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【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习:3.3.3习题课 导数在研究函数中的应用]


习题课
一、基础过关

导数在研究函数中的应用

π? 1 1.函数 f(x)= ex(sin x+cos x)在区间? ?0,2?上的值域为________. 2 2.函数 y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是________.(填序号)

3.使 y=sin x+ax 在 R

上是增函数的 a 的取值范围为__________. 4.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在 (-∞,+∞)内单调递减,则实数 m 等于________. 3 9 5.若函数 y=x3+ x2+m 在[-2,1]上的最大值为 ,则 m=________. 2 2 6.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上单调递增,则 a 的最大值为________. 二、能力提升 7. 如果函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(a、 b、 c∈R)在 R 上不单调, 那么 a、 b、 c 的关系为________. 8. 直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个相异的交点, 则 a 的取值范围是________. 9.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范 围为________. 10.已知函数 f(x)=x3-ax2+3x+6,若 x=3 是 f(x)的一个极值点,求 f(x)在[0,a]上的最 值. 11.设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2.

(1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. 三、探究与拓展 12.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

答案
1 1 π? 1.? ?2,2e2? 2.④ 3.[1,+∞) 4.-2 5.2 6.3 7.a2>3b,c∈R 8.(-2,2) 2 -2, ? 9.? 3 ? ? 10.解 f′(x)=3x2-2ax+3, 由已知得 f′(3)=0, ∴3×9-6a+3=0.∴a=5, ∴f(x)=x3-5x2+3x+6. 令 f′(x)=3x2-10x+3=0, 1 得 x1= ,x2=3. 3 则 x,f′(x),f(x)的变化关系如下表. x f′(x) f(x) 6 0

?0,1? ? 3?
+ 递增 6

1 3 0 13 27

?1,3? ?3 ?
- 递减

3 0 -3

(3,5) + 递增

5

21

∴f(x)在[0,5]上的最大值为 f(5)=21,最小值为 f(3)=-3. b 11.(1)解 f′(x)=1+2ax+ . x
? ?f?1?=0, 由已知条件得? ?f′?1?=2, ? ? ?1+a=0, 即? ?1+2a+b=2. ? ?a=-1, ? 解得? ?b=3. ?

(2)证明 因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3ln x.

设 g(x)=f(x)-(2x-2) =2-x-x2+3ln x, 3 则 g′(x)=-1-2x+ x ?x-1??2x+3? =- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0, 即 f(x)≤2x-2. 12.解 当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, f′(x)=(-x2+2)ex. 当 f′(x)>0 时,(-x2+2)ex>0,注意到 ex>0, 所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为(- 2, 2). 同理可得,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到 ex>0, 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立, x2+2x 1 也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1 1 设 y=x+1- , x+1 1 则 y′=1+ >0, ?x+1?2 1 即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, x+1 1 3 3 则 y<1+1- = ,故 a≥ . 2 1+1 2

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