

.

1
5.函数 y=cos3 x 的导数是___________. 6.已知曲线 y ? sin( 2 x ?

?
3

)( 0 ? x ? 2? ) 在点 M 处有水平切线,求点 M 的坐标.

7.求下列函数的导数: (1) y ? (1 ? 3x)
4

(2) y ? ln(4 x ? 1)
2

(3) y ?

sin 2 x 2x ? 1

(4) y ? cos(lnx)

( 5) y ? log2 (2 x ? 3x)

3


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