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第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第一章集合与常用逻辑用语

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第一章集合与常用逻辑用语

1.命题p∧q,p∨q,7p的真假判断 真 (1)“p∧q”是真命题当且仅当命题“p”与“q”均为_____命 假 题,否则“p且q”是_____命题; 假 (2)“p∨q”是假命题当且仅当“p”与“q”均是____

命题, 真 否则“p∨q”是______命题. (3)命题p与7p有且只有一个是真命题.

第一章集合与常用逻辑用语

2.量词

第一章集合与常用逻辑用语

3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定

?x∈M,p(x)

?x0∈M,7p(x0) ________________________ ?x∈M,7p(x)

?x0∈M,p(x0)

_____________________

第一章集合与常用逻辑用语

1.全称命题与特称命题的否定有什么关系? 【提示】 称命题. 2.含逻辑联结词“或”的命题如何否定? 【提示】 “p或q”的否定是“7p且7q”. 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全

第一章集合与常用逻辑用语

含逻辑联结词的命题及真假

第一章集合与常用逻辑用语

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第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

全(特)称命题及真假判断

(2012·阳江模拟)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0
满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的 是( )

A.?x∈R,f(x)≤f(x0)
C.?x∈R,f(x)≤f(x0) 【思路点拨】

B.?x∈R,f(x)≥f(x0)
D.?x∈R,f(x)≥f(x0)

由2ax0+b=0,知f(x)在x=x0处取得极小值,

从而做出判断.

第一章集合与常用逻辑用语

【尝试解答】 由f(x)=ax2+bx+c,知f ′(x)=2ax+b. 依题意f ′(x0)=0,

又a>0,所以f(x)在x=x0处取得极小值.
因此,对?x∈R,f(x)≥f(x0),C为假命题. 【答案】 C

第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

含有量词命题的否定

写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2+2x0+2≤0; 0 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3+1=0. 0
【思路点拨】 分析命题所含量词 → 明确命题类型

→ 对命题否定、改变量词 → 判定命题真假

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1 (1)7p:?x0∈R,x2-x0+ <0,假命题. 0 4 1 1 这是因为?x∈R,x2-x+ =(x- )2≥0 恒成立. 4 2 (2) 7q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)7r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题.这是由于?x∈R,x2+2x+2 =(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)7s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.这是由于 x=-1 时,x3+1=0. 【尝试解答】

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与逻辑联结词、量词有关的参数问题

a (2012· 云浮质检)已知 a>0,命题 p:?x>0,x+ ≥2 恒 x y2 2 成立;命题 q:?k∈R,直线 kx-y+2=0 与椭圆 x + 2=1 a 有公共点.是否存在正数 a,使得 p∧q 为真命题,若存在,请 求出 a 的范围,若不存在,请说明理由.
【思路点拨】 若p∧q为真命题,则两个全称命题p,q为真命 题,对于命题p,由恒成立,求参数;对于命题q,注意到直线 kx-y+2=0过定点(0,2),由几何直观,转化为代数不等式求解, 从而得出结论.

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a 【尝试解答】 对?x>0,∵x+ ≥2 a,(a>0) x a 所以要使 x+ ≥2 恒成立,应有 2 a≥2,∴a≥1. x ?k∈R,直线 kx-y+2=0 恒过定点(0,2), y2 2 要使直线 kx-y+2=0 与椭圆 x + 2=1 有公共点, a 2 2 应有 2+02≤1,解得 a≥2. a 若 p∧q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题, ?a≥1 因此? ,所以 a≥2. ?a≥2 综上,存在 a≥2,使得 p∧q 为真命题.

第一章集合与常用逻辑用语

已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调 ?2x-2a,?x≥2a? 递减; 设函数 y=? q: , 函数 y>1 恒成立. 若 2a,?x<2a? ? p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围.
【解】 若 p 是真命题,则 0<a<1, 若 q 是真命题,则 ymin>1, 又 ymin=2a,∴2a>1, 1 ∴q 为真命题时,a> ; 2 又∵p∨q 为真,p∧q 为假, ∴p 与 q 一真一假. 1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ;若 p 假 q 真,则 a≥1. 2 1 故 a 的取值范围为 0<a≤ 或 a≥1. 2

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