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2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准

一、 (本题满分 40 分) 如图,已知⊙O1 与⊙O 外切于点 P,⊙O2 与⊙O 内切于点 Q,线段 O1O2 与 PQ 交于点 G, 过 G 作⊙O1 的切线 GN,切点为 N.求证:直线 NG 与⊙O2 也相切.
Q N



G P<

br />
O2

O1

O

证明:过 G 作⊙O2 的切线 GM,切点为 M,连 O1O,OQ,O1N,O2M, 则点 P 在 O1O 上,点 O2 在 OQ 上. 过 O2 作 O2H∥PQ 交 OO1 于 H 点. 设⊙O1,⊙O2,⊙O 的半径分别为 r1,r2,R, O1 G O1 P r1 O1 N r1 则由 O2H∥PQ 得,PH=QO2=r2,且O G= PH =r ,而O M=r ,
2 2 2 2

O1 G O1 N 所以,O G=O M .
2 2

…………… 20 分

又 GN,GM 分别为⊙O1、⊙O2 的切线,所以∠O1NG=90°=∠O2MG, 所以 Rt△NO1G∽Rt△MO2G,所以∠O1GN=∠O2GM. 从而有 N、G、M 三点共线,即直线 NG 与⊙O2 也相切.
Q N O2 M O1 P H O

…………… 40 分

G

1 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 1 页 共 4 页

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二、 (本题满分 40 分) 1 1 1 5 设 n 为正整数,2≤xi≤8,i=1,2,…,n.证明:(x1+x2+…+xn)(x +x +…+x )≤(4n)2,
1 2 n

并讨论何时等号成立? 1 1 1 x1 x2 xn 4 4 4 证明:因为 (x1+x2+…+xn)(x +x +…+x )=( 4 + 4 +…+ 4 )(x +x +…+x ) 1 2 n 1 2 n 1 x1 x2 xn 4 4 4 ≤4( 4 + 4 +…+ 4 +x +x +…+x )2, 1 2 n ①

xn 4 4 4 5 x1 x2 所以,只要证明: 4 + 4 +…+ 4 +x +x +…+x ≤2n.…………………20 分 1 2 n x 4 令 f(x)=4+ x ,x∈[2,8] . 1 4 由 f ′(x)=4-x2=0,得 x=4. 因此,当 x∈(2,4),f ′(x)<0,f(x)为单调减函数; 当 x∈(4,8),f ′(x)>0,f(x)为单调增函数. 5 故 f(x)≤max{ f(2),f(8)}=2, 5 5 于是 f(xi)≤2 (i=1,2,…,n ) ,当且仅当 xi=2 或 8 时,f(xi)=2. ②

x1 x2 xn 4 4 4 5 5 5 5 因此, 4 + 4 +…+ 4 +x +x +…+x =f(x1)+ f(x2)+…+f(xn)≤2+2+…+2=2n. 1 2 n 1 1 1 5 所以(x1+x2+…+xn)(x +x +…+x )≤(4n)2.
1 2 n

………………………30 分

1 1 1 5 要使(x1+x2+…+xn)(x +x +…+x )=(4n)2,
1 2 n

? 4 + 4 +…+ 4 =x +x +…+x , 由①②知,必须有 ? 5 ?f(x )=2,x =2或8,i=1,2,…,n.
1 2 n i i

x1

x2

xn

4

4

4

2 8 4 4 设 x1,x2,…,xn 中,有 p 个等于 2,q 个等于 8,则 p+q=n,且4· p+4· q=2· p+8· q. 因此 p=q,n=2p,即 n 为偶数. 而当 n 为偶数时,且 x1,x2,…,xn 中一半取 2,一半取 8 时,等号成立. 故当且仅当 n 为偶数,且 x1,x2,…,xn 中一半取 2,一半取 8 时等号成立. …………………………… 40 分

2 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 2 页 共 4 页

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三、 (本题满分 50 分) 已知一凸 n 边形的任意相邻两个内角的差都是 20°.试求 n 的最大值. 解: (1)证明 n 为偶数. 记凸 n 边形为 A1A2…An, 则 A2=A1±20°,A3=A2±20°=A1±20°±20°,…, Ak=A1±20°1±20°…±20°=A1+pk20°-qk20°, 其中 pk 为“+”号的个数,qk 为“-”的个数,且 pk+qk=k-1. 在上式中令 k=n+1,即知 An+1=A1+pn+120°-qn+120°=A1+pn+120°-(n-pn+1)20°=A1, 得 pn+1=n-pn+1,即 n=2pn+1,所以 n 为偶数. (2)证明 n≤34. 设 n 个内角中最大的为 x,则所有内角中至少还应包括另一角 x-20°, 且所有内角中任意相邻的两角不相同,且其和不超过 2x-20°,即平均不超过 x-10°, 故有(n-2)· 180°=A1+A2+…+An≤n(x-10°),nx≥(n-2)· 180°+n· 10°. 因为 x<180°,所以 n· 180°>nx≥(n-2)· 180°+n· 10°, 从而 n<36,又因为 n 为偶数,所以 n≤34. (3)证明 n=34 能取到. 不妨设凸 34 边形内角中只有两个值 x 和 x-20°,它们相间出现,各为一半, 3050° 有 17(2x-20°)=32×180°,x= 17 <180°.x-20°>0, 知存在满足条件的凸 34 边形. 由(1) (2) (3)可知,n 的最大值为 34. ……………… 50 分 ……………… 40 分 ……………… 20 分

3 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 3 页 共 4 页

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四、 (本题满分 50 分) 2014 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 cosn>2015. 1 证明: (1)证明任给一个正整数 k 存在一个正整数 n,使得 cosn>1-k . 2π 1 取一正整数 M,使得 cos M >1-k . 1 令 α=2π,则 α 为无理数. 考虑以下 M+1 个数:{α},{2α},…,{Mα},{(M+1)α}, ({x}=x-[x] , [x]表示不大于 x 的最大整数). M-1 1 2 1 [M,M),…, [ M ,1), 将区间[0,1)分成 M 个小区间: [0,M), 由抽屉原理可知,一定存在 1≤i<j≤M+1,使得{iα},{jα}在同一个小区间, 1 1 因此,|{jα}-{iα}|<M,从而|nα-([jα]-[iα])|<M, 其中 n=j-i,1≤n≤M. …………………………20 分 …………10 分

n 所以 cosn=cos2π· 2π=cos2πnα=cos2π|nα-([jα]-[iα])| 2π 1 =cos2π|{jα}-{iα}|>cos M >1- k. 2014 (2)证明有无穷多正整数 n,使得 cosn>2015. 我们用反证法来证明上述结论. 2014 假设只有有限个正整数 n,使得 cosn>2015, 2014 则可令使 cosn>2015成立的正整数 n 的个数 t. 不妨设这 t 个正整数为 n1,n2,…,nt, 2014 1 并且满足 1>cos nt>cos nt-1>…>cos n2>cos n1>2015=1-2015. 1 1 2014 取正整数 k1 满足 1- k >cos nt,由(1)可知存在正整数 n,使得 cos n>1- k >2015. 1 1 2014 这与使 cosn>2015成立的正整数 n 的个数是 t 矛盾. 2014 所以存在无穷多个正整数 n,使得 cosn>2015. ………………………50 分 ……………………… 30 分

4 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 4 页 共 4 页

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