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2.4.1 抛物线及其标准方程


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

2.4.1

抛物线及其标准方程

2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程

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2.4.1

物线及其标准方程

[学习目标]

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线的方程.

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[知识链接]

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抛物线及其标准方程

如图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角 板,

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抛物线及其标准方程

将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边
一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线 EF上,在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会 画出一条曲线.画出的曲线是什么形状? 点D在移动过程中,满足什么条件? 答案 抛物线 |DA|=|DC|

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抛物线及其标准方程

[预习导引] 1.抛物线的定义

距离相等 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_________
焦点 ,直线l 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 叫做抛物线的_____ 准线 .

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2.抛物线标准方程的几种形式

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图形

标准方程

焦点坐标

准线方程
p x=- 2

y2=2px(p>0) ____________

p ( , 0) 2

p 2=-2px(p>0) y ____________ (-2,0)

p x= 2

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抛物线及其标准方程

2=2py(p>0) x _____________

p (0, ) 2

p y=- 2

2=-2py(p>0) x _____________

p (0,- ) 2

p y= 2

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抛物线及其标准方程

要点一 例1

求抛物线的标准方程

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)焦点为(-2,0);

(2)准线为y=-1;
5 (4)焦点到准线的距离为 . 2 p 解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上,且 =2, 2 ∴p=4, ∴抛物线标准方程为 y2=-8x.
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(3)过点A(2,3);

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抛物线及其标准方程

p (2)∵ 焦点在 y 轴正半轴上,且 = 1, 2 ∴ p=2, ∴抛物线标准方程为 x2= 4y. (3)由题意, 抛物线方程可设为 y2= mx(m≠ 0)或 x2=ny(n≠ 0), 将点 A(2, 3)的坐标代入,得 32= m· 2 或 22= n· 3, 9 4 ∴ m= 或 n= . 2 3 9 4 2 2 ∴所求抛物线方程为 y = x 或 x = y. 2 3 5 5 (4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 ∴所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
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抛物线及其标准方程

规律方法

求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛

物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即 可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线 方程可设为x2=ay(a≠0).

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跟踪演练1

2.4.1

抛物线及其标准方程

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(3,-4); (2)焦点在直线x+3y+15=0上. 解 (1)法一 ∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线的标准 方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y, 得(-4)2=2p· 3,32=-2p1·(-4), 16 9 即 2p= ,2p1= . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4
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抛物线及其标准方程

法二 ∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线的方程可设为 y2 =ax(a≠0)或 x2=by(b≠0). 16 9 把点(3,-4)分别代入,可得 a= ,b=- . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4 (2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.

∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.

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要点二 例2 抛物线定义的应用

2.4.1

抛物线及其标准方程

如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,

点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2), 求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐 标. 解 如图,作PQ⊥l于Q,由定义知, 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P

到准线l的距离d,由图可知,求|PA|+
|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|+d 的最小值的问题.
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抛物线及其标准方程

将 x= 3 代入抛物线方程 y2= 2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴ A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知 |PA| 2 + |PF|= |PA|+ d.由图可知,当 PA⊥l 时, |PA|+d 最小,最 7 7 小值为 .即 |PA|+ |PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐标为 2, 2 2 代入 y2= 2x,得 x= 2. ∴点 P 坐标为 (2, 2).

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规律方法

2.4.1

抛物线及其标准方程

抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地进行

抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化,另外要注 意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三 边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等. 跟踪演练2 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到 (
A. 17 2 B. 2 C. 5 9 D. 2

点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 )

答案

A
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解析 如图,由抛物线定义知

2.4.1

抛物线及其标准方程

|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|, 则所求距离之和的最小值转化为求 |PA|+|PF|的最小值, 则当A、P、F三点共线时,|PA|+|PF| 取得最小值.
1 又 A(0,2),F( ,0), 2 ∴(|PA|+|PF|)min=|AF| 1 2 17 2 = (0- ) +(2-0) = . 2 2
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要点三 例3 抛物线的实际应用

2.4.1

抛物线及其标准方程

喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流的最

高点B高5 m,且与OA所在的直线相距4 m,水流落在以O
为圆心,半径为9 m的圆上,则管柱OA的长是多少? 解 如图所示,建立直角坐标系, 设水流所形成的抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 因为点C(5,-5)在抛物线上, 所以25=-2p· (-5),因此2p=5, 所以抛物线的方程为x2=-5y,

点A(-4,y0)在抛物线上,
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抛物线及其标准方程

16 所以 16=-5y0,即 y0=- , 5 16 所以 OA 的长为 5- =1.8(m). 5 所以管柱 OA 的长为 1.8 m. 规律方法 在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点

为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得 标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数 项,形式更为简单,便于应用.

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跟踪演练3

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抛物线及其标准方程

某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶

5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货的木船露在 水面上的部分为0.75 m,当水面上涨到与拱顶相距多少 时,木船开始不能通航?



以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴建立直角

坐标系.(如图) 设抛物线的方程是x2=-2py(p>0),

由题意知A(4,-5)在抛物线上,

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抛物线及其标准方程

8 故:16=-2p×(-5)?p= , 5 16 2 则抛物线的方程是 x =- y(-4≤x≤4), 5 设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、B′时, 木船开始不能通航.

设 B(2,y′), 16 5 5 2 ∴2 =- y′? y′=- .∴ +0.75=2. 5 4 4 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 m 时,木船开始 不能通航.

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抛物线及其标准方程

1.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为
( A.x2=-28y C.y2=-28x 答案 B
2

)

B.y2=28x D.x2=28y

p 解析 抛物线开口向右, 方程为 y =2px(p>0)的形式, 又 =7, 2 所以 2p=28,方程为 y2=28x.

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抛物线及其标准方程

2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲 x2 y2 线 - =1 上,则抛物线方程为 ( ) 4 2

A.y2=8x 答案 D

B.y2=4x

C.y2=2x

D.y2=±8x

x2 y2 解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线 - =1 的顶点, 4 2 即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为 y2=8x 或 y2= -8x.

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抛物线及其标准方程

3.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2= 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 (
A.2 B. 3 11 C. 5 37 D. 16

)

答案

A

解析 如图所示, 动点 P 到 l2:x=-1 的距离可转化为 PF 的距离,由图可 知,距离和的最小值,即 F 到直线 |4+6| l1 的距离 d= 2 2= 2. (-3) +4
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抛物线及其标准方程

4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐 标是
17 A. 16 15 B. 16 7 C. 8 D.0

(

)

答案

B
2

1 1 解析 抛物线方程化为 x = y,准线为 y=- ,由 4 16 于点 M 到焦点距离为 1,所以 M 到准线距离也为 1, 1 15 所以 M 点的纵坐标等于 1- = . 16 16

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2.4.1

抛物线及其标准方程

1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数

p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方
向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设 标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物 线标准方程可设为y2=2mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线 标准方程可设为x2=2my(m≠0).

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抛物线及其标准方程

再见
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