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三角函数的图像和性质


课时跟踪检测(十九) 三角函数的图像和性质

1.函数 y= π π? A.? ?-3,3?

1 cos x- 的定义域为( 2

)

π π? B.? ?kπ-3,kπ+3?,k∈Z π π? C.? ?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z D.R π? 2.已知函数 f(x)=sin? ?x-2?

(x∈R),下面结论错误的是( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? B.函数 f(x)在区间? ?0,2?上是增函数 C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 πx π? 3.(2012· 山东高考)函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ) )

?π?? 4.(2011· 安徽高考)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤? ?f?6??对 x∈R
π? 恒成立,且 f? ?2?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( π π? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π? B.? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z) 5.(2012· 聊城模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”,而 “平行曲线”具有性质: 任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交, 被截得的线段 π? 相等. 已知函数 f(x)=tan? ?ωx+3?(ω>0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线 y=2 012 相交 于 A,B 两点,且|AB|=3π,则 f(π)=( A.2+ 3 ) B.- 3 )

C. 3

D. 3- 2

π π? 6.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ( ) 2 A. 3 C.2 3 B. 2 D.3

π ? 7.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. 4π ? 8 .如果函数 y = 3cos(2x + φ) 的图像关于点 ? ? 3 ,0? 中心对称,那么 |φ| 的最小值为 ________. π 9.(2012· 安庆模拟)若函数 f(x)=2tan(kx+ )的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的 3 值为________. 10.已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值和最小值.

?sin x-cos x?sin 2x 11.(2012· 北京高考)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求 f(x)的单调递增区间.

2π? 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ?

π 5π 1.(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图 4 4 像的两条相邻的对称轴,则 φ=( π A. 4 π C. 2 ) π B. 3 3π D. 4

? ?sin x,sin x≤cos x, 2.(2012· 潍坊模拟)对于函数 f(x)=? 给出下列四个命题: ?cos x,sin x>cos x ?

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图像关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .其中正确命题的序号是________.(请 2 2 将所有正确命题的序号都填上) π? ? π? 3.(2012· 汕头模拟)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,- 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间.





课时跟踪检测(十九) A级 1 1 1.选 C ∵cos x- ≥0,得 cos x≥ , 2 2 π π ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 3 π x- ?=-cos x, 2.选 D ∵y=sin? ? 2?

π? ∴T=2π,在? ?0,2?上是增函数,图像关于 y 轴对称,为偶函数. πx π? π πx π 7π 3 3.选 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin ? ? 6 -3?≤1,所以函数的最大 3 6 3 6 2 值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3.

?π?? ?π? ?π ? 1,可得 φ= 4.选 C 因为当 x∈R 时,f(x)≤? ?f?6??恒成立,所以 f?6?=sin?3+φ?=±
π? π 5π 2kπ+ 或 φ=2kπ- .因为 f? ?2?=sin(π+φ)=-sin φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ,故 sin φ<0,所 6 6 5π? 5π π 5π π 以 φ=2kπ- , 所以 f(x)=sin? 函数的单调递增区间为- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, ?2x- 6 ?, 6 2 6 2 π 2π? 所以 x∈? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). π? 5.选 B 设 f(x)=tan? ?ωx+3?与 x 轴的两个交点为 C、D,由“平行曲线”的性质可知 π 1 |CD|=3π,所以函数 f(x)的最小正周期为 3π,由 =3π 可得 ω= , ω 3 π π? 2π 则 f(π)=tan? ?3+3?=tan 3 =- 3. π π? ? π π ? ? π π? 6.选 B ∵x∈? ?-3,4?,则 ωx∈?-3ω,4ω?,要使函数 f(x)在?-3,4?上取得最小值 π π π 3π 3 3 -2,则- ω≤- 或 ω≥ ,得 ω≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 π π π ? 7.解析:由 y=cos? ?4-2x?=cos2x-4得 2kπ≤2x-4≤2kπ+π(k∈Z), π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π? 所以函数的单调减区间为? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) π 5π? 答案:? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) π ? 8.解析:∵y=cos x 的对称中心为? ?kπ+2,0?(k∈Z), 4π π ∴由 2× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 13π 得 φ=kπ- (k∈Z). 6 π ∴当 k=2 时,|φ|min= . 6 π 答案: 6 π 9.解析:由条件得最小正周期为 T= , k

π π 故有 1< <2,解得 <k<π.又 k∈N, k 2 所以 k=2 或 k=3. 答案:2 或 3 10.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x =2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π 3 ∴- ≤2x≤π,则- ≤sin 2x≤1. 3 2 π π? 3 所以 f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- 2 . 11.解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? = 2sin? ?2x-4?-1, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π? (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). 12.解:∵由 f(x)的最小正周期为 π, 2π 则 T= =π,∴ω=2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对任意 x∈R 都成立,

2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2 π 3 (2)f(x)的图像过点? , ?时, ?6 2 ? π 3 ? sin? ?2×6+φ?= 2 , π ? 3 即 sin? ?3+φ?= 2 . 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π? ∴f(x)=sin? ?2x+3?. π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π? ∴f(x)的递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. B级 π 5π 1.选 A 由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,所 4 4 π π 以函数 f(x)的最小正周期 T=2π,所以 ω=1,所以 +φ=kπ+ (k∈Z), 4 2 π 又 0<φ<π,所以 φ= . 4 2.解析:画出函数 f(x)的图像.

由图像可得函数的最小正周期为 2π,故①错误;当 x=π+2kπ(k∈Z)或 x= Z)时,函数取得最小值,故②错误;结合图像可得③④正确. 答案:③④ π? 3.解:(1)∵x∈? ?0,2?, π π 7 ∴ ≤2x+ ≤ π, 6 6 6 π? 1 ∴- ≤sin? ?2x+6?≤1, 2

3π +2kπ(k∈ 2

又∵a>0,-5≤f(x)≤1,
? ? ?-2a+2a+b=-5, ?a=2, ∴? 即? ?a+2a+b=1, ?b=-5. ? ?

π? (2)f(x)=-4sin? ?2x+6?-1, π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2 π π - +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 3 6 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2 π 2 +kπ≤x≤ π+kπ,k∈Z, 6 3 π 2π ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z), π π ? 单调递减区间为? ?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z).


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